1、第二章检测试题(时间:90分钟满分:120分)【选题明细表】知识点、方法题号通项公式与递推关系式1、2等差数列及其性质6、7、11等比数列及其性质5、12an与Sn的关系4、14数列求和3、10、13、16综合问题8、9、15、17、18一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.数列3,5,9,17,33,的通项公式an等于(B)(A)2n(B)2n+1(C)2n-1(D)2n+1解析:由于3=2+1,5=22+1,9=23+1,所以通项公式是an=2n+1,故选B.2.数列an满足a1=1,an=(n2),则a5的值为(C)(A)(B)(C)(D) 解析:依题意an0且n2时,
2、=1+,即-=1,数列是以1为首项,1为公差的等差数列,=1+(5-1)1=5,a5=.故选C.3.(2014淄博高二期末)数列an的通项公式an=n2+n,则数列的前10项和为(B)(A)(B)(C)(D)解析:=-,S10=-+-+-=.故选B.4.(2014景德镇高二期末)已知数列an的前n项和为Sn,满足Sn=2an-2(nN+),则an等于(A)(A)2n (B)2n+1(C)2n+1(D)2n+2解析:当n2时,Sn-1=2an-1-2.an=2an-2an-1,=2.又a1=2,an=2n,故选A.5.在等比数列an中,若a3a5a7a9a11=243,则的值为(C)(A)1(B
3、)2(C)3(D)9解析:因为an是等比数列,所以a3a11=a5a9=,因此a3a5a7a9a11=243,解得a7=3,又因为=a7a11,所以=a7=3.故选C.6.(2014宿州质检)已知an为等差数列,其公差为-2,且a7是a3与a9的等比中项,Sn为an的前n项和,nN*,则S10的值为(D)(A)-110(B)-90(C)90(D)110解析:由题意得(a1-12)2=(a1-4)(a1-16),解得a1=20.S10=10a1+(-2)=110.故选D.7.(2014南阳高二期末)已知等差数列an,前n项和用Sn表示,若2a5+3a7+2a9=14,则S13等于(A)(A)26
4、(B)28(C)52(D)13解析:a5+a9=2a7,2a5+3a7+2a9=7a7=14,a7=2,S13=a713=26.故选A.8.(2014九江高二检测)一个只有有限项的等差数列,它的前5项和为34,最后5项和为146,所有项的和为234,则它的第7项等于(D)(A)22(B)21(C)19(D)18解析:据题意知a1+a2+a3+a4+a5=34,an-4+an-3+an-2+an-1+an=146,又a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3=a5+an-4,a1+an=36.又Sn=n(a1+an)=234,n=13,a1+a13=2a7=36,a7=18.故选
5、D.9.已知公差不为零的等差数列an满足a1,a3,a4成等比数列,Sn为an的前n项和,则的值为(A)(A)2(B)3(C)(D)4解析:设an的公差为d,则依题意有=a1a4,即=a1(a1+3d),整理得a1d+4d2=0,由于d0,所以a1=-4d.故=2.故选A.10.已知数列an中,a1=1,前n项和为Sn,且点P(an,an+1)(nN*)在直线x-y+1=0上,则+等于(A)(A) (B)(C)(D)解析:依题意有an-an+1+1=0,即an+1-an=1,所以an是等差数列,且an=1+(n-1)=n,于是Sn=,所以=2(-),所以+=2(1-+-+-)=.故选A.二、填
6、空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)11.(2014浙江嘉兴模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn,且a1+a5=3a3,a10=14,则S12=.解析:由a1+a5=3a3,得2a3=3a3,a3=0.又a10=14,S12=614=84.答案:8412.设等比数列an的公比q=2,前n项和为Sn,则= .解析:设an的首项为a1,则S4=15a1,a2=2a1,=.答案:13.(2014青州高二检测)已知an是等差数列,a4=-20,a16=16,则|a1|+|a2|+|a20|=.解析:a16-a4=12d=36,d=3,an=3n-32.当n10时,an0.|a1|+|a2|+
7、|a20|=-(a1+a2+a10)+(a11+a12+a20)=(a20-a10)+(a19-a9)+(a11-a1)=100d=300.答案:30014.已知数列an的前n项和为Sn,a1=2,nan+1=Sn+n(n+1),则an的通项公式为.解析:nan+1=Sn+n(n+1),(n-1)an=Sn-1+n(n-1)(n2) ,nan+1-(n-1)an=Sn+n(n+1)-Sn-1-n(n-1) (n2).Sn-Sn-1=an,an+1-an=2(n2),又当n=1时,a2=S1+2,即a2-a1=2,对于所有正整数n都有an+1-an=2,数列an是等差数列,其中a1=2,公差d=
8、2, an=2n.答案:an=2n三、解答题(本大题共4小题,共50分)15.(本小题满分12分)(2014济南历城高二期末)已知数列an为等差数列,且a3=5,a7=13.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足an=log4bn,求数列bn的前n项和Tn.解:(1)设an=a1+(n-1)d,则解得a1=1,d=2.所以an的通项公式为an=1+(n-1)2=2n-1.(2)依题意得bn=42n-1,因为=16,所以bn是首项为b1=41=4,公比为16的等比数列,所以bn的前n项和Tn=(16n-1).16.(本小题满分12分)(2014珠海高二期末)等差数列an中,前三项分别为
9、x,2x,5x-4,前n项和为Sn,且Sk=2550.(1)求x和k的值;(2)求T=+的值.解:(1)由4x=x+5x-4得x=2,an=2n,Sn=n(n+1),k(k+1)=2550得k=50.(2)Sn=n(n+1),=-,T=(1-)+(-)+(-)=1-=.17.(本小题满分12分)(2014菏泽高二期末)设数列an为等差数列,且a3=5,a5=9;数列bn的前n项和为Sn,且Sn=21-()n.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)若cn=(nN*),Tn为数列cn的前n项和,求Tn.解:(1)数列an为等差数列,则公差d=(a5-a3)=2,因为a3=5,所以a1=1.故an
10、=2n-1,当n=1时,S1=b1=1,当n2时,bn=Sn-Sn-1=21-()n-21-()n-1=()n-1,又n=1时,b1=1适合上式,bn=()n-1.(2)由(1)知cn=(2n-1)2n-1,Tn=120+321+522+(2n-3)2n-2+(2n-1)2n-1,2Tn=12+322+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n,-Tn=1+221+222+22n-1-(2n-1)2n=1+2-(2n-1)2n=1-4+(3-2n)2n,Tn=3+(2n-3)2n.18.(本小题满分14分)(2014广州高二期末)已知数列an满足a1=,an+1=,nN*.(1)求证:数列-1为等
11、比数列;(2)是否存在互不相等的正整数m,s,t,使m,s,t成等差数列,且am-1,as-1,at-1成等比数列?如果存在,求出所有符合条件的m,s,t;如果不存在,请说明理由.解:(1)因为an+1=,所以=+.所以-1=(-1),因为a1=,则-1=,所以数列-1是首项为,公比为的等比数列.(2)由(1)知,-1=()n-1=,所以an=.假设存在互不相等的正整数m,s,t满足条件,则有由an=与(as-1)2=(am-1)(at-1),得(-1)2=(-1)(-1).即3m+t+23m+23t=32s+43s.因为m+t=2s,所以3m+3t=23s.因为3m+3t2=23s,当且仅当m=t时等号成立,这与m,s,t互不相等矛盾.所以不存在互不相等的正整数m,s,t满足条件.