1、1正弦定理和余弦定理的证明方法探究正弦定理和余弦定理都是三角形中的重要定理，它们的证明方法比较多，除了教材上介绍的向量法外，还可以采用下面的方法1几何法证明正弦定理设BD为ABC外接圆O的直径，则BD2R，下面按A为直角、锐角、钝角三种情况加以证明(1)若A为直角，如图，则BC经过圆心O，BC为圆O的直径，BC2R，BC2R.(2)若A为锐角，如图，连接CD，则BACBDC，在RtBCD中，BD2R，2R.即2R.(3)若A为钝角，如图，连接CD，则BACCDB，所以sinBACsinCDB，在RtBCD中，BD2R，又，2R，即2R.可证得：2R.同理可证：2R，2R.所以，不论ABC是锐角
2、三角形，直角三角形，还是钝角三角形，都有2R(其中R为ABC的外接圆的半径)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于其外接圆的直径2坐标法证明余弦定理如图所示，以ABC的顶点A为原点，射线AC为x轴的正半轴，建立直角坐标系，这时顶点B可作角A终边的一个点，它到原点的距离rc.设点B的坐标为(x，y)，由三角函数的定义可得：xccos A，ycsin A，即点B的坐标为(ccos A，csin A)，又点C的坐标是(b,0)由两点间的距离公式，可得：a|BC|.两边平方得：a2(bccos A)2(csin A)2b2c22bccos A.以ABC的顶点B或顶点C为原点
3、，建立直角坐标系，同样可证b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方和减去这两边与它们夹角的余弦值的积的2倍. 余弦定理的第二种形式是cos A，cos B，cos C.3向量法证明正、余弦定理如图，在ABC中，三个内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.以A为原点，AC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则点C的坐标是(b,0)由三角函数的定义，得点B的坐标是(ccos A，csin A)所以(ccos Ab，csin A)现将平移到起点为原点A，终点为点D，则，且|a，DAC180C.根据三角函数的定义，知点D的坐标是(ac
4、os C，asin C)所以(acos C，asin C)因为，所以(acos C，asin C)(ccos Ab，csin A)所以由，得.同理可证.所以.由，得acos Cbccos A.两边平方，得a2cos2Cb22bccos Ac2cos2A.所以a2a2sin2Cb22bccos Ac2c2sin2A.而由，得a2sin2Cc2sin2A.所以a2b2c22bccos A.同理可证b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C.2正弦定理的一个推论及应用在初学正弦定理时，若问同学们这样一个问题：在ABC中，若sin Asin B，则A与B的大小关系怎样？那么近乎所有的同
5、学都会认为A与B的大小关系不确定若再问：在ABC中，若AB，则sin A与sin B的大小关系怎样？仍然会有很多同学回答大小关系不确定鉴于此，下面我们讲讲这个问题一、结论在ABC中，sin Asin BAB.分析题中条件简单，不易入手但既在三角形中，何不尝试用联系边角的正弦定理？证明因为sin Asin B2Rsin A2Rsin B(其中R为ABC外接圆的半径)，根据正弦定理变式a2Rsin A，b2Rsin B(其中a，b分别为A，B的对边)，可得sin Asin Bab，再由平面几何定理“大角对大边，小角对小边”，可得abAB.所以sin Asin BAB.二、结论的应用例1在ABC中，
6、A45，a4，b2，求B.分析在遇到这样的问题时，有的同学一看，这不正好用正弦定理嘛，于是就直接由正弦定理得B30或B150.其实这是错误的！错在哪儿？我们只需由上述结论即可发现解由正弦定理得，sin B，又sin Bsin A，所以Bsin B，所以CB，所以C有两解(1)当C60时，有A90；(2)当C120时，有A30.点评除此之外，本题也可以利用余弦定理来求解.3细说三角形中解的个数解三角形时，处理“已知两边及其一边的对角，求第三边和其他两角”问题需判断解的个数，这是一个比较棘手的问题下面对这一问题进行深入探讨一、出现问题的根源我们作图来直观地观察一下不妨设已知ABC的两边a，b和角A
7、，作图步骤如下：先做出已知角A，把未知边c画为水平的，角A的另一条边为已知边b；以b边的不是A点的另外一个端点为圆心，边a为半径作圆C；观察圆C与边c交点的个数，便可得此三角形解的个数显然，当A为锐角时，有如图所示的四种情况：当A为钝角或直角时，有如图所示的两种情况：根据上面的分析可知，由于a，b长度关系的不同，导致了问题有不同个数的解若A为锐角，只有当a不小于bsin A时才有解，随着a的增大得到的解的个数也是不相同的当A为钝角时，只有当a大于b时才有解二、解决问题的策略1正弦定理法已知ABC的两边a，b和角A，求B.根据正弦定理，可得sin B.若sin B1，三角形无解；若sin B1，
8、三角形有且只有一解；若0sin B1，B有两解，再根据a，b的大小关系确定A，B的大小关系(利用大边对大角)，从而确定B的两个解的取舍2余弦定理法已知ABC的两边a，b和角A，求c.利用余弦定理可得a2b2c22bccos A，整理得c22bccos Aa2b20.适合问题的上述一元二次方程的解c便为此三角形的解3公式法当已知ABC的两边a，b和角A时，通过前面的分析可总结三角形解的个数的判断公式如下表：A90A90ababababsin Aabsin Aabsin A一解两解一解无解一解无解三、实例分析例在ABC中，已知A45，a2，b(其中角A，B，C的对边分别为a，b，c)，试判断符合上
9、述条件的ABC有多少个？分析此题为“已知两边和其中一边的对角”解三角形的问题，可以利用上述办法来判断ABC解的情况解方法一由正弦定理，可得sin Bsin 45b，所以AB，故B30，符合条件的ABC只有一个方法二由余弦定理得22c2()22ccos 45，即c22c20，解得c1.而1b，故符合条件的ABC只有一个.4走出解三角形的误区解三角形是高中数学的重要内容，也是高考的一个热点由于我们对三角公式比较熟悉，做题时比较容易入手但是公式较多且性质灵活，解题时稍有不慎，常会出现增解、错解现象，其根本原因是对题设中的隐含条件挖掘不够下面结合例子谈谈解三角形时，题目中隐含条件的挖掘1忽视构成三角形
10、的条件而致误例1已知钝角三角形的三边ak，bk2，ck4，求k的取值范围错解cba且ABC为钝角三角形，C为钝角由余弦定理得cos C0.k24k120，解得2k0.综上所述，0kk4.即k2而不是k0.正解cba，且ABC为钝角三角形，C为钝角由余弦定理得cos C0.k24k120，解得2kk4，k2，综上所述，k的取值范围为2k0，03.点拨忽略了三角形内角和为180，及角A、B的取值范围，从而导致取值范围求错正解由正弦定理得cos 2A2cos2A4cos2A1.ABC180，B3A.AB4A180，0A45.cos A1，14cos2 A13，13.温馨点评解三角问题，角的取值范围至
11、关重要一些问题，角的取值范围隐含在题目的条件中，若不仔细审题，深入挖掘，往往疏漏而导致解题失败.5正、余弦定理三应用有些题目，表面上看不能利用正、余弦定理解决，但若能构造适当的三角形，就能利用两定理，题目显得非常容易，本文剖析几例一、平面几何中的长度问题例1如图，在梯形ABCD中，CD2，AC，BAD60，求梯形的高分析如图，过点D作DEAB于点E，则DE为所求的高由BAD60，知ADC120，又边CD与AC的长已知，故ACD为已知两边和其中一边的对角，可解三角形解RtADE，需先求AD的长，这只需在ACD中应用余弦定理解由BAD60，得ADC120，在ACD中，由余弦定理得AC2AD2CD2
12、2ADCDcosADC，即19AD242AD2，解得AD3或AD5(舍去)在ADE中，DEADsin 60.点评依据余弦定理建立方程是余弦定理的一个妙用，也是函数与方程思想在解三角形中的体现二、求范围例2如图，等腰ABC中，底边BC1，ABC的平分线BD交AC于点D，求BD的取值范围(注：0x1时，f(x)x为增函数)分析把BD的长表示为ABC的函数，转化为求函数的值域解设ABC.因为ABCC，所以A1802，BDCAABD1802180，因为BC1，在BCD中，由正弦定理得BD，因为045，所以cos 1，而当cos 增大时，BD减小，且当cos 时，BD；当cos 1时，BD，故BD的取值
13、范围是.点评本题考查：(1)三角知识、正弦定理以及利用函数的单调性求值域的方法；(2)数形结合、等价转化等思想三、判断三角形的形状例3在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若k，(kR)(1)判断ABC的形状；(2)若c，求k的值解(1)cbcos A，cacos B，又，bccos Aaccos B，bcos Aacos B，方法一sin Bcos Asin Acos B，即sinAcos Bcos Asin B0sin(AB)0，AB，AB.ABC为等腰三角形方法二利用余弦定理将角化为边，bcos Aacos B，ba，b2c2a2a2c2b2，a2b2，ab.ABC为等腰三角形
14、(2)由(1)知：ab.bccos Abck，c，k1.6测高、测距精彩汇一、测量高度问题，是解三角形实际应用问题中的一类热点问题，正弦定理和余弦定理是解决这类问题的两个得力工具，下面举例说明例1如图，某人欲测量某建筑物的高度BC，在A处测得建筑物顶端C的仰角为30，然后，向建筑物方向前进200 m到达D处，在D处测得C的仰角为75，则建筑物的高度为_ m.分析先求出ACD，然后在ACD中运用正弦定理求出CD，最后在RtBCD中求BC.解析依题意，可得CAB30，CDB75，所以ACD45.在ACD中，由正弦定理得CD100(m)所以BCCDsin 7510050(1)(m)答案50(1)点评
15、本题的测高方案：先在地面上选定两点，然后测量这两点之间的距离和从两点看被测物体顶端的仰角，进而用正弦定理求得高度其中的解三角形问题属于已知两角和一边解三角形问题，适合用正弦定理求解例2如图，在100 m高的山顶A处，测得一建筑物CD底部和顶部的俯角分别为60和30，则建筑物的高度为_ m.分析先在RtABC中，求出AC，然后在ADC中，运用正弦定理求CD.解析在RtABC中，AC(m)在ADC中，ADC120，CAD30，由正弦定理，得CD(m)故填.答案点评本题的测高方案：在某一高度测量被测物体的顶部和底部的俯角，然后用正弦定理求高度其中的解三角形问题也属于已知两角和一边求其他角和边的三角形
16、问题例3如图，CD是一座铁塔，线段AB和塔底D在同一水平地面上，在A，B两点测得塔顶C的仰角分别为60，45，又测得AB24 m，ADB30，则此铁塔的高度为_ m.分析先设出塔高，用它分别表示出AD，BD，然后在ABD中，运用余弦定理列方程，解之即得塔高解析设塔高为h，因为CAD60，CBD45，所以AD，BDh.在ABD中，由余弦定理得2422h22hcos 30，解得h24 m.答案24点评本题的测高方案：先测出地面上两点间的距离，然后在这两点分别测出被测物体顶部的仰角及两点相对于被测物体底部的张角，再用余弦定理求高度二、实际测量中的距离问题是高考常考知识点之一下面我们通过第一道例题找出
17、规律，再通过第二道例题灵活运用，一起来探寻距离问题如何求解例4如图，一渔船在海上由西向东航行，在A处望见灯塔C在船的东北方向，若船速为每小时30 n mile，半小时后在B处望见灯塔在船的北偏东30，当船行至D处望见灯塔在船的西北方向时，求A、D两点之间的距离(精确到0.1 n mile)分析对于实际问题，我们需要画出示意图，由图知，要求ACD的边AD，此时就转化成解三角形问题了解在ABC中，AB300.515(n mile)，CAB45，ABC120，所以ACB15，由正弦定理，可得，所以AC.在ACD中，CAD45，CDA45，所以ACD90，由正弦定理，得AD71.0(n mile)答A
18、、D两点之间的距离约为71.0 n mile.点评第一步：画出示意图；第二步：构建三角形，把实际问题中的长度、角度作为三角形相应的边和角；第三步：解三角形例5如图，为了测量河对岸(不可到达)A、B两点之间的距离，在河的这边测得CD200 m，ACD80，BCD35，CDA40，CDB70，求A、B两点间的距离(精确到1 m)分析ACD和BCD都是已知两角一边，可用正弦定理分别求出AC和BC，再在ABC中用余弦定理求AB的长解在ACD中，CD200，ACD80，CDA40，所以CAD60.由正弦定理，得AC148.4(m)在BCD中，BCD35，CDB70，所以CBD75.由正弦定理得BC194.6(m)在ABC中，ACB803545，由余弦定理得，AB2AC2BC22ACBCcosACB148.42194.622148.4194.6cos 4519 051.2，所以AB138(m)答A、B两点的距离约为138 m.点评分析出题目中几个点的相对位置，根据已知构造出三角形，明确三角形的已知边角和所求边角