1、第五章单元测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分每小题中只有一项符合题目要求)1下列各式中不能化简为的是()A.B.C. D.答案D解析2.2与向量a(5,12)方向相反的单位向量是()A(5，12)B(，)C(，) D(，)答案D解析与a方向相反的向量只能选A，D，其中单位向量只有D.也可用公式n(，)求得3设向量a，b均为单位向量，且|ab|1，则a与b夹角为()A. B.C. D.答案C解析如图所示，四边形ABCD为平行四边形，ABC为边长为1的等边三角形，记a，b，则a与b的夹角为，故选C.4设xR，向量a(x,1)，b(1，2)，且ab，则|ab|()A. B.C2
2、 D10答案B解析ab，ab0，即x20.x2，a(2,1)，a25.又b25，|ab|.故选B.5已知a，bR，i是虚数单位，若ai与2bi互为共轭复数，则(abi)2()A54i B54iC34i D34i答案D解析根据已知得a2，b1，所以(abi)2(2i)234i.6已知复数z，则等于()A0 B1C1 D2答案A解析z1，所以110.故选A.7对于复数z1，z2，若(z1i)z21，则称z1是z2的“错位共轭”复数，则复数i的“错位共轭”复数为()Ai BiC.i D.i答案D解析方法一：由(zi)(i)1，可得zii，所以zi.方法二：(zi)(i)1且|i|1，所以zi和i是共
3、轭复数，即zii，故zi.8已知向量a，b满足|a|2，a22ab，则|ab|的最小值为()A. B.C1 D2答案C解析根据已知由a22ab，可得2ab4且|b|cos1(其中为两向量夹角)，故|ab|b|1，即当cos1时取得最小值1.9如图所示，已知点O是边长为1的等边三角形ABC的中心，则()()等于()A. BC. D答案D解析点O是边长为1的等边三角形ABC的中心，|，AOBBOCAOC.()()2()23()2cos.10与向量a(，)，b(，)的夹角相等，且模为1的向量是()A(，)B(，)或(，)C(，)D(，)或(，)答案B解析方法一：|a|b|，要使所求向量e与a，b夹角
4、相等，只需aebe.(，)(，)(，)(，)，排除C，D.又(，)(，)(，)(，).排除A.方法二：设a，b.由已知得|a|b|，ab，则与向量a，b的夹角相等的向量在AOB的角平分线上，与ab共线ab(4，3)，与ab共线的单位向量为(，)，即(，)或(，)11若O为平面内任一点且(2)()0，则ABC是()A直角三角形或等腰三角形B等腰直角三角形C等腰三角形但不一定是直角三角形D直角三角形但不一定是等腰三角形答案C解析由(2)()0，得()()0.0，即|.ABAC.12若平面内共线的A，B，P三点满足条件a1a4 027，其中an为等差数列，则a2 014等于()A1 B1C D.答案
5、D解析由a1a4 027及向量共线的充要条件得a1a4 0271.又因为数列an为等差数列，所以2a2 014a1a4 0271，故a2 014.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13已知复数z，是z的共轭复数，则的模等于_答案1解析zi，|i|1.14已知A，B，C是圆O：x2y21上三点，则_.答案解析由题意知，OACB为菱形，且OAC60，AB，1cos150.15已知向量a，b满足|a|1，|ab|，a，b，则|b|_.答案2解析由|ab|，可得|ab|2a22abb2121|b|cos|b|27，所以|b|2|b|60，解得|b|2或|b|3(舍
6、去)16已知向量a(1,1)，b(2，n)，若|ab|ab，则n_.答案3解析易知ab(3，n1)，ab2n.|ab|ab，2n，解得n3.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知A(1,0)，B(0,2)，C(3,1)，5，|.(1)求D点坐标；(2)若D点在第二象限，用，表示；(3)(m,2)，若3与垂直，求的坐标答案(1)D(2,1)或D(2,3)(2)(3)(14,2)解析(1)设D(x，y)，则(1,2)，(x1，y)x12y5，(x1)2y210.解得或D(2,1)或D(2,3)(2)由(1)可知(1,3)设mn，即
7、(2,1)m(1,2)n(1,3)，.(3)33(1,2)(2,1)(1,7)，(m,2)，且3与垂直，(3)0.m140.m14.(14,2)18(本小题满分12分)已知向量a(sin，cos)，与b(，1)，其中(0，)(1)若ab，求sin和cos的值；(2)若f()(ab)2，求f()的值域答案(1)sin，cos(2)(7,9解析(1)ab，sin1cos0，求得tan.又(0，)，sin，cos.(2)f()(sin)2(cos1)22sin2cos54sin()5.又(0，)，(，)，sin()1.7f()9，即函数f()的值域为(7,919(本小题满分12分)设ABC的三个内角
8、A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足(2ac)c0.(1)求角B的大小；(2)若b2.试求的最小值答案(1)(2)2解析(1)因为(2ac)c0，所以(2ac)accosBcabcosC0.即(2ac)cosBbcosC0.则(2sinAsinC)cosBsinBcosC0.所以2sinAcosBsin(CB)0.即cosB，所以B.(2)因为b2a2c22accos，所以12a2c2ac3ac，即ac4.当且仅当ac时取等号，此时ac最大值为4.所以accosac2.即的最小值为2.20(本小题满分12分)已知向量a(m，cos2x)，b(sin2x，n)，函数f(x)ab，且yf(x
9、)的图像过点(，)和点(，2)(1)求m，n的值；(2)将yf(x)的图像向左平移(0)个单位后得到函数yg(x)的图像，若yg(x)图像上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求yg(x)的单调递增区间答案(1)m，n1(2)k，k，kZ解析(1)由题意知f(x)abmsin2xncos2x.因为yf(x)的图像经过点(，)和(，2)，所以即解得m，n1.(2)由(1)知f(x)sin2xcos2x2sin(2x)由题意知g(x)f(x)2sin(2x2)设yg(x)的图像上符合题意的最高点为(x0,2)，由题意知x11，所以x00.即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)将其代入
10、yg(x)得sin(2)1.因为0，所以.因此g(x)2sin(2x)2cos2x.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，所以函数yg(x)的单调递增区间为k，k，kZ.21(本小题满分12分)已知向量m(sin，1)，n(cos，cos2)(1)若mn1，求cos(x)的值；(2)记f(x)mn，在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2ac)cosBbcosC，求函数f(A)的取值范围答案(1)(2)(1，)解析(1)mnsincoscos2sinsin()，mn1，sin().cos(x)12sin2()，cos(x)cos(x).(2)(2ac)cosBbcosC，由正
11、弦定理，得(2sinAsinC)cosBsinBcosC.2sinAcosBsinCcosBsinBcosC.2sinAcosBsin(BC)ABC，sin(BC)sinA0.cosB.0B，B.0A.，sin()(，1)又f(x)sin().f(A)sin().故函数f(A)的取值范围是(1，)22(本小题满分12分)已知平面上的两个向量，满足|a，|b，且，a2b24.向量xy(x，yR)，且a2(x)2b2(y)21.(1)如果点M为线段AB的中点，求证：(x)(y)；(2)求|的最大值，并求出此时四边形OAPB面积的最大值答案(1)略(2)|的最大值为2，此时四边形OAPB面积最大值为
12、2解析(1)因为点M为线段AB的中点，所以()所以(xy)()(x)(y).(2)设点M为线段AB的中点，则由，知|1.又由(1)及a2(x)2b2(y)21，得|2|2(x)22(y)22a2(x)2b2(y)21.所以|1，所以P，O，A，B四点都在以M为圆心，1为半径的圆上所以当且仅当OP是直径时，|max2，这时四边形OAPB为矩形，则S四边形OAPB|ab2，当且仅当ab时，四边形OAPB的面积最大值为2.1已知i是虚数单位，a，bR，则“ab1”是“(abi)22i”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析当ab1时，(abi)2(1i
13、)22i，反之，若(abi)22i，则有ab1或ab1，因此选A.2.如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法错误的是()A. B.C. D.答案D解析排除法如题图，故A正确，故B正确()，故C正确3对于向量a，b，c，给出下列四个命题：若ab，bc，则ac；若a|c|b，c|b|a，则|a|b|c|1；若|a|b|2，则(ab)(ab)；若|ab|bc|且b0，则|a|c|.其中正确的命题序号是_答案解析当b0时，不正确；当b0时，且c0时，不正确；中，|a|b|2，(ab)(ab)|a|2|b|20.(ab)(ab
14、)，故正确；中取a0且ab，而c0时，则结论不正确，故不正确4在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知向量m(2cos，sin)，n(cos，2sin)，mn1.(1)求cosA的值；(2)若a2，b2，求c的值答案(1)(2)2解析(1)m(2cos，sin)，n(cos，2sin)，mn1，2cos22sin21，cosA.(2)由(1)知cosA，且0A，A.a2，b2，由正弦定理，得，即.sinB.0B，B0)，函数f(x)mn的最大值为6.(1)求A；(2)将函数yf(x)的图像向左平移个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图像，求g(x)在0，上的值域答案(1)A6(2)3,6解析(1)f(x)mnAsinxcosxcos2xA(sin2xcos2x)Asin(2x)因为A0，由题意知A6.(2)由(1)知f(x)6sin(2x)将函数yf(x)的图像向左平移个单位后得到y6sin2(x)6sin(2x)的图像；再将得到图像上的各点横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y6sin(4x)的图像因此g(x)6sin(4x)因为x0，所以4x，故g(x)在0，上的值域为3,6