1、2014-2015学年吉林省长春市德惠实验中学高二（下）4月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的.1函数y=x33x2+3在（1，1）处的切线方程为（） A y=3x+4 B y=3x4 C y=4x+3 D y=4x32函数f（x）=alnx+x在x=1处取到极值，则a的值为（） A B 1 C 0 D 3计算=（） A 1 B 1 C 8 D 84若函数f（x）=e2xcosx，则此函数图象在点（1，f（1）处的切线的倾斜角为（） A 直角 B 0 C 锐角 D 钝角5设f（x）是函数f（x）的导函数，y=f（
2、x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是（） A B C D 6若点P是函数f（x）=x2lnx上任意一点，则点P到直线xy2=0的最小距离为（） A B C D 37若关于x的不等式x33x29x+2m对任意x2，2恒成立，则m的取值范围是（） A （，7 B （，20 C （，0 D 12，78曲线y=与直线y=x1及x=4所围成的封闭图形的面积为（） A 2ln2 B 42ln2 C 4ln2 D 2ln29已知函数f（x）=x33x2+a，若f（x+1）是奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，a）处的切线方程是（） A x=0 B x=2 C y=2 D y=410已知函数f
3、（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4x），且当x2时其导函数f（x）满足xf（x）2f（x），若2a4则（） A f（2a）f（3）f（log2a） B f（3）f（log2a）f（2a） C f（log2a）f（3）f（2a） D f（log2a）f（2a）f（3）11函数的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是（） A B C D 12已知函数y=f（x）对于任意的满足f（x）cosx+f（x）sinx0（其中f（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式不成立的是（） A B C D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.13设曲
4、线处的切线与直线x+ay+1=0垂直，则a=14已知椭圆=1的面积计算公式是S=ab，则dx=15设a0，若函数y=ex+2ax，xR有小于零的极值点，则实数a的取值范围是16已知定义域为R的函数f（x）满足f（1）=3，且f（x）的导数f（x）2x+1，则不等式f（2x）4x2+2x+1的解集为三、解答题：本大题共6小题，第17题10分，其他每题12分，共70分.解答题应写出文字证明，证明过程或演算步骤.（注意：在试题卷上作答无效）17（10分）（2013秋南安市校级期末）已知函数f（x）=x3x+2，其导函数为f（x）（）求f（x）在x=1处的切线l的方程（）求直线l与f（x）图象围成的图
5、形的面积18（12分）（2013秋昌平区期末）已知函数f（x）=x3+ax2x3在x=1时取得极值（）求f（x）的解析式；（）求f（x）在区间2，1上的最大值19（12分）（2015春德惠市校级月考）在区间0，1上给定曲线y=x2（1）当t=时，求S1值（2）试在此区间内确定点t的值，使图中所给阴影部分的面积S1与S2之和最小20（12分）（2014秋保定期末）已知函数f（x）=+lnx，其中aR（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若不等式f（x）1在x（0，e上恒成立，求实数a的取值范围21（12分）（2015滕州市校级模拟）已知函数f（x）=（ax2+x+a）ex（1）若函数y=f（x）
6、在点（0，f（0）处的切线与直线3xy+1=0平行，求a的值；（2）当x0，4时，f（x）e4恒成立，求实数a的取值范围22（12分）（2015呼伦贝尔二模）已知函数f（x）=ln（x+a）x2+x，g（x）=xexx21（x0），且f（x）点x=1处取得极值（）求实数a的值；（）若关于x的方程f（x）=x+b在区间1，3上有解，求b的取值范围；（）证明：g（x）f（x）2014-2015学年吉林省长春市德惠实验中学高二（下）4月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的.1函数y=x33x2+3在（1
7、，1）处的切线方程为（） A y=3x+4 B y=3x4 C y=4x+3 D y=4x3考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程 专题： 导数的概念及应用分析： 求出函数的导数，利用导数的几何意义即可求出切线方程解答： 解：函数的导数为y=f（x）=3x26x，在（1，1）处的切线斜率k=f（1）=36=3，即函数y=x33x2+3在（1，1）处的切线方程为y1=3（x1），即y=3x+4，故选：A点评： 本题主要考查函数的切线方程，利用导数的几何意义求出切线斜率是解决本题的关键2函数f（x）=alnx+x在x=1处取到极值，则a的值为（） A B 1 C 0 D 考点： 利用导数研究函数的
8、极值 专题： 计算题分析： 题目中条件：“函数f（x）=alnx+x在x=1处取到极值”，利用导数，得导函数的零点是1，从而得以解决解答： 解：，f（1）=0a+1=0，a=1故选B点评： 本题主要考查利用导数研究函数的极值，属于基础题3计算=（） A 1 B 1 C 8 D 8考点： 定积分 专题： 计算题分析： 欲计算，根据计算定积分的公式，先求出被积函数sinx+2的原函数即可求得答案解答： 解：=（cosx+2x）|22=cos2+4（cos24）=8故选C点评： 本小题主要考查定积分、定积分的应用、导函数的概念、三角函数的性质等基础知识，考查计算能力4若函数f（x）=e2xcosx，
9、则此函数图象在点（1，f（1）处的切线的倾斜角为（） A 直角 B 0 C 锐角 D 钝角考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程 专题： 计算题；导数的概念及应用分析： 先求函数f（x）=e2xcosx的导数，因为函数图象在点（1，f（1）处的切线的斜率为函数在x=1处的导数，就可求出切线的斜率，再根据切线的斜率是倾斜角的正切值，就可根据斜率的正负判断倾斜角是锐角还是钝角解答： 解：f（x）=2e2xcosxe2xsinx，f（1）=2ecos1esin1函数图象在点（1，f（1）处的切线的斜率为e（2cos1sin1）e（2cos1sin1）0，函数图象在点（1，f（1）处的切线的倾斜角为锐
10、角故选C点评： 本题考查了导数的运算及导数的几何意义，以及直线的倾斜角与斜率的关系，属于综合题5设f（x）是函数f（x）的导函数，y=f（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是（） A B C D 考点： 函数的单调性与导数的关系 专题： 压轴题；数形结合分析： 先根据导函数的图象确定导函数大于0 的范围和小于0的x的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间解答： 解：由y=f（x）的图象易得当x0或x2时，f（x）0，故函数y=f（x）在区间（，0）和（2，+）上单调递增；当0x2时，f（x）0，故函数y=f（x）在区
11、间（0，2）上单调递减；故选C点评： 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减6若点P是函数f（x）=x2lnx上任意一点，则点P到直线xy2=0的最小距离为（） A B C D 3考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；点到直线的距离公式 专题： 转化思想；导数的综合应用分析： 由题意知，当曲线上过点P的切线和直线xy2=0平行时，点P到直线xy2=0的距离最小，求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得且点的坐标，此切点到直线xy2=0的距离即为所求解答： 解：点P是曲线f（x）=x2lnx上任意一点，当过点P
12、的切线和直线xy2=0平行时，点P到直线xy2=0的距离最小直线xy2=0的斜率等于1，由f（x）=x2lnx，得f（x）=2x=1，解得：x=1，或 x=（舍去），故曲线f（x）=x2lnx上和直线xy2=0平行的切线经过的切点坐标（1，1），点（1，1）到直线xy2=0的距离等于，故点P到直线xy2=0的最小距离为故选：A点评： 本题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的意义，体现了转化的数学思想，是中档题7若关于x的不等式x33x29x+2m对任意x2，2恒成立，则m的取值范围是（） A （，7 B （，20 C （，0 D 12，7考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；
13、函数恒成立问题 专题： 计算题分析： 设y=x33x29x+2，则y=3x26x9，令y=3x26x9=0，得x1=1，x2=3（舍），由f（2）=0，f（1）=7，f（2）=20，知y=x33x29x+2在x2，2上的最大值为7，最小值为20，由此能求出关于x的不等式x33x29x+2m对任意x2，2恒成立的m的取值范围解答： 解：设y=x33x29x+2，则y=3x26x9，令y=3x26x9=0，得x1=1，x2=3，32，2，x2=3（舍），列表讨论： x （2，1） 1 （1，2） f（x） + 0 f（x） 极大值 f（2）=812+18+2=0，f（1）=13+9+2=7，f（2
14、）=81218+2=20，y=x33x29x+2在x2，2上的最大值为7，最小值为20，关于x的不等式x33x29x+2m对任意x2，2恒成立，m20，故选B点评： 本题考查利用导数求函数在闭区间上最值的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化8曲线y=与直线y=x1及x=4所围成的封闭图形的面积为（） A 2ln2 B 42ln2 C 4ln2 D 2ln2考点： 定积分在求面积中的应用 专题： 导数的综合应用分析： 根据定积分的几何意义求曲边梯形的面积解答： 解：曲线y=与直线y=x1联立得交点坐标为（1，2），所以S=（）|=42ln2；故选B点评： 本题考查了利用定积分
15、求曲边梯形的面积，关键是确定定积分的上限和下限9已知函数f（x）=x33x2+a，若f（x+1）是奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，a）处的切线方程是（） A x=0 B x=2 C y=2 D y=4考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程 专题： 计算题；导数的概念及应用分析： 运用奇函数的性质，若f（x+1）是奇函数，则f（1）=0，求得a，再求函数的导数，求出切线的斜率，运用点斜式方程，即可得到切线方程解答： 解：由于函数f（x）=x33x2+a，若f（x+1）是奇函数，则f（1）=0，即有13+a=0，解得，a=2，f（x）=x33x2+2，导数f（x）=3x26x，则在切点（0，2
16、）处的斜率为0，则切线方程为：y=2故选：C点评： 本题考查导数的运用：求切线方程，考查函数的奇偶性及运用，考查运算能力，属于基础题10已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4x），且当x2时其导函数f（x）满足xf（x）2f（x），若2a4则（） A f（2a）f（3）f（log2a） B f（3）f（log2a）f（2a） C f（log2a）f（3）f（2a） D f（log2a）f（2a）f（3）考点： 抽象函数及其应用；导数的运算 专题： 计算题；函数的性质及应用分析： 由f（x）=f（4x），可知函数f（x）关于直线x=2对称，由xf（x）2f（x），可知f（x）在
17、（，2）与（2，+）上的单调性，从而可得答案解答： 解：函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4x），f（x）关于直线x=2对称；又当x2时其导函数f（x）满足xf（x）2f（x）f（x）（x2）0，当x2时，f（x）0，f（x）在（2，+）上的单调递增；同理可得，当x2时，f（x）在（，2）单调递减；2a4，1log2a2，24log2a3，又42a16，f（log2a）=f（4log2a），f（x）在（2，+）上的单调递增；f（log2a）f（3）f（2a）故选C点评： 本题考查抽象函数及其应用，考查导数的性质，判断f（x）在（，2）与（2，+）上的单调性是关键，属于中档题11
18、函数的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是（） A B C D 考点： 函数在某点取得极值的条件 专题： 压轴题分析： 求函数的极值，要使图象经过四个象限只要两极值符号不同解答： 解：f（x）=ax2+ax2a=a（x+2）（x1）令f（x）=a（x+2）（x1）=0得x=2或x=1x（，2）时f（x）的符号与x（2，1）时f（x）的符号相反，x（2，1）时f（x）的符号与x（1，+）时f（x）的符号相反f（2）=和f（1）=为极值，图象经过四个象限f（2）f（1）0即（）（）0解得故答案为B点评： 本题考查导数求函数的极值，及函数的单调性及其图象12已知函数y=f（x）对于任意的满足f（x
19、）cosx+f（x）sinx0（其中f（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式不成立的是（） A B C D 考点： 利用导数研究函数的单调性；导数的运算 专题： 导数的概念及应用分析： 根据条件构造函数g（x）=，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可得到结论解答： 解：构造函数g（x）=，则g（x）=（f（x）cosx+f（x）sinx，对任意的x（，）满足f（x）cosx+f（x）sinx0，g（x）0，即函数g（x）在x（，）单调递增，则g（）g（），即，即 f（）f（），故B正确；g（0）g（），即，f（0）f（），故正确；g（0）g（），即 ，f（0）2f（），故正
20、确；由排除法，故选：A点评： 本题主要考查函数单调性的应用，利用条件构造函数是解决本题的关键，综合性较强，有一点的难度二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.13设曲线处的切线与直线x+ay+1=0垂直，则a=1考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程 专题： 导数的综合应用分析： 求出函数处的导数，即为曲线在此点的切线斜率，再利用两直线垂直的性质求出a解答： 解：y= 的导数为 y=，当x=时，y=1，故y=在点（，2）处的切线斜率为1，故与它垂直的直线 x+ay+1=0 的斜率为=1，a=1，故答案为：1点评： 本题考查函数在某点的导数就是函数在
21、此点的切线斜率，以及两直线垂直的性质14已知椭圆=1的面积计算公式是S=ab，则dx=考点： 定积分 专题： 导数的概念及应用分析： 根据积分的几何意义即可得到结论解答： 解：设y=，（y0），则+y2=1（y0）对应的曲线为椭圆的上半部分，对应的面积S=，根据积分的几何意义可得dx=，故答案为：点评： 本题主要考查积分的计算，要求熟练掌握常见函数的积分公式，对于不好求的积分函数，要利用对应的区域面积进行计算15设a0，若函数y=ex+2ax，xR有小于零的极值点，则实数a的取值范围是（，0）考点： 函数在某点取得极值的条件 专题： 函数的性质及应用；导数的概念及应用分析： 先对函数进行求导令
22、导函数等于0，原函数有小于0的极值故导函数有小于0的根，然后转化为两个函数观察交点，确定a的范围解答： 解：y=ex+2ax，a0，y=ex+2a由题意知ex+2a=0有小于0的实根，令y1=ex，y2=2a，则两曲线交点在第二象限，结合图象易得02a1a0，故实数a的取值范围是（，0），故答案为：（，0）点评： 本题主要考查函数的极值与其导函数的关系，即函数取到极值时一定有其导函数等于0，但反之不一定成立16已知定义域为R的函数f（x）满足f（1）=3，且f（x）的导数f（x）2x+1，则不等式f（2x）4x2+2x+1的解集为（，+）考点： 导数的运算；其他不等式的解法 专题： 函数的性质
23、及应用；导数的综合应用分析： 先由f（x）2x+1，知函数g（x）=f（x）（x2+x）为R上的减函数，再将f（1）=3化为g（1）=1，将所解不等式化为g（2x）g（1），最后利用单调性解不等式即可解答： 解：f（x）2x+1，f（x）（2x+1）0，即f（x）（x2+x）0设g（x）=f（x）（x2+x）则g（x）在R上为减函数，f（1）=3，g（1）=f（1）（12+1）=32=1f（2x）4x2+2x+1=（2x）2+2x+1，f（2x）（2x）2+2x1，g（2x）1=g（1）2x1，解得x故答案为：（，+）点评： 本题考查利用导数研究函数的单调性的应用，解题时要认真审题，仔细解答，
24、注意合理地进行等价转化是中档题三、解答题：本大题共6小题，第17题10分，其他每题12分，共70分.解答题应写出文字证明，证明过程或演算步骤.（注意：在试题卷上作答无效）17（10分）（2013秋南安市校级期末）已知函数f（x）=x3x+2，其导函数为f（x）（）求f（x）在x=1处的切线l的方程（）求直线l与f（x）图象围成的图形的面积考点： 定积分在求面积中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程 专题： 导数的综合应用分析： （）求导函数，求出切线的斜率，利用点斜式，可得切线l的方程（）求出直线与l与f（x）的交点的横坐标，可得积分的上、下限，利用定积分，可求直线l与f（x）图象围成的图形
25、的面积解答： 解：（）f（x）=3x21，k=f（1）=2，又f（1）=2（4分）l：y2=2（x1），即：y=2x（6分）（）由（8分）（12分）点评： 本题考查导数知识的运用，考查利用定积分求面积，考查学生的计算能力，属于中档题18（12分）（2013秋昌平区期末）已知函数f（x）=x3+ax2x3在x=1时取得极值（）求f（x）的解析式；（）求f（x）在区间2，1上的最大值考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值 专题： 导数的综合应用分析： （）首先求出f（x），利用x=1时取得极值，则f（1）=0，得到关于a的方程求出a；（）令f（x）=0，得到x=1或者x=，列
26、表求出f（x）在2，1上的最大值解答： 解：（I）f（x）=3x2+2ax1f（x）在x=1时取得极值，所以f（1）=0，即32a1=0解得a=1经检验，a=1时，f（x）在x=1时取得极小值f（x）=x3+x2x3 （II）f（x）=3x2+2x1，令f（x）=0，解得x=1或x=； x2，1时，f（x）和f（x） 变化如下：由上表可知函数f（x）在区间2，1上的最大值为2点评： 本题考查了利用导数求函数闭区间上的最值问题19（12分）（2015春德惠市校级月考）在区间0，1上给定曲线y=x2（1）当t=时，求S1值（2）试在此区间内确定点t的值，使图中所给阴影部分的面积S1与S2之和最小考
27、点： 定积分在求面积中的应用 专题： 导数的综合应用分析： （1）利用定积分的几何意义首先表示S1，然后计算；（2）利用t分别用定积分表示两部分的面积，然后整理得到关于t的式子，结合解析式特点求最小值解答： 解：（1）当t=时，S1=（）|=；（2）设0t1当x=t时，y=t2S1=（t2x）|=，S2=（）|=，阴影部分的面积为S1+S2=f（t）=（0t1）f（t）=4t22t，令f（t）=0可得t1=0或t2=，由f（0）=，f（1）=，f（）=，可知当t=时，S1+S2有最小值点评： 本题考查了利用定积分表示封闭图形的面积与求函数最小值；关键是利用定积分表示封闭图形的面积20（12分）
28、（2014秋保定期末）已知函数f（x）=+lnx，其中aR（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若不等式f（x）1在x（0，e上恒成立，求实数a的取值范围考点： 函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明 专题： 导数的综合应用分析： （1）求函数的定义域，利用函数单调性和导数之间的关系即可求出函数的单调区间，（2）化简不等式，分离参数，构造函数，利用导数求出函数最大值，问题得以解决解答： 解：（1）定义域为（0，+）f（x）=+=，当a0，f（x）0，恒成立，f（x）在定义域（0，+）单调递增；当a0，当xa时，f（x）0，f（x）单调递增；当0xa，f（x）0，f（x）单调递减函数f（x）的单
29、调递增区间：（a，+），单调递减区间：（0，a）（2）f（x）1在（0，e上恒成立，+lnx1，即axlnx+x任意x（0，e上恒成立，令g（x）=xlnx+x，x（0，e，g（x）=lnx，令g（x）=0，解得x=1，g（x）在（0，1递增，在（1，e递减，g（x）max=g（1）=1，a1点评： 本题主要考查了导数和函数的单调性和最值的关系，以及恒成立问题，分离参数，求最值是常用的方法，属于中档题21（12分）（2015滕州市校级模拟）已知函数f（x）=（ax2+x+a）ex（1）若函数y=f（x）在点（0，f（0）处的切线与直线3xy+1=0平行，求a的值；（2）当x0，4时，f（x）e
30、4恒成立，求实数a的取值范围考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程 专题： 计算题；导数的概念及应用；导数的综合应用分析： （1）求出导数，求得切线斜率，由两直线平行的条件即可得到a；（2）当x0，4时，f（x）e4恒成立，即有当x0，4时，f（x）mine4求出导数，讨论当a0时，当a0时，当a1，当1a0时，当1a0时，运用单调性，求出f（x）最小值即可得到解答： 解：（1）函数f（x）=（ax2+x+a）ex导数f（x）=（2ax+1）ex（ax2+x+a）ex=ex（1ax+2axax2），则在点（0，f（0）处的切线斜率为f（0）=1a，f（0）=a，由于切线与直线3xy+1=0平行
31、，则有1a=3，a=2；（2）当x0，4时，f（x）e4恒成立，即有当x0，4时，f（x）mine4由于f（x）=（2ax+1）ex+（ax2+x+a）ex=ex（1+a+x+2ax+ax2）=（x+1）（ax+1+a）ex，当a0时，x0，4，f（x）0恒成立，f（x）在0，4递增，f（x）min=f（0）=ae4；当a0时，f（x）=a（x+1）（x+1+）ex，当a1，10，01+1，1（1+）0，x0，4，f（x）0恒成立，f（x）递减，f（x）min=f（4）=（17a+4）e4e4，17a+41，a，与a1矛盾，当1a0时，1，1+0，（1+）0，f（x）在0，4递增，或存在极大值
32、，f（x）min在f（0）和f（4）中产生，则需f（0）=ae4，且f（4）=（17a+4）e4e4，且1a0，推出a，综上，ae4点评： 本题考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，考查分类讨论的思想方法，是该题的难点所在，此题属中档题22（12分）（2015呼伦贝尔二模）已知函数f（x）=ln（x+a）x2+x，g（x）=xexx21（x0），且f（x）点x=1处取得极值（）求实数a的值；（）若关于x的方程f（x）=x+b在区间1，3上有解，求b的取值范围；（）证明：g（x）f（x）考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性 专题： 导
33、数的综合应用分析： （）通过求导得f（1）=0，则得a=0经检验符合题意； （）由题意得：令，从而有，进而求出b的取值范围；（）证明：令F（x）=g（x）f（x）=xexlnxx1（x0），则=，得到F（x）F（c）=0，从而证得g（x）f（x）解答： 解：（）f（x）=ln（x+a）x2+x，函数f（x）=ln（x+a）x2+x在点x=1处取得极值，f（1）=0，即当x=1时，则得a=0经检验符合题意； （），令，则当x1，3时，h（x），h（x）随x的变化情况表：x 1 （1，2） 2 （2，3） （8分）3h（x） + 0 h（x） 极大值 计算得：，h（2）=ln2+3，所以b的取值范
34、围为 （）证明：令F（x）=g（x）f（x）=xexlnxx1（x0），则=，令G（x）=xex1，则G（x）=（x+1）ex0（x0），函数G（x）在（0，+）递增，G（x）在（0，+）上的零点最多一个，又G（0）=10，G（1）=e10，存在唯一的c（0，1）使得G（c）=0，且当x（0，c）时，G（x）0；当x（c，+）时，G（x）0即当x（0，c）时，F（x）0；当x（c，+）时，F（x）0F（x）在（0，c）递减，在（c，+）递增，从而F（x）F（c）=ceclncc1由G（c）=0得cec1=0即cec=1，两边取对数得：lnc+c=0，F（c）=0，F（x）F（c）=0，从而证得g（x）f（x）点评： 本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，考查不等式的证明，是一道综合题