1、小结与复习 第二十八章 锐角三角函数(2)A的余弦：cosA ；(3)A的正切：tanA .要点梳理1.锐角三角函数如图所示，在RtABC中，C90，a，b，c分别是A，B，C的对边(1)A的正弦：A的对边斜边sin A=ac；A的邻边斜边bcA的邻边A的对边absin30 ，sin45 ，sin60 ；cos30 ，cos45 ，cos60 ；tan30 ，tan45 ，tan60 .2.特殊角的三角函数 1232332222132123合作探究(1)在RtABC中，C90，a，b，c分别是A，B，C的对边三边关系：_；三角关系：_；边角关系：sinAcosB_，cosAsinB_，tanA
2、_，tanB_.a2b2c2A90B 3.解直角三角形 acsincosAAsincosBBbc(2)直角三角形可解的条件和解法条件：解直角三角形时知道其中的2个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余的3个未知元素解法：一边一锐角，先由两锐角互余关系求出另一锐角；知斜边，再用正弦(或余弦)求另两边；知直角边用正切求另一直角边，再用正弦或勾股定理求斜边；知两边：先用勾股定理求另一边，再用边角关系求锐角；斜三角形问题可通过添加适当的辅助线转化为解直角三角形问题(3)互余两角的三角函数间的关系sin=，cos=_，sin2+cos2=.tan tan(90)=_.cos(90)sin(90)11对于
3、sin与tan，角度越大，函数值越；对于cos，角度越大，函数值越_.大小(4)锐角三角函数的增减性(1)利用计算器求三角函数值第二步：输入角度值，屏幕显示结果.(不同计算器操作可能不同)第一步：按计算器键，sintancos4.借助计算器求锐角三角函数值及锐角(2)利用计算器求锐角的度数还可以利用键，进一步得到角的度数.第二步：输入函数值屏幕显示答案(按实际需要进行精确)方法：2nd F第一步：按计算器键，2nd Fsincostan方法：第二步：输入锐角函数值屏幕显示答案(按实际需要选取精确值).第一步：按计算器键，2nd F(1)仰角和俯角 铅直线 水平线 视线 视线 仰角 俯角 在进行
4、测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.5.三角函数的应用 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于900的角，叫做方位角.如图所示：3045BOA东西北南(2)方位角4545西南O东北东西北南西北东南图 19.4.5坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作，有 i=tan.坡度通常写成1m的形式，如i=16.显然，坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡.如图：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度.记作i，即i=.(3)坡度，坡角hl(4)利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形
5、，转化为解直角三角形的问题）；根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；得到数学问题的答案；得到实际问题的答案ACMN在测点A安置测倾器，测得M的仰角MCE=；E量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l；量出测倾器的高度AC=a，可求出MN=ME+EN=l tan+a.(1)测量底部可以到达的物体的高度步骤：6.利用三角函数测高(2)测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢？在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角MCE=；ACBDMNE在测点A与物体之间的B处安置测倾器，测得此时M的仰角MDE=；量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A，B之间的距离AB=b.根据测量数据，可求出物体
6、MN的高度.,tantanMEMEb MNMEa考点一 求三角函数的值 考点讲练例1 在ABC中，C90，sinA，则tanB的值为()A.B.C.D.4543343545解析：根据sinA，可设三角形的两边长分别为4k，5k，则第三边长为3k，所以tanB4533.44kk B方法总结：求三角函数值方法较多，解法灵活，在具体的解题中要根据已知条件采取灵活的计算方法，常用的方法主要有：(1)根据特殊角的三角函数值求值；(2)直接运用三角函数的定义求值；(3)借助边的数量关系求值；(4)借助等角求值；(5)根据三角函数关系求值；(6)构造直角三角形求值1.在ABC中，A、B都是锐角，且sinA=
7、cosB，那么ABC一定是_三角形 直角2.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则ABC的正切值是_.12针对训练 例2 矩形ABCD中AB=10，BC=8，E为AD边上一点，沿CE将CDE对折，使点D正好落在AB边上，求tanAFE分析：根据题意，结合折叠的性质，易得AFE=BCF，进而在RtBFC中，有BC=8，CF=10，由勾股定理易得BF的长，根据三角函数的定义，易得 tanBCF的值，借助AFE=BCF，可得tanAFE的值108解：由折叠的性质可得，CF=CD，EFC=EDC=90.AFE+EFC+BFC=180，AFE+BFC=90.BCF+BFC=90
8、，AFE=BCF.在RtBFC中，BC=8，CF=CD=10，由勾股定理易得BF=6.tanBCF=.34tanAFE=tanBCF=.34108针对训练 解：在直角ABD中，tanBAD=BD=ADtanBAD=12=9，CD=BCBD=149=5，sinC=如图，ABC中，ADBC，垂足是D，若BC14，AD12，tanBAD，求sinC的值3434BDAD，222212513ACADCD，3412.13ADAC 考点二 特殊角的三角函数值 例3 计算：032tan 60.33 解：原式 33 12 3 1.(1)tan30cos45tan60；(2)tan30 tan60 cos230.
9、计算：333347.4323324 32.32解：原式解：原式针对训练 考点三 解直角三角形 例4 如图，在ABC中，C90，点D在BC上，BD4，ADBC，cosADC=，求：(1)DC的长；53分析：题中给出了两个直角三角形，DC和sinB可分别在RtACD和RtABC中求得，由ADBC，图中CDBCBD，由此可列方程求出CDABCD又 BCCDBD，解得x=6，CD=6.ABCD解：设CDx，在RtACD中，cosADC=，353553xADxAD，53ADBCBCx，543 xx，(2)sinB的值ABCD解：BC=BD+CD=4+6=10=AD，在RtACD中，在RtABC中，222
10、21068ACADCD，2264 1002 41ABACBC，84 41sin.412 41ACBAB方法总结：本考点主要考查已知三角形中的边与角求其他的边与角.解决这类问题一般是结合方程思想与勾股定理，利用锐角三角函数进行求解.如图所示，在RtABC中，C90，AC.点D为BC边上一点，且BD2AD，ADC60.求ABC的周长(结果保留根号).针对训练 3解：在RtADC中，BD2AD4.BCBDDC5.在RtABC中，ABC的周长为ABBCACsin=,ACADCAD3=1,tantan 60ACDCADCtan=,ACADCDC3=2,sinsin 60ACADADC222 7.ABAC
11、BC2 752 3.解：连接OC.BC是O的切线，OCB90，OCABCA90.OAOC，OCAOAC，OACBCA90，BOA90，OACAPO90，APOBPC，BPCBCA，BCBP.例5 已知：如图，RtAOB中，O90，以OA为半径作O，BC切O于点C，连接AC交OB于点P.(1)求证：BPBC；解：延长AO交O于点E，连接CE，在RtAOP中，sinPAO，设OPx，AP3x，AOx.AOOE，OEx，AEx.sinPAO，在RtACE中，解得x3，AOx，即O的半径为.(2)若sinPAO，且PC7，求O的半径13132 22 24 2132 23ACAE 372 234 2xx
12、2 26 26 2E如图，AB为O的直径，且弦CDAB于E，过点B的切线与AD的延长线交于点F若cosC=，DF=3，求O的半径45针对训练 解：连接BD在O中，C=A，BF是O的切线，ABF=90设AB=4x，则AF=5x，由勾股定理得，BF=3xAB是O的直径，BDAD，cosA=cosC=4.5ABFBDF，BFDF=AFBF，33=53xxx即，5.3x 解得O的半径为 110AB2.23x考点四 三角函数的应用 例6 如图，防洪大堤的横截面是梯形 ABCD，其中ADBC，=60，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角=45若原坡长AB=20m，求改造后的坡长AE(结果保留根号)
13、解：过点A作AFBC于点F，在RtABF中，ABF=60，则AF=ABsin60=(m)，在RtAEF中，E=45，则(m).故改造后的坡长 AE 为m.10 310 6sin 45AFAE 10 6F如图，某防洪指挥部发现长江边一处防洪大堤(横断面为梯形ABCD)急需加固，背水坡的坡角为45，高10米经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽 2米，加固后背水坡EF的坡比i=1:求加固后坝底增加的宽度AF.(结果保留根号)3针对训练 ABCDEF45i=1:3ABCDEF45i=1:3GH解：作DGAB于G，EHAB于G，则GH=DE=2米，EH=D
14、G=10米.10=10 3tanEHFHFi(米)，10 32FGFHHG(米).又AG=DG=10米，(米).故加固后坝底增加的宽度AF为米.10 32 1010 38AFFGAG10 38例7 如图，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48，若坡角FAE=30，求大树的高度（结果保留整数，参考数据:(sin480.74，cos480.67，tan481.11，1.73）3解：如图，过点 D 作DGBC于G，DHCE于H，则四边形DHCG为矩形故DG=CH，CG=DH，DGHC
15、，DAH=FAE=30，在RtAHD中，DAH=30，AD=6，DH=3，AH=，CG=3，设BC为x，在直角三角形ABC中，3 3tan1.11BCxACBAC，GH在RtBDG中，BG=DG tan30，解得：x 13，大树的高度为：13米.3 331.11xDGBGx，333 31.113xx GH针对训练 如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30，在A、C之间选择一点B（A、B、C三点在同一直线上）用测角仪测得塔顶D的仰角为75，且AB间的距离为40m(1)求点B到AD的距离；答案：点B到AD的距离为20m.E(2)求塔高CD（结果用根号表
16、示）E解：在RtABE中，A=30，ABE=60，DBC=75，EBD=1806075=45，DE=EB=20m，则AD=AE+EB=(m)，在RtADC中，A=30，答：塔高CD为m.20 32010 10 32ADDC(m).10 10 3例8 如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，测得CAO=45，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45km/h和36km/h，经过0.1h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，测得DBO=58，此时B处距离码头O多远？（参考数据：sin580.85，cos580.53，tan581.60）
17、解：设B处距离码头O x km，在RtCAO中，CAO=45，CO=AO tanCAO=（450.1+x）tan45=4.5+x，在RtDBO中，DBO=58，DO=BO tanDBO=x tan58，DC=DOCO，360.1=x tan58（4.5+x），因此，B处距离码头O大约13.5km.36 0.14.536 0.14.513.5.tan5811.60 1xCOAODOBOtanCAO=,tanDBO=,某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l(如图).救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B处有人发出求救信号他立即沿AB方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的
18、救生员乙乙马上从C处入海，径直向B处游去甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D处，再向B处游去若CD40米，B在C的北偏东35方向，甲、乙的游泳速度都是 2 米/秒，则谁先到达 B 处？请说明理由(参考数据：sin550.82，cos550.57，tan551.43).针对训练 分析：在RtCDB中，利用三角函数即可求得BC，BD的长，则可求得甲、乙所用的时间，比较二者之间的大小即可解：由题意得BCD55，BDC90.BDCD tanBCD40tan5557.2(米)BC70.2(米)t甲57.2221038.6(秒)，t乙70.22235.1(秒)t甲t乙答：乙先到达B处CDCOSBCD40cos55锐角三角函数特殊角的三角函数解直角三角形简单实际问题课堂小结正弦 锐角三角函数余弦 正切 三边关系三角关系边角关系仰俯角问题方位角问题坡度问题