1、核心素养测评 十二导数及导数的运算(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.下列求导运算正确的是()A.=1+ B.(log2x)=C.(5x)=5xlog5x D.(x2cos x)=-2xsin x【解析】选B.A.=1-,故错误;B.符合对数函数的求导公式,故正确;C.(5x)=5xln 5,故错误;D.(x2cos x)=2xcos x-x2sin x,故错误.2.若函数f(x)=,则f(0)等于()A.1B.0C.-1D.-2【解析】选A.函数的导数f(x)=,则f(0)=1.3.某炼油厂的一个分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x小时时,原油温度(单位
2、:)为f(x)=x3-x2+8(0x5), 那么,原油温度的瞬时变化率的最小值是()A.8B.C.-1D.-8【解析】选C.因为f(x)=x3-x2+8(0x5), 所以f(x)=x2-2x=-1, 又0x5, 故当x=1时,f(x)有最小值-1,即原油温度的瞬时变化率的最小值是-1.4.(2020广元模拟)已知函数f(x)=x2+cos x,则其导函数f(x)的图象大致是()【解析】选A.因为f(x)=x-sin x,这是一个奇函数,图象关于原点对称,故排除B,D两个选项.f=-0,则当x0时,f(x)0.则f(x)的单调递增区间是(0,+).二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2019
3、南昌模拟)设函数f(x)在(0,+)内可导,其导函数为f(x),且f(ln x)=x+ln x,则f(1)=_.【解析】因为f(ln x)=x+ln x,所以f(x)=x+ex,所以f(x)=1+ex,所以f(1)=1+e1=1+e.答案:1+e9.已知函数y=f(x)的图象在x=2处的切线方程是y=3x+1,则f(2)+f(2)=_.世纪金榜导学号【解析】由题意可知f(2)=32+1=7, f(2)=3,所以f(2)+f(2)=10.答案:10【变式备选】如图,y=f(x)是可导函数,直线l是曲线y=f(x)在x=4处的切线,令g(x)=,则g(4)=_.【解析】由题图知,切线过(0,3),
4、(4,5),所以直线l的斜率为=,由于曲线在切点处的导数值为曲线的切线的斜率,所以f(4)=,f(4)=5.由g(x)=,得g(x)=,故g(4)=-.答案:-10.(2018全国卷)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为_.世纪金榜导学号【解析】y=,k=2,所以切线方程为y-0=2(x-0),即y=2x.答案:y=2x(15分钟35分)1.(5分)已知函数f(x)=x2+2xf,则f与f的大小关系是()A.ffB.f=fC.ff.2.(5分)(2020太原模拟)已知点P是直线y=2x-4上的动点,点Q是曲线y=x+ex上的动点,则|PQ|的最小值为()A.5B.C.e+3D.【解析】选B.设曲线y=x+ex上切点为M(x0,x0+),y=x+exy=1+ex,k=1+=2x0=0M(0,1),M(0,1)到直线y=2x-4的距离为,即|PQ|的最小值为.3.(5分)(2020重庆模拟)已知函数f=x3-2x,则曲线y=f在点(1,f(1)处的切线的倾斜角是_,切线方程为_.【解析】根据题意,函数f(x)=x3-2x,设切线的斜率为k,其倾斜角是,则f(x)=x2-2,则有k=f(1)=-1,则tan =-1,又由00,即4a2+4a+10,所以a-.所以a的取值范围为.- 7 -
