1、2016届高三数学33个黄金考点总动员 考点13 三角函数的图像和性质(理）【考点剖析】1.最新考试说明：(1)考查三角函数的值域与最值(2)考查三角函数的单调性(3)利用三角函数的值域和单调性求参数的值2.命题方向预测：(1)三角函数的最值以及三角函数的单调性是历年高考的重要考点.(2)利用三角函数的单调性求最值、利用单调性求参数是重点也是难点.(3)题型不限，选择题、填空题、解答题都有可能出现，常与多个知识点交汇命题.3.课本结论总结：(1)由ysin x的图象变换到yAsin (x)的图象，有两种变换方式：先相位变换再周期变换(伸缩变换)：；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是
2、(0)个单位原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于x加减多少值(2)的性质：定义域为R，值域为；是周期函数，最小正周期为；在单调递增，在单调递减；当时，；当时，；其对称轴方程为,对称中心坐标为.(3)的性质：定义域为R，值域为；是周期函数，最小正周期为；在单调递增，在单调递减；当时，；当时，；其对称轴方程为,对称中心坐标为.（4）的性质：定义域为，值域为；是周期函数，最小正周期为；在单调递增；其对称中心坐标为.4. 名师二级结论：（1）由ysin x的图象变换到yAsin (x)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|个单位；而
3、先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(0)个单位原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于x加减多少值（2）在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A，k，由周期T确定，即由T求出，由特殊点确定(3)作正弦型函数yAsin(x)的图象时应注意：首先要确定函数的定义域；对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象.(4)求三角函数值域(最值)的方法：利用sin x、cos x的有界性；形式复杂的函数应化为的形式逐步分析的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；换元法：把sin x或co
4、s x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题5.、的性质：周期性函数yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为，ytan(x)的最小正周期为.奇偶性三角函数中奇函数一般可化为yAsin x或yAtan x，而偶函数一般可化为yAcos xb的形式研究函数的单调性、最值、对称性等问题，要注意整体意识，即将看作一个整体.5.课本经典习题：(1)新课标A版第147 页，第 A9 题（例题）已知.求它的递减区间；求它的最大值和最小值.【解析】令，解得，即函数的单调区间为;由题意得，.【经典理由】综合考查三角恒等变换与三角函数的图像与性质(2) 新课标A版第 147 页，第 A10题
5、（例题）已知函数.求的最小正周期；当时，求的最小值以及取得最小值时的集合.【解析】.;，则，即，此时，即，即取得最小值时的集合为.【经典理由】综合考查三角恒等变换与三角函数的图像与性质6.考点交汇展示：(1)与定积分的交汇【2014高考湖南卷第9题】已知函数且则函数的图象的一条对称轴是( ) A. B. C. D. (2)与平面向量的交汇【2014高考山东卷第16题】已知向量，设函数，且的图象过点和点.（）求的值；（）将的图象向左平移（）个单位后得到函数的图象.若的图象上各最高点到点的距离的最小值为1，求的单调增区间.(3)与解三角形的交汇【2015高考湖南，理17】设的内角，的对边分别为，且
6、为钝角.（1）证明：；（2）求的取值范围.【考点分类】热点一 三角函数的图像. 【2015高考山东，理3】要得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）（A）向左平移个单位 （B）向右平移个单位（C）向左平移个单位 （D）向右平移个单位 2. 【2015高考四川，理4】下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（ ） 3.【2014全国1高考理第6题】如图，图O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数，则的图像大致为（ ） A B CD4.【2015高考湖北，理17】某同学用“五
7、点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：0050 （）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式；（）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象. 若图象的一个对称中心为，求的最小值. 【方法规律】1.用“五点法”作图应抓住四条：将原函数化为或的形式；求出周期T；求出振幅A；列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点2.的图象有无穷多条对称轴，可由方程解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与x轴的交点，可由，解得x(kZ)，即其对称中心为(，0)(kZ)3.相邻两对称轴间的距离为，相邻两对称中心间的
8、距离也为.【解题技巧】根据的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：(1)A的确定：根据图象的最高点和最低点，即A；(2)k的确定：根据图象的最高点和最低点，即k；(3)的确定：结合图象，先求出周期T，然后由T(0)来确定；(4)的确定：法一：代入图像的最高点坐标或最低点坐标，则或，求值法二：由函数yAsin(x)k最开始与x轴的交点的横坐标为(即令x0，x)确定如 ：将函数f(x)sinx(其中0)的图象向右平移个单位长度，所得图象关于对称，则的最小值是A.6B.C.D.【易错点睛】研究三角函数图像的变换时，要注意由的图像变换成的图像的变换过程:的图像由的图像向左（）或向右（）平移个
9、单位长度.如：【2014浙江高考第4题】为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ）A. 向右平移个单位 B.向左平移个单位 C.向右平移个单位 D.向左平移个单位 热点二 三角函数的最值1. 【2015高考安徽，理10】已知函数（，均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（ ） （A） （B） （C） （D）2. 【2015高考陕西，理3】如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（ ）A5 B6 C8 D103.【2014全国2高考理第14题】 函数的最大值为_.4.【2014高考江西理第16题】已知
10、函数，其中（1）当时，求在区间上的最大值与最小值；（2）若，求的值.【方法规律】求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法：(1)利用sin x、cos x的有界性；(2)形式复杂的函数应化为yAsin(x)k的形式逐步分析x的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题.【解题技巧】求三角函数的最值问题，最主要的题型是：通过三角恒等变形将所给解析式化为的形式，再进行求解.当时，；当时，则先求的范围，再利用正弦函数的图像写出函数的最值，再进一步求解.如：【2014全国2高考理第14题】 函数的最大值
11、为_.【易错点睛】在求函数的最值时，一般思路通过三角恒等变换化成的形式，但不要忽视变形中的等价性，如定义域的变化.如：【河南省安阳一中2015届高三第一次月考6】函数的值域是 （ ）A4，0 B C D热点三 三角函数的性质1. 【2015高考新课标1，理8】函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为( )(A) (B)(C) (D) 2. 【2015高考湖南，理9】将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，有，则（ ）A. B. C. D.3. 【2015高考上海，理13】已知函数若存在，满足，且（，），则的最小值为 4. 【2015高考重庆，理18】 已知函数 （1）求的最
12、小正周期和最大值； （2）讨论在上的单调性.【方法规律】、的性质：周期性函数yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为，ytan(x)的最小正周期为.奇偶性三角函数中奇函数一般可化为yAsin x或yAtan x，而偶函数一般可化为yAcos xb的形式研究函数的单调性、最值、对称性等问题，要注意整体意识，即将看作一个整体. 如：【2015高考北京，理15】已知函数() 求的最小正周期；() 求在区间上的最小值【解题技巧】研究函数的单调性、最值、对称性等问题，要注意整体意识，即将看作一个整体.如（上例）【易错点睛】求形如yAsin(x)或yAcos(x)(其中A0，0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：把“x(0)”视为一个“整体”；A0(A 0，若对任意的总存在，使得成立，求m的取值范围