1、2016届高三数学33个黄金考点总动员考点11 定积分的概念与微积分基本定理【考点剖析】1最新考试说明：（1）考查定积分的概念，定积分的几何意义，微积分基本定理（2）利用定积分求曲边形面积、变力做功、变速运动的质点的运动路程考点考纲要求 考查角度 定积分了解定积分的基本思想；了解定积分的概念求由曲线围成的平面图形的面积 微积分基本定理了解微积分基本定理的含义；会用牛顿莱布尼茨公式求被积函数是简单的幂函数，正、余弦函数，指数函数的定积分定积分的计算2命题方向预测：从近两年的高考试题看，本节内容要求较低，定积分的简单计算与利用定积分求平面图形的面积是考查的重点，与几何概型概率的计算相结合是近几年高
2、考的亮点，题型为选择题或填空题，难度中等偏下预测2016年利用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等是定积分命题的主要方向，一般以客观题形式出现3课本结论总结：（1）用定义求定积分的一般方法是：分割：n等分区间a，b；近似代替：取点ixi1，xi；求和：f(i)；取极值：f(x)dxf(i)（2）定积分的性质性质1：；性质2：（为常数）（定积分的线性性质）；性质3：（定积分的线性性质）；推广：性质4：（其中）（定积分对积分区间的可加性）推广：说明：定积分的定义中，限定下限小于上限，即ab，为了方便计算，人们把定积分的概念扩大，使下限不一定小于上限，并规定：（3）微积分基本定理一般地，
3、如果f(x)在区间a，b上连续，且F(x)f(x)，那么f(x)dxF(x)F(b)F(a)这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼兹公式（4）常用定积分公式：（为常数）；4名师二级结论：一种思想定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”的步骤解决“无限”过程的问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”，利用这种方法可推导球的表面积和体积公式等恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始以及微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就一种关系由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算三条性质（1）常数可提到积分号外；（2）和差的积分等于积分的和差；（3）
4、积分可分段进行四种求定积分的方法利用定义求定积分；利用微积分基本定理求定积分；利用定积分的几何意义求定积分如：定积分dx的几何意义是求单位圆面积的，所以dx；利用积分的性质两类典型的计算曲边梯形面积的方法（1）型区域：由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积：（如图（1）；图（1） 图（2） 图（3） 图（4）由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积：（如图（2）；由一条曲线，当时，；当时，与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积：（如图（3）；由两条曲线（与直线所围成的曲边梯形的面积：（如图（4）（2）型区域：由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积，可由得，然后利用求出（如图（5）；
5、由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积，可由先求出，然后利用求出（如图（6）；由两条曲线与直线所围成的曲边梯形的面积，可由先分别求出，然后利用求出（如图（7）；图（5） 图（6） 图（7）5课本经典习题：（1）【人教新课标A版2-2第47页例1】利用定积分的定义，计算的值【解析】令分割：把区间n等分，则第i个区间为：，每个小区间长度为：；近似代替、求和：取，则；取极限：【经典理由】典型的应用定义计算定积分（2）【人教新课标A版2-2第56页，例1】计算由曲线所围成图形的面积【变式】由曲线所围成图形的面积为_【解析】联立 得交点坐标， ，而表示单位圆在第一象限内的部分，6考点交汇展示：（1
6、） 定积分计算与几何概型交汇例1如图，设D是图中边长为2的正方形区域，E是函数的图像与x轴及围成的阴影区域，项D中随机投一点，则该点落入E中的概率为 ( )A B C D（2） 定积分的计算与函数的性质交汇例2若，则等于 （3） 定积分的计算与二项式定理的应用交汇例3已知则二项式的展开式中的系数为 【考点分类】热点1 定积分的基本计算1【2014江西高考理第8题】若则 （ ）A B C D12【2014陕西高考理第3题】定积分的值为 （ ） 3【2015高考湖南，理11】 .【方法规律】计算简单定积分的步骤：（1）把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差；（2）利用定积
7、分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和或差；（3）分别用求导公式求出F(x)，使得F(x)f(x)；（4）利用牛顿莱布尼兹公式求出各个定积分的值；（5）计算所求定积分的值【解题技巧】求定积分的常用技巧：（1）求被积函数，要先化简，再求积分；（2）求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和；（3）对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号才能积分；（4）若f(x)是偶函数，则f(x)dx2f(x)dx；若f(x)是奇函数，则f(x)dx0热点2 定积分几何意义的应用1【2014山东高考理第6题】直线在第一象限内围成的封闭图形的面积为 （ ）A. B C D
8、 42【2015高考天津，理11】曲线 与直线 所围成的封闭图形的面积为 .【方法规律】1定积分的几何意义：定积分表示在区间上的曲线与直线、以及轴所围成的平面图形（曲边梯形）的面积的代数和，即（在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积取负号）2求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤：（1）画出图形，确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标定出积分的下、下限；（2）确定被积函数，特别要注意分清被积函数的下、下位置；（3）写出平面图形面积的定积分的表达式；（4）运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数当图形的边界不同时，要分不同
9、情况讨论【易错点睛】概念理解错误例【2014北京西城】求曲线f(x)sin x，x0，与x轴围成的图形的面积【错解】设曲线f(x)sin x与x轴围成的图形的面积为S，则【剖析】本题的错误在于没有理解定积分的几何意义，当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值，其面积应是该定积分的相反数【正解】对于f(x)sin x，当x0，时，f(x)0，当x(，时，f(x)0，则所求面积为热点3 定积分物理意义的应用1一辆汽车在高速公路下行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度（t的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止 在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（ ） B C D 【方法规律】利用定积分
10、解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求变速直线运动的路程：作变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数在时间区间上的定积分，即变力作功：物体在变力的作用下做直线运动，并且物体沿着与相同的方向从移动到，那么变力所作的功【易错点睛】如上题可能出现以下错误：（1）未形成应用定积分解题的意识，造成思维受阻（2）不知如何确定刹车后汽车继续行驶的时间，从而不能正确确定积分区间（3）求错被积函数的原函数致误防范措施：（1）学习数学，要知道知识方法形成的背景以及应用的方面，不能
11、孤立地看待一个知识方法，要用联系的观点去认识；（2）分析刹车的过程，可以发现，由速度为零可以得到汽车继续行驶的时间由此可见，分析过程可以发现规律【热点预测】1【河南省安阳一中2015届高三第一次月考8】如图是函数在一个周期内的图象，则阴影部分的面积是（ ）xOyO A B C D 2( )A 0 B C D 3设，若曲线与直线，所围成封闭图形的面积为2，则（ ）A2 Be C2e D4【2014辽宁】如图，阴影部分的面积是 ( )A2 B2 C D5直线的方向向量为且过抛物线的焦点，则直线与抛物线围成的封闭图形面积为( )A B C D6曲线和曲线围成一个叶形图（如图所示阴影部分），其面积是
12、（ ）A1BCD7已知等差数列的前n项和为，又知，且，则为 （ ）A33B46 C48 D50 8给出如下命题：dxdtba(a，b为常数且ab)；曲线ysin x，x0，2与直线y0围成的两个封闭区域的面积之和为2其中正确命题的个数为()A0 B1 C2 D39【2014届高三原创预测卷理科数学试卷4（安徽版）】设，则下列关系式成立的是 （ ）A B C D10. 若则等于（ ）A B C D11【河北省“五个一名校联盟” 2015届高三教学质量监测（一）13】直线与抛物线所围图形的面积等于_12一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设汽车在时刻t的速度为v(t)=-t2+4，（t）（t的单位：h， v的单位：km/h）则这辆车行驶的最大位移是_km13【2015高考陕西，理16】如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 14.【2014吉林一中】设，则二项式展开式中的项的系数为