1、第3节椭圆 【选题明细表】知识点、方法题号椭圆的定义1、2、8、12椭圆的标准方程10、11、16椭圆的几何性质3、4、6、7、9、13直线与椭圆的位置关系5、14、15、16一、选择题1.设P是椭圆+=1上的点.若F1、F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于(D)(A)4(B)5(C)8(D)10解析:由方程知a=5,根据椭圆定义,|PF1|+|PF2|=2a=10.故选D.2.(2013唐山二模)P为椭圆+=1上一点,F1,F2为该椭圆的两个焦点,若F1PF2=60,则等于(D)(A)3(B)(C)2(D)2解析:由椭圆方程知a=2,b=,c=1,|PF1|PF2|=4.=|c
2、os 60=4=2.3.(2012年高考江西卷)椭圆+=1(ab0)的左、右顶点分别是A、B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为(B)(A)(B)(C)(D)-2解析:本题考查椭圆的性质与等比数列的综合运用.由椭圆的性质可知|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c,又|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,故(a-c)(a+c)=(2c)2,可得e=.故应选B.4.(2013年高考辽宁卷)已知椭圆C:+=1(ab0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|BF|=
3、8,cosABF=,则C的离心率为(B)(A)(B)(C)(D)解析:|AF|2=|AB|2+|BF|2-2|AB|BF|cosABF=100+64-2108=36,则|AF|=6,AFB=90,半焦距c=|FO|=|AB|=5,设椭圆右焦点F2,连结AF2,由对称性知|AF2|=|FB|=8,2a=|AF2|+|AF|=6+8=14,即a=7,则e=.故选B.5.已知椭圆E:+=1,对于任意实数k,下列直线被椭圆E截得的弦长与l:y=kx+1被椭圆E截得的弦长不可能相等的是(D)(A)kx+y+k=0(B)kx-y-1=0(C)kx+y-k=0(D)kx+y-2=0解析:取k=1时,l:y=
4、x+1.选项A中直线:y=-x-1与l关于x轴对称,截得弦长相等.选项B中直线:y=x-1与l关于原点对称,所截弦长相等.选项C中直线:y=-x+1与l关于y轴对称,截得弦长相等.排除选项A、B、C,故选D.6.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值为(C)(A)2(B)3(C)6(D)8解析:由题意得F(-1,0),设点P(x0,y0),则=3(-2x02),=x0(x0+1)+=+x0+=+x0+3=(x0+2)2+2,当x0=2时,取得最大值为6.故选C.7.(2013山东省实验中学第二次诊断)已知椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1(-c,
5、0),F2(c,0),若椭圆上存在点P,使=,则该椭圆的离心率的取值范围为(D)(A)(0,-1)(B),1(C)0,(D)(-1,1)解析:由题意知点P不在x轴上,在PF1F2中,由正弦定理得=,所以由=可得=,即=e,所以|PF1|=e|PF2|.由椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=2a,所以e|PF2|+|PF2|=2a,解得|PF2|=.由于a-c|PF2|a+c,所以有a-ca+c,即1-e1+e,也就是解得-1e.又0e1,-1eb0)的左、右焦点分别是F1、F2,过F2作倾斜角为120的直线与椭圆的一个交点为M,若MF1垂直于x轴,则椭圆的离心率为.解析:不妨设|F1F2|=1
6、,直线MF2的倾斜角为120,MF2F1=60.|MF2|=2,|MF1|=,2a=|MF1|+|MF2|=2+,2c=|F1F2|=1.e=2-.答案:2-10.(2013西安模拟)过点(,-),且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆的标准方程为.解析:由题意可设椭圆方程为+=1,代入点(,-),得+=1,解得m=5或m=21(舍去),椭圆的标准方程为+=1.答案:+=111.若椭圆+=1的焦点在x轴上,过点1,作圆x2+y2=1的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是.解析:由题可知其中一个切点为(1,0)为椭圆的右焦点,c=1,两切点的连线AB被OP(P为AB
7、中点)垂直平分,直线OP斜率kOP=.kAB=-2,直线AB:y-0=-2(x-1),y=-2x+2,上顶点坐标为(0,2).b=2,a2=b2+c2=5,椭圆方程+=1.答案:+=112.已知F1,F2是椭圆C:+=1(ab0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且.若PF1F2的面积为9,则b=.解析:由题意得(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|PF2|=4c2,即4a2-2|PF1|PF2|=4c2,|PF1|PF2|=2b2,=|PF1|PF2|=b2=9,b=3.答案:313.(2013抚顺六校模拟)已知椭圆+=1(ab0),M,N是椭圆上关于原点对称的两点,P是椭圆上任意一点,且
8、直线PM,PN的斜率分别为k1,k2,若|k1k2|=,则椭圆的离心率e=.解析:设P(x,y),M(x0,y0),N(-x0,-y0),则k1=,k2=,由题意得|k1k2|=,P,M,N在椭圆上,+=1,+=1,两式相减得+=0,即=-,=,即=,解得e=.答案:三、解答题14.(2012年高考广东卷)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:+=1(ab0)的左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上.(1)求椭圆C1的方程;(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线l的方程.解:(1)由椭圆C1的左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上,可得故椭圆
9、C1的方程为+y2=1.(2)由题意分析,直线l斜率存在且不为0,设其方程为y=kx+b,由直线l与抛物线C2相切得消y得k2x2+(2bk-4)x+b2=0,1=(2bk-4)2-4k2b2=0,化简得kb=1.由直线l与椭圆C1相切得消y得(2k2+1)x2+4bkx+2b2-2=0,2=(4bk)2-4(2k2+1)(2b2-2)=0,化简得2k2=b2-1.联立得解得b4-b2-2=0,b2=2或b2=-1(舍去),b=时,k=,b=-时,k=-.即直线l的方程为y=x+或y=-x-.15.(2013海淀三模)已知椭圆C:+=1(ab0)的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为60的菱形的
10、四个顶点.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线y =kx交椭圆C于A,B两点,在直线l:x+y-3=0上存在点P,使得PAB为等边三角形,求k的值.解:(1)因为椭圆C:+=1(ab0)的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为60的菱形的四个顶点.所以a=,b=1,椭圆C的方程为+y2=1.(2)设A(x1,y1),则B(-x1,-y1),当直线AB的斜率为0时,AB的垂直平分线就是y轴,y轴与直线l:x+y-3=0的交点为P(0,3),又因为|AB|=2,|PO|=3,所以PAO=60,所以PAB是等边三角形,所以直线AB的方程为y=0,当直线AB的斜率存在且不为0时,则直线AB的方程为y=kx,
11、所以化简得(3k2+1)x2=3,所以|x1|=,则|AO|=.设AB的垂直平分线为y=-x,它与直线l:x+y-3=0的交点记为P(x0,y0),所以解得则|PO|=,因为PAB为等边三角形,所以应有|PO|=|AO|,代入得=,解得k=0(舍去),k=-1.综上,k=0或k=-1.16.(2013临沭一模)已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.(1)求椭圆C的方程;(2)设不与坐标轴平行的直线l:y=kx+m与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为,求AOB面积的最大值.解:(1)设椭圆的半焦距为c,依题意b=1,所求椭圆方程为+y2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).坐标原点O到直线l的距离为,=,得m2=(k2+1).把y=kx+m代入椭圆方程,整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0,x1+x2=,x1x2=.|AB|2=(1+k2)(x2-x1)2=(1+k2)-=3+=3+(k0)3+=4.当且仅当9k2=,即k=时等号成立.所以|AB|max=2.所以AOB面积的最大值S=|AB|max=.