1、第五章三角函数5.4三角函数的图象与性质5.4.3正切函数的性质与图象目标1.能够作出ytanx的图象；2.理解并记住正切函数的性质；3.会利用正切函数的图象与性质解决相关问题重点 正切函数的性质难点正切函数的图象、性质及其应用知识点一正切函数ytanx的图象填一填正切函数ytanx的图象叫做正切曲线.答一答1.正切函数ytanx的图象与xk，kZ有公共点吗？提示：没有正切曲线是由被互相平行的直线xk(kZ)隔开的无穷多支曲线组成的2.直线ya与ytanx的图象相邻两交点之间的距离是多少？提示：由图象结合正切函数的周期性可知，两交点之间的距离为.3.观察正切函数曲线，写出满足下列条件的x的集合
2、(1)满足tanx0的集合为x|xk，kZ(2)满足tanx0的集合为x|kx0的集合为x|kxk，kZ知识点二正切函数ytanx的性质填一填(1)定义域是x|xk，kZ(2)值域是R，即正切函数既无最大值，也无最小值(3)周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是.(4)奇偶性：正切函数是.奇函数(5)单调性：正切函数在开区间内是增函数(k，k)，kZ(6)对称性：正切函数的图象关于原点对称，正切曲线都是中心对称图形，其对称中心坐标是，正切函数无对称轴(，0)(kZ)答一答4.ytanx在定义域上是增函数吗？提示：ytanx在每个开区间(k，k)，kZ内都是增函数，但在整个定义域上不具有单调性
3、5.正切函数图象与x轴有无数个交点，交点的坐标为(k，0)(kZ)，因此有人说正切函数图象的对称中心为(k，0)(kZ)，这种说法对吗？提示：不对正切函数的图象不仅仅关于点(k，0)对称，还关于点(k，0)(kZ)对称，因此正切函数ytanx的对称中心为(，0)(kZ)类型一利用正切函数图象求定义域及值域例1求下列函数的定义域和值域：(1)ytan；(2)y.解(1)由xk，kZ得，xk，kZ.所以函数ytan的定义域为x，其值域为(，)(2)由tanx0得，tanx.结合ytanx的图象可知，在上，满足tanx的角x应满足x，所以函数y的定义域为，其值域为0，)(1)求与正切函数有关的函数定
4、义域要列出使各部分都有意义的不等式(组)，然后求出x的范围.(2)求值域要用换元的思想，把tanx看作可取任意实数的自变量.变式训练1(1)求函数ylg(1tanx)的定义域(2)求函数ysinxtanx，x的值域解：(1)由题意得即1tanx0)的最小正周期为T，常常使用此公式来求周期，也可以借助函数图象求周期.变式训练2若函数ytan(a0)的最小正周期为，则a. 解析：T，所以a.类型三正切函数的单调性及应用例3(1)求函数ytan的单调区间；(2)比较tan与tan的大小解(1)由kxk，kZ得，2kx2k，kZ.所以函数ytan的单调递增区间是，kZ，无单调递减区间(2)由于tant
5、antantan，tantantan，又0，而ytanx在上单调递增，所以tantan，即tantan.(1)求函数yAtan(x)的单调性时可将x看成一个整体，利用ytanx的单调性求解，但需注意A、的正负性对函数单调性的影响.(2)比较正切值的大小时可利用诱导公式将角转化到区间内，再利用正切函数的单调性比较.变式训练3 (1)函数y3tan的单调区间是.递减;，kZ(2)比较大小：tantan.解析：(1)y3tan3tan，由kk，kZ，得4kx4k，kZ.所以y3tan的单调递减区间为，kZ.(2)tantantan，tantantan，又0，ytanx在内单调递增，tantan.类型
6、四正切函数图象与性质的综合应用例4设函数f(x)tan(x)，已知函数yf(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)的单调区间；(3)求不等式1f(x)的解集解(1)由题意，知函数f(x)的最小正周期T，即.因为0，所以2.从而f(x)tan(2x)因为函数yf(x)的图象关于点M对称，所以2，kZ，即，kZ.因为0，所以.故f(x)tan.(2)令k2xk，kZ，得k2xk，kZ.即x，kZ.所以函数的单调递增区间为，kZ，无单调递减区间(3)由(1)，知f(x)tan.由1tan，得k2xk，kZ.即x，kZ.所以不等式1f(x)的
7、解集为.(1)正切函数ytanx与x轴相邻交点间的距离为一个周期；(2)ytanx的对称中心为，不但包含ytanx的零点，而且包括直线xk(kZ)与x轴的交点.变式训练4已知函数ytan(2x)图象的一个对称中心为点，若，求的值解：因为函数ytanx图象的对称中心为点，其中kZ，所以2x，令x，得，kZ.又，当k1时，当k2时，.所以或.1.若tanx0，则( D)A2kx2k(kZ)Bx(2k1)(kZ)C2kxk(kZ)Dkxk(kZ)2.函数y2tan的一个对称中心是(C)ABCD解析：由3x，得x，令k2得x.故选C3.函数y是()A奇函数B偶函数C既是奇函数也是偶函数D非奇非偶函数4
8、.使函数y2tanx与ycosx同时为单调增的区间是.(kZ)和(kZ)解析：由y2tanx与ycosx的图象知，同时为单调增的区间为(kZ)和(kZ)5求函数ytan(x)，x的值域解：ytan(x)tanx，在上为减函数，所以值域为(，1)本课须掌握的两大问题1正切函数的图象正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为xk，kZ，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增2正切函数的性质(1)正切函数ytanx的定义域是x|xk，kZ，值域是R.(2)正切函数ytanx的最小正周期是，函数yAtan(x)(A0)的周期为T.(3)正切函数在(kZ)上单调递增，不能写成闭区间正切函数无单调递减
9、区间第五章5.4.3正切函数的性质与图象A组素养自测一、选择题1函数ytan(x)的定义域是(A)AxR|xk，kZBxR|xk，kZCxR|x2k，kZDxR|x2k，kZ解析由正切函数的定义域可得，xk，kZ，xk，kZ.故函数的定义域为xR|xk，kZ2.已知函数ytan(2x)的图象过点(，0)，则可以是(A)A.B.C.D.解析函数的图象过点(，0)，tan()0，k，kZ，k，kZ，令k0，则，故选A3函数f(x)tan(x)与函数g(x)sin(2x)的最小正周期相同，则(A)A1B1C2D2解析，1.4函数ytan在一个周期内的图象是(A)解析由f(x)tan，知f(x2)ta
10、n(x2)tanf(x)f(x)的周期为2，排除B，D令tan0，得k(kZ)x2k(kZ)，若k0，则x，即图象过点，故选A5函数ytan的定义域为，则函数的值域为(C)A(，)BC(，)D解析由x，即x，得x，即xtan.故函数的值域为(，)6在区间2，2内，函数ytanx与函数ysinx的图象交点的个数为(B)A3B5C7D9解析在同一直角坐标系中画出函数ytanx与函数ysinx在区间2，2内的图象(图象略)，由图象可知其交点个数为5，故选B二、填空题7函数y3tan(2x)的对称中心的坐标为_(，0)(kZ)_.解析令2x(kZ)，得x(kZ)，对称中心的坐标为(，0)(kZ)8求函
11、数ytan(x)的单调区间是_(2k，2k)(kZ)_.解析ytan(x)tan(x)，由kxk(kZ)，得2kx0)的图象的相邻两支截直线y所得线段长为2，则a的值为_.解析由题意可得T2，所以2，a.三、解答题10求下列函数的周期及单调区间(1)y3tan；(2)y|tanx|.解析(1)y3tan3tan，T4，y3tan的周期为4.由kk(kZ)，得4kx4k(kZ)，y3tan在(kZ)内单调递增，无单调递增区间y3tan在(kZ)内单调递减(2)由于y|tanx|其图象如图所示，由图象可知，周期为，单调增区间为(kZ)，单调减区间为(kZ)11已知x，f(x)tan2x2tanx2
12、，求f(x)的最值及相应的x值解析x，tanx1，f(x)tan2x2tanx2(tanx1)21，当tanx1，即x时，ymin1；当tanx1，即x时，ymax5.B组素养提升一、选择题1若alogtan70，blogsin25，clogcos25，则(D)AabcBbcaCcbaDacb解析0sin25sin65cos251tan45logcos25logtan70.即actanBsin 145tan 47C函数ytan(x)的最小正周期为D函数y2tanx(x)的值域是2，)解析A错误，tantan()tan，因为0，函数ytanx在(0，)上单调递增，所以tantan，即tantan
13、；B正确，sin145sin351，故sin145tan47；C错误，函数ytan(x)的最小正周期为；D正确，x0解析由于f(x)tanx的周期为，故A正确；函数f(x)tanx为奇函数，故B不正确；f(0)tan00，故C不正确；D表明函数为增函数，而f(x)tanx为区间(，)上的增函数，故D正确二、填空题5若函数ytanx在(，)内是减函数，则的范围为_1,0)_.解析若使函数在(，)上是减函数，则1时，图象将缩小周期，故10.6给出下列命题：(1)函数ytan|x|不是周期函数；(2)函数ytanx在定义域内是增函数；(3)函数y的周期是；(4)ysin是偶函数其中正确命题的序号是_
14、(1)(3)(4)_.解析ytan|x|是偶函数，由图象知不是周期函数，因此(1)正确；ytanx在每一个区间(kZ)内都是增函数但在定义域上不是增函数，(2)错；y的周期是.(3)对；ysincosx是偶函数，(4)对因此，正确的命题的序号是(1)(3)(4)7若tan1，则x的取值范围是_(kZ)_.解析令z2x，在上满足tanz1的z的值是z，在整个定义域上有kzk，解不等式k2xk，得0对x恒成立，即a2tan对x恒成立a2.实数a的取值范围是(2，)9画出函数y|tanx|tanx的图象，并根据图象求出函数的主要性质解析由y|tanx|tanx知y(kZ)其图象如图所示函数的主要性质为：定义域：x|xR，xk，kZ；值域：0，)；周期性：T；奇偶性：非奇非偶函数；单调性：单调增区间为k，k)，kZ.