1、4.3空间直角坐标系4.3.1空间直角坐标系4.3.2空间两点间的距离公式【选题明细表】 知识点、方法题号空间点的坐标1、7、12空间两点间的距离3、4、5、10、11对称及应用问题2、6、8、9、13基础巩固1.(2015珠海希望之星月考)点A(3,1,2)在x轴上的射影的坐标为(B)(A)(3,0,2)(B)(3,0,0)(C)(0,1,2)(D)(3,1,0)解析:x轴上的点的坐标为(a,0,0)的形式,故选B.2.空间两点A,B的坐标分别为(x,-y,z),(-x,-y,-z),则A,B两点的位置关系是(B)(A)关于x轴对称(B)关于y轴对称(C)关于z轴对称(D)关于原点对称解析:
2、A,B两点纵坐标相同,横坐标和竖坐标互为相反数,故A,B两点关于y轴对称,故选B.3.点B是点A(1,2,3)在坐标平面yOz内的射影,则|OB|等于(A)(A)(B)(C)2(D)解析:点A(1,2,3)在平面yOz内的射影为B(0,2,3),则|OB|=.故选A.4.已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4),且|AB|=2,则实数x的值是(D)(A)-3或4(B)6或2(C)3或-4 (D)6或-2解析:因为|AB|=2,所以x=6或-2,选D.5.已知A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4)为三角形的三个顶点,则ABC是(A)(A)直角三角形(B)钝角三角形(C)锐角
3、三角形(D)等腰三角形解析:|AB|=,|BC|=,|AC|=.所以|BC|2+|AC|2=|AB|2,所以ABC为直角三角形.故选A.6.在空间直角坐标系中,点M(-2,4,-3)在xOz平面上的射影为M点,则M点关于原点的对称点的坐标是.解析:点M(-2,4,-3)在平面xOz上的射影M(-2,0,-3),M关于原点的对称点的坐标是(2,0,3).答案:(2,0,3)7.如图,棱长为3a的正方体OABCDABC中,点M在BC上,且M为BC的中点,若以O为坐标原点,建立空间直角坐标系,则点M的坐标为.解析:取BC的中点N,则MN平面xOy,在xOy平面内可得N(a,3a),所以M(a,3a,
4、3a).答案:(a,3a,3a)8.如图所示,直三棱柱ABCA1B1C1中,|C1C|=|CB|=|CA|=2,ACCB,D,E分别是棱AB,B1C1的中点,F是AC的中点,求DE,EF的长度.解:以点C为坐标原点,CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.因为|C1C|=|CB|=|CA|=2,所以C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,2),B1(0,2,2),由中点坐标公式可得,D(1,1,0),E(0,1,2),F(1,0,0),所以|DE|=,|EF|=.能力提升9.(2015潍坊六县一区联考)在空间直角坐标系中,已知点P
5、(x,y,z)的坐标满足方程(x-2)2+(y+1)2+(z-3)2=1,则点P的轨迹是(C)(A)圆(B)直线(C)球面(D)线段解析:(x-2)2+(y+1)2+(z-3)2=1表示(x,y,z)到点(2,-1,3)的距离的平方为1,它表示以(2,-1,3)为球心,以1为半径的球面,故选C.10.(2014台州高二期末)如图,空间直角坐标系Oxyz中,正三角形ABC的顶点A,B分别在xOy平面和z轴上移动.若AB=2,则点C到原点O的最远距离为(C)(A)-1(B)2(C)+1(D)3解析:连接OA,AOB为直角三角形(图略),设D为AB的中点,则OD=1,当ODAB时,O到AB的距离最大
6、为1,又C到AB的距离为,所以C到O的最远距离为+1.故选C.11.(2015江淮名校联考)在xOy平面上的直线x+y=1上确定一点M,使M到点(6,5,1)的距离最小,则M点的坐标为.解析:设M(t,1-t,0),则M到(6,5,1)的距离d=,所以当t=1时d取得最小值,此时M点的坐标为(1,0,0).答案:(1,0,0)12.如图,在空间直角坐标系中,BC=2,原点O是BC的中点,点D在平面yOz内,且BDC=90,DCB=30,求点D的坐标.解:过点D作DEBC,垂足为E.在RtBDC中,BDC=90,DCB=30,BC=2,得BD=1,CD=,所以DE=CDsin 30=,OE=OB
7、-BE=OB-BDcos 60=1-=,所以点D的坐标为(0,-,).探究创新13.直三棱柱ABCA1B1C1中,AC=2,CB=CC1=4,E、F、M、N分别是A1B1、AB、C1B1、CB的中点.如图建立空间直角坐标系.(1)在平面ABB1A1内找一点P,使ABP为正三角形;(2)能否在MN上求得一点Q,使AQB为以AB为斜边的直角三角形?若能,请求出点Q的坐标;若不能,说明理由.解:(1)因为EF是AB的中垂线,在平面ABB1A1内只有EF上的点与A,B两点的距离相等,设点P坐标为(1,2,z),由|PA|=|AB|,得=,所以z2=15.因为z0,4,所以z=,故平面ABB1A1内的点P(1,2,)使得ABP为正三角形.(2)设MN上的点Q坐标为(0,2,z),因为AQB为直角三角形,所以|QF|=|AB|.即=,整理,得=,所以z2=4.因为z0,4,所以z=2.故MN上的点Q(0,2,2)使得AQB为直角三角形.