1、11.2正弦定理第1课时正弦定理(1)学 习 目 标核 心 素 养1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明(难点)2能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题(重点)1.通过对正弦定理的推导及应用正弦定理判断三角形的形状，培养逻辑推理的核心素养2借助利用正弦定理求解三角形的边长或角的大小的学习，培养数学运算的核心素养.如图，在RtABC中，各自等于什么？对于斜三角形类似关系成立么？1正弦定理：三角形的各边与它所对角的正弦之比相等即.思考1：正弦定理的适用范围是什么？提示： 正弦定理对任意三角形都成立思考2：正弦定理的主要功能是什么？提示： 正弦定理实现了
2、三角形中边角关系的转化2应用正弦定理解三角形应用正弦定理可以解两类三角形：(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.1在ABC中，下列式子与的值相等的是()ABCDC由正弦定理得，所以.2在ABC中，已知A30，B60，a10，则b等于()A5B10CD5B由正弦定理得，b10.3在ABC中，A，BC3，AB，则C()A或 BCDC由，得sin C.BC3，AB，AC，则C为锐角，故C.4在ABC中，若a3，b，A，则C_.由正弦定理得：，所以sin B.又ab，所以AB，所以B，所以C.定理证明【例1】在钝角ABC中，证明正弦定理证明如图，过C
3、作CDAB，垂足为D，D是BA延长线上一点，根据正弦函数的定义知：sinCADsin(180A)sin A，sin BCDbsin Aasin B.同理，.故.1本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固2要证，只需证asin Bbsin A，而asin B，bsin A都对应CD初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力跟进训练1在ABC中，a5，B45，C105，求边c.解由三角形内角和定理知ABC180，所以A180(BC)180(45105)30.由正弦定理，得ca555().用正弦定理解三角形【例2
4、】已知ABC中，a10，A30，C45，求角B，边b，c.思路点拨角A，B，C满足什么关系；105可拆分成哪两个特殊角的和；由正弦定理如何求得b，c的值解A30，C45，B180(AC)105，又由正弦定理得：c10.b20sin(6045)5()B105，b5()，c10.正弦定理实际上是三个等式：，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个跟进训练2已知B30，b，c2，求A，C，a.解由正弦定理得：sin C，cb,0C180，C45或135.当C45时，A105，a1，当C135时，A15，a1.三角形形状的判断探究问题1已知ABC的外接圆O的直径长为2R，试借助AB
5、C的外接圆推导出正弦定理提示如图，连接BO并延长交圆O于点D，连接CD，则BCD90，BACBDC，在RtBCD中，BCBDsinBDC，所以a2Rsin A，即2R，同理2R，2R，所以2R.2根据正弦定理的特点，我们可以利用正弦定理解决哪些类型的解三角形问题？提示利用正弦定理，可以解决：(1)已知两边和其中一边的对角解三角形；(2)已知两角和一边解三角形【例3】在ABC中，若sin A2sin Bcos C，且sin2Asin2Bsin2C，试判断ABC的形状. 解法一：(利用角的互余关系)根据正弦定理，得，sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2，A是直角，BC90，2sin Bco
6、s C2sin Bcos(90B)2sin2Bsin A1，sin B.0B90，B45，C45，ABC是等腰直角三角形法二：(利用角的互补关系)根据正弦定理，得，sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2，A是直角A180(BC)，sin A2sin Bcos C，sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bcos C，sin(BC)0.又90BCsin B，则有()AabDa，b的大小无法判定C因为，所以.因为在ABC中，sin Asin B0，所以1，所以ab.2在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，B60，那么A等于()A135 B90C45D30C由得sin A，A45或135.又ab，A0)，则解得sin Asin Bsin Cabc753.5已知在ABC中，a，b，B45，解这个三角形解由正弦定理及已知条件有，得sin A.ab，AB45.A60或120.当A60时，C180456075，c；当A120时，C1804512015，c.综上，可知A60，C75，c或A120，C15，c.