1、2020-2021学年上海市黄浦区向明中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（共12小题）.1过点P（3，4）且与直线2xy+10平行的直线方程为 2向量（3，4）的单位向量是 3（+） 4已知一个关于x，y的二元线性方程组的增广矩阵是，则x+y 5已知，（2）3，则向量与的夹角为 6若，则 7过直线x+y10与x轴的交点，且与该直线夹角为的直线的方程是 8三阶行列式中，5的余子式的值是 9已知点A（2，3），B（3，2），若直线l过点P（1，1）与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是 10设、是任意的平面向量，给出下列命题：；其中是真命题的有 （写出所有正确命题的序号）11在等比数列an
2、中，前n项和Sn满足Sn，则首项a1的取值范围是 12已知三条直线的方程分别为y0，那么到三条直线的距离相等的点的坐标为 二、选择题13已知，在上的投影是（）A3BC4D14已知数列an是等比数列，则方程组的解的情况为（）A唯一解B无解C无穷多组解D不能确定15下列命题为真命题的是（）A经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程yy0k（xx0）表示B不经过原点的直线都可以用方程表示C经过任意两个不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线都可以用方程（x1x2）（yy2）（y1y2）（xx2）表示D经过定点A（0，b）的直线都可以用方程ykx+b表示16对于每个确定的实数，方程xc
3、os+（y2）sin1表示一条直线，从中选出n条直线围成一个正n边形，记这个正n边形的面积是Sn，则Sn（）ABC4D三、解答题17已知向量、均为非零向量，且与不平行（1）若，求证：A、B、D三点共线；（2）若向量与平行，求实数m的值18已知数列an是等差数列，a114，公差d5，bn是等比数列，b11，公比q2，构造数列cn：a1，b1，a2，b2，an，bn，（1）求数列cn的通项公式；（2）若ck64，求k的值及数列cn的前k项和19已知|t|1，直线l1：txy+10和直线l2：x+ty+10相交于点P，l1和y轴交于点A，l2和x轴交于点B（1）判断l1与l2的位置关系，并用t表示点
4、P的坐标；（2）求|OP|的长度的取值范围，并指出取最值时点P的位置20记数列an的前n项和为Sn，已知向量（nN*）和满足（1）求数列an的通项公式；（2）求数列an的前n项和Sn；（3）设bnnan，求数列bn的前n项和Tn参考答案一、填空题1过点P（3，4）且与直线2xy+10平行的直线方程为 2xy20解：设与直线2xy+10平行的直线的方程为2xy+c0，由点P（3，4）在直线2xy+c0上，可得c2，故直线的方程为2xy20故答案为：2xy202向量（3，4）的单位向量是 （，）解：设 （3，4），则|5，故向量（3，4）的单位向量是（，）故答案为：（，）3（+）1解：（+）1故答
5、案为：14已知一个关于x，y的二元线性方程组的增广矩阵是，则x+y6【解答】解由二元线性方程组的增广矩阵，可得到二元线性方程组的表达式，解得，所以x+y6故答案为65已知，（2）3，则向量与的夹角为解：已知，（2）3，2+3，即 6cos+93，cos，再由的范围是0，可得，故向量与的夹角为 ，故答案为：6若，则解：若，则故答案为：7过直线x+y10与x轴的交点，且与该直线夹角为的直线的方程是 x1或y0解：直线x+y10与x轴的交点为M（1，0），直线x+y10的斜率为1，倾斜角为，所求直线与该直线夹角为，故所求直线的倾斜角为0或，再根据它经过M（1，0），可得它的方程为 x1，或y0故答案
6、为：x1，或y08三阶行列式中，5的余子式的值是12解：由题意，去掉5所在行与列得：12故答案为129已知点A（2，3），B（3，2），若直线l过点P（1，1）与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是k，或k2解：如图所示：由题意得，所求直线l的斜率k满足 kkPB 或 kkPA，即 k，或 k2，k，或k2，即直线的斜率的取值范围是k，或k2故答案为：k，或k210设、是任意的平面向量，给出下列命题：；其中是真命题的有 （写出所有正确命题的序号）解：对：即（）（），因为 （）与共线，（）与共线，而与不一定共线，故不正确；对：|cos0|，所以正确；对：（）（|cos，）|cos，|，故不
7、正确；对：（3+2）（32）949|4|，故正确；故答案为：11在等比数列an中，前n项和Sn满足Sn，则首项a1的取值范围是 （，1）（1，0）（0，1）（1，）解：在等比数列an中，前n项和Sn满足Sn，可知，等比数列的公比q（1，0）（0，1），可得：，所以1q（0，1）（1，2），所以首项a1的取值范围是：（，1）（1，0）（0，1）（1，）故答案为：（，1）（1，0）（0，1）（1，）12已知三条直线的方程分别为y0，那么到三条直线的距离相等的点的坐标为 （0，）、（0，）、（2，）、（2，）解：如图所示，三条直线y0，两两相交，交点为A（0，），B（1，0），C（1，0）；CAB的
8、平分线AO：x0（y）和ACB的平分线CD：y（x+1）（x1）的交点到三条直线的距离相等，联立，得交点为P（0，）；ACB的外角平分线CE：y（x+1）（x1），和ABC的外角平分线BF：y（x1）（x1）的交点到三条边的距离相等，联立，的交点坐标为Q（0，；ACB的外角平分线CG：y（x+1）（x1），和CAB的外角平分线AG：y（x0）的交点到三条边的距离相等，联立，的交点坐标为G（2，；ABC的外角平分线BH：y（x1）（x1），和CAB的外角平分线AH：y（x0）的交点到三条边的距离相等，联立，得交点坐标为H（2，；综上知，所求点的坐标为（0，）、（0，）、（2，）、（2，）故答案为
9、：（0，）、（0，）、（2，）、（2，）二、选择题13已知，在上的投影是（）A3BC4D解：根据题意，已知，则3，|1，则在上的投影3；故选：A14已知数列an是等比数列，则方程组的解的情况为（）A唯一解B无解C无穷多组解D不能确定解：数列an是等比数列，则方程组有无穷多组解故选：C15下列命题为真命题的是（）A经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程yy0k（xx0）表示B不经过原点的直线都可以用方程表示C经过任意两个不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线都可以用方程（x1x2）（yy2）（y1y2）（xx2）表示D经过定点A（0，b）的直线都可以用方程ykx+b表示解：带
10、有斜率的直线方程，可能斜率不存在，剔除A，D；与x，y轴平行或重合的直线不能运用截距式方程表示，剔除B；故C正确故选：C16对于每个确定的实数，方程xcos+（y2）sin1表示一条直线，从中选出n条直线围成一个正n边形，记这个正n边形的面积是Sn，则Sn（）ABC4D解：由直线系：xcos+（y2）sin1，可令，消去可得 x2+（y2）21，故方程xcos+（y2）sin1表示圆 x2+（y2）21 的切线的集合，因为xcos+（y2）sin1所以点P（0，2）到每条直线的距离d1，从中选出n条直线围成一个正n边形，是圆的内接n边形，这个正n边形的面积是Sn，则Sn12故选：B三、解答题1
11、7已知向量、均为非零向量，且与不平行（1）若，求证：A、B、D三点共线；（2）若向量与平行，求实数m的值【解答】（1）证明：因为，所以+555（）5，所以向量、共线，且有公共点B，所以A、B、D三点共线；（2）解：因为向量与平行，所以m（m）（1）10，解得m118已知数列an是等差数列，a114，公差d5，bn是等比数列，b11，公比q2，构造数列cn：a1，b1，a2，b2，an，bn，（1）求数列cn的通项公式；（2）若ck64，求k的值及数列cn的前k项和解：（1）由题意可知，ana1+（n1）d14+5（n1）5n+9，bnb1qn1（2）n1，所以cn，所以数列cn的通项公式为cn
12、（2）若k为奇数，则k+64，解得k21，则数列cn的前21项和为c1+c2+c21a1+a2+a11+b1+22+b10+88；若k为偶数，则64，解得k14，则数列cn的前21项和为c1+c2+c14a1+a2+a7+b1+22+b7+24619已知|t|1，直线l1：txy+10和直线l2：x+ty+10相交于点P，l1和y轴交于点A，l2和x轴交于点B（1）判断l1与l2的位置关系，并用t表示点P的坐标；（2）求|OP|的长度的取值范围，并指出取最值时点P的位置解：（1）当t0时，l1：y1，l2：x1，显然l1l2，当t0时，k1t，k2，则k1k21，则l1l2，综上，l1l2，联
13、立直线方程，解得x，y，所以（2）由（1）知|OP|2（）2+（）2，因为|t|1，所以0t21，则1t2+12，则12，即|OP|21，2，则|OP|1，当t21时，即t1时，|OP|取得最小值为1，此时P（1，0）或P（0，1），当t20时，即t0时，|OP|取得最大值为，此时P（1，1）20记数列an的前n项和为Sn，已知向量（nN*）和满足（1）求数列an的通项公式；（2）求数列an的前n项和Sn；（3）设bnnan，求数列bn的前n项和Tn解：（1），可得an（cos+sin），且cos sin，an（cos sin ）（cos +sin ）cossincos （2）数列an的前几项
14、分别为1，1，1，数列an为周期为3的周期数列，且 a3k+1+a3k+2+a3k+30，kN当n3k+1，kN，则Sn（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+（a3k2+a3k1+a3k）+a3k+1a11；当n3k+2，kN，则Sn（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+（a3k2+a3k1+a3k）+a3k+1+a3k+2a1+a21；当n3k+3，kN，则Sn（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+（a3k+1+a3k+2+a3k+3）0（3）bnnann cos ，故当 n3k，kN* 时，b3k2+b3k1+b3k（3k2）（）+（3k1）（）+3k1，TnT3k当n3k1，kN*时，TnT3k1T3kb3k3k1当n3k2，kN* 时，TnT3k2b3kb3k13k（3k1）（）+故Tn，kN*