1、保密启用前广州市第六中学2022届高三第一学期期末模拟考试（数学）姓名： 得分：第I卷（选择题）评卷人得分一、选择题(共12题，每题5分，共60分)1已知全集U=xN|0log21,集合A=xN|22x8,则UA=A.x|3a2,则a99=.评卷人得分三、解答题(共7题，每题12分，共84分)17已知ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,C=120.(1)若a=2b,求tan A的值;(2)若ACB的平分线交AB于点D,且CD=1,求ABC周长的最小值.18如图1,在平面四边形ABCD中,E是AD的中点,AD=2EC=4AB=4,A=D=60.将CDE沿CE折起,使点D到点P的位置,得
2、到四棱锥P-ABCE(如图2),其中平面PCE平面ABCE.(1)求证:BEPC.(2)求二面角P-AB-E的大小.19某地区共有200个村庄,根据扶贫政策的标准,划分为贫困村与非贫困村.为了分析2018年度该地区的GDP(国内生产总值)(单位:万元)情况,利用分层抽样的方法,从中抽取一个容量为20的样本,并绘成如图所示的茎叶图.(1)(i)分别求样本中非贫困村与贫困村的GDP的平均值;(ii)利用样本平均值来估算该地区2018年度的GDP的总值.(2)若从样本中的贫困村中随机抽取4个村进行调研,设X表示被调研的村中GDP低于(i)中贫困村GDP平均值的村的个数,求X的分布列及数学期望.20已
3、知点A(1,e)为椭圆E:=1(ab0)上一点,其中e为椭圆的离心率,椭圆的长轴长是短轴长的两倍.(1)求椭圆E的方程;(2)B,C(均不与点A重合)是椭圆上关于原点对称的两点,当ABC的面积最大时,求直线BC的方程.21已知函数f(x)=ex-ax2-x-1.(1)若f(x)在定义域内单调递增,求实数a的值;(2)若f(x)在定义域内有唯一的零点,求实数a的取值范围.22在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数,00)的最小值为2.(1)求不等式f(x)4的解集;(2)记(1)中不等式的解集为,若正实数x,y满足x+y=,求的最小值.保密启用前（数学）答案1.B2.C3.B4.
4、A5.B6.A7.A8.C9.B10.C11.A12.C13.y=014.1815.1216.4 95017.(1)解法一由a=2b及正弦定理知,sin A=2sin B,则sin A=2sin(60-A),则sin A=cos A-sin A,得tan A=.解法二c2=a2+b2-2abcos C=4b2+b2-22bb=7b2,c=b,则cos A=,sin A=,tan A=.(2)由题意知SACD+SBCD=SABC,bsin 60+asin 60=absin 120,则a+b=ab,c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2+ab=(a+b)2-(a+b),则c=.由a+b=a
5、b,得=1,则a+b=()(a+b)=1+1+4,当且仅当a=b时等号成立.令a+b=t,则ABC的周长为a+b+c=t+=t+(t4).易知函数y=t+在4,+)上单调递增,当t=4,即a=b=2时,ABC的周长取得最小值4+=4+2.ABC周长的最小值为4+2.18.(1)易知CDE为等边三角形,CEAB,又E为AD的中点,AD=2EC=4AB=4,所以AE=2.在ABE中,由余弦定理得BE2=AE2+AB2-2ABAEcos60=3,所以BE2+AB2=AE2,所以BEAB.又ABCE,所以BECE.又平面PCE平面ABCE,平面PCE平面ABCE=CE,BE平面ABCD,所以BE平面P
6、CE,所以BEPC.(2)由(1)知BEEC,所以以E为坐标原点,EB,EC所在直线分别为x轴,y轴,经过点E且与平面ABCE垂直的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.则A(,-1,0),B(,0,0),P(0,1,),所以=(0,1,0),=(-,1,).设平面PAB的法向量为n2=(x,y,z),则即则y=0,令x=1,则z=1,所以平面PAB的一个法向量为n2=(1,0,1),易知平面ABE的一个法向量为n1=(0,0,1).故cos=.易知二面角P-AB-E为锐二面角,所以二面角P-AB-E的大小为45.19.(1)(i)非贫困村的GDP的平均值为=54(万元).贫困村的GDP的
7、平均值为=26(万元).(ii)贫困村与非贫困村的抽样比为23,该地区贫困村的个数为80,非贫困村的个数为120,该地区2018年度的GDP的总值约为2680+54120=2 080+6 480=8 560(万元).(2)由题意及(i)知GDP低于贫困村GDP平均值的村有3个,则X的所有可能取值为0,1,2,3,则P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,X的分布列为X0 1 2 3 PE(X)=0+1+2+3.20.(1)将(1,e)代入=1,得=1,即=1,从而得1+=a2,结合a2=b2+c2,得b2=1.因为椭圆的长轴长是短轴长的两倍,所以a=2b,故a2=4.所
8、以椭圆E的方程为+y2=1.(2)由(1)可知A(1,),当直线BC的斜率不存在时,易知ABC的面积为1.当直线BC的斜率存在时,设其方程为y=kx,代入+y2=1,得(4k2+1)x2-4=0,从而B,C两点的坐标分别为(,k), ,或(,-k),(,k),所以|BC|=.又点A到直线BC的距离d=,所以SABC=|k-|=.记t=k-,则SABC=2,当且仅当=-,即k=时等号成立,故当ABC的面积最大时,直线BC的方程为y=.21.(1)依题意得,函数f(x)的定义域为R,且f(x)=ex-2ax-10.若a0,则x(-,0)时,f(x)ex-10,记g(x)=ex-2ax-1,则=ex
9、-2a,令=0,得x=ln 2a,所以当x(-,ln(2a)时,0,g(x),即单调递增,故f(x)有最小值f(ln(2a).若a=,则2a=1,从而f(x)的最小值为=0,故f(x)0,此时f(x)单调递增,符合题意.若0a,则ln(2a)0,所以x(ln(2a),0)时,f(x)单调递增.又f(0)=0,所以x(ln(2a),0)时,则ln(2a)0,所以x(0,ln(2a)时,f(x)单调递减.又f(0)=0,所以x(0,ln(2a)时,0,且a时,由(1)知f(x)min=f(ln(2a)f(0)=0,因为-1-ln xx-1x,所以-ln(2a)0(因为exx2+1(x0), =0,
10、故存在x1(-,ln(2a),x2(ln(2a),2a),使得f(x1)=f(x2)=0.又f(0)=f(0)=0,所以x1=0或x2=0.若0=x1ln(2a)时,因为exx3+x+1(x0),所以f(6a)=e6a-a(6a)2-6a-1(6a)3-36a3=36a30,从而f(0)=0,f(ln(2a)0,从而f(x)有两个零点;若x1ln(2a)x2=0,即0a0,f(-)=-a(-)2+-10,所以f(x)有两个零点.所以实数a的取值范围为a|a0或a=.22.(1)如图,OB为圆C的直径,A(,),则ABO=-,2sin(-)=,化简可得圆C的极坐标方程为=-2cos .(2)由题
11、意知,直线l经过定点(,),由(1)知圆C的圆心的直角坐标为(-,0),半径r=,当直线l的斜率不存在,即=时,显然不符合题意,所以直线l的斜率存在,设斜率k=tan,则直线l的方程为y=k(x-)+,即kx-y+(1-k)=0,从而圆心C到直线l的距离d=,解得k=0或k=,即tan=0或tan=.所以的正切值为0或.23.(1)若a2,则f(x)=显然其最小值为a-2,依题意得a-2=2,解得a=4;若0a2,则f(x)=显然其最小值为2-a,依题意得2-a=2,解得a=0,不符合题意.故a=4.因为a=4,所以f(x)=所以f(x)4的解集为1,5.(2)由(1)知=1,=5,x+y=1,所以=()(x+y)=6+6+2,当且仅当时等号成立.所以的最小值为6+2.