1、广西桂林市逸仙中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）考试时间：120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60.0分）1. 不等式的解集是（ ）A. B. C. 或D. 【答案】A【解析】【分析】求出不等式对应方程的实数根，即可写出不等式的解集【详解】解：不等式对应的方程为，它的实数根为和3，所以，该不等式的解集为故选：A2. 在中，则此三角形的最大边长为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】角最大，则边最长，则由正弦定理可求解.【详解】在中，则角最大，则边最长.由,则故选：C3. 不等式表示的平面区域是（ ）A. B. C. D. 【答案】
2、B【解析】【分析】根据线性规划的知识可得，直线一侧的平面区域内的点的坐标代入到直线方程的左侧时的值的符号一致，故考虑代进行检验即可【详解】解：根据线性规划的知识可得，直线一侧的平面区域内的点的坐标代入到直线方程的左侧时的值的符号一致故考虑代进行检验，代入得不成立，故在的右侧，不等式表示的平面区域在直线的右上方经过第一、二、四象限故选：B4. 在中，角，所对的边分别为，若，则为（ ）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形【答案】C【解析】【分析】用余弦定理求最大边所对角.【详解】,可设，最大角为C，所以C为钝角.故选:C【点睛】此题也可以直接求判断其符号，从而确定角C是
3、钝角、锐角、直角.5. 在等比数列中，则（ ）A. B. 4C. -4D. 5【答案】B【解析】【分析】直接利用等比数列的等比中项求解.【详解】因等比数列中，所以，即，解得，又因为，所以，所以，所以m=4故选：B6. 设，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】结合不等式的性质、特殊值判断出错误选项，利用差比较法证明正确选项成立.【详解】A选项，当 时，由不能得到，故不正确；B选项，当，（如，）时，由不能得到，故不正确；C选项，由及可知当时（如，或，）均不能得到，故不正确；D选项，因为不同时为，所以，所以可由知，即，故正确.故选：D【点睛】本小题主要考查不等式的性质以及差
4、比较法，属于中档题.7. 设等差数列的前n项和为，若，则（ ）A. 8B. 7C. 6D. 5【答案】D【解析】【分析】根据等差数列的前项公式和等差中项，可求得值.【详解】因为，所以，解得，故选：D【点睛】本题考查等差数列的前项公式和等差中项的运用，属于基础题.8. 两个灯塔、与海洋观测站的距离都等于，灯塔在观测站的东北方向上，灯塔在观测站的南偏东方向上，则、之间的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求得，利用余弦定理求得的距离.【详解】依题意，由余弦定理得，所以.故选：D【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，属于基础题.9. 若不等式的解集为，则的值为（ ）A.
5、5B. -5C. -25D. 10【答案】B【解析】【分析】根据题意可知和3是方程的两个根，由此利用根与系数的关系求解即可【详解】解：由题意可得：和3是方程的两个根，解得，所以故选B【点睛】本题考查一元二次不等式与二次方程的关系，属于基础题10. 等差数列中，则（ ）A. 12B. 18C. 24D. 30【答案】D【解析】【分析】根据题意，由等差数列前项和的性质分析可得，也成等差数列，计算可得、的值，由等差数列的性质分析可得、的值，又由，计算可得答案【详解】解：根据题意，等差数列中，也成等差数列，又由，则，则，则，故选：11. 已知等差数列、，其前项和分别为、，则（ ）A. B. C. D.
6、 【答案】A【解析】【分析】利用等差数列的前项和公式以及等差中项的性质得出，于此可得出结果【详解】由等差数列的前项和公式以及等差中项的性质得，同理可得，因此，故选A【点睛】本题考查等差数列前和公式以及等差中项性质的应用，解题关键在于等差数列下标性质的应用，能起到简化计算的作用，考查计算能力，属于中等题12. 已知正项等比数列满足：，若存在两项、使得，则的最小值为A. B. C. D. 不存在【答案】A【解析】【分析】设正项等比数列的公比为，由满足：，可得，解得根据存在两项、使得，可得，对，分类讨论即可得出【详解】解：设正项等比数列的公比为，满足：，解得存在两项、使得，的取值分别为，则的最小值为
7、故选：【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分）13. 若x、y满足条件，则的最大值为_【答案】7【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，通过图象平移确定目标函数的最大值【详解】由，得，作出不等式对应的可行域，平移直线，由平移可知当直线，经过点时，直线的截距最大，此时取得最大值.由，解得，将的坐标，代入，得，即目标函数的最大值为7故答案为：7【点睛】方法点睛：线性规划问题解题步骤如下：（1）根据题意，设出变量；（2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数；（4
8、）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系为参数)；（6）观察图形，找到直线为参数)在可行域上使取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.14. 若关于的二次不等式的解集为实数集，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据不等式恒成立，得到判别式小于等于零，求解，即可得出结果.【详解】因为关于的二次不等式的解集为实数集，所以只需，解得，即实数的取值范围是.故答案为：.15. 设是数列的前n项和，且，则_【答案】【解析】【分析】将化为，两边同除以，可得数列数列是等差数列，进而可求出，再令即可求出.【详解】因为，所以，所以，所以，又，所以数列是以为首
9、项，为公差的等差数列，所以，所以，所以.故答案为：【点睛】思路点睛：与关系问题的求解思路，根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化：(1)利用转化为只含，的关系式，再求解；(2)利用转化为只含，的关系式，再求解16. 已知整数对排列如：，则第个整数对是_【答案】【解析】【分析】根据已知整数对排列总结出整数对排列的规律，根据规律计算可知所求整数对在整数和为的整数对排在第位，由此计算可得结果.【详解】由整数对排列规律可知：两个数之和为的整数对有个；两个数之和为的整数对，第一个数从递增至，第二个数从递减至；，第个整数对在整数和为的整数对中，排在第个整数对的位置，第个整数对为.故答案为：.三
10、、解答题（本大题共6小题，共700分）17. 已知数列为等差数列，且，（1）求数列通项公式；（2）设数列的前n项和，求的表达式【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)将，用表示，解方程组求出，代入等差数列的通项公式即可；(2)利用等差数列前和公式直接求解即可.【详解】(1)由题意知，则，解得，所以(2)由(1)知18. 在中,角,所对的边分别为,且.（1）求；（2）若,的面积为,求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用正弦定理边角互化,结合两角和的正弦公式化简求解即可.(2)根据三角形的面积公式可得,再代入余弦定理求解即可.【详解】解：（1）由正弦定理得,所以,则,又因为,所以
11、,所以；（2）的面积为,所以,解得,由,所以.【点睛】本题主要考查了解三角形与三角恒等变换的运用,需要根据题意选择合适的公式进行化简.属于基础题.19. 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为，深3m如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为150元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？【答案】将水池的底面设计成边长为20m的正方形时，总造价最低，最低总造价是116000元【解析】【分析】设出底面的长为,宽为,根据总容积求得与的等量关系.表示出总的造价后,将式子转化为关于的等式,结合基本不等式可求得最低总造价及底面的长和宽的值.【详解】设底面的长为m,宽为m,水池总造
12、价为元,容积1,可得,因此,根据题意, 池底每平方米的造价为200元,池壁每平方米的造价为150元,有,由基本不等式及不等式性质,可得,即,当且仅当时,等号成立.所以,将水池的底面设计成边长为20m的正方形时,总造价最低,最低总造价是116000元.【点睛】本题考查基本不等式在实际问题中的应用,根据基本不等式求最值,注意等号成立的条件,属于基础题.20. 已知数列中，且（1）求的值及数列的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，证明【答案】（1）1；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由，结合递推得到，再由求解；然后由用累加法求解.（2）由（1）得到，然后利用裂项相消法求解.【详解】（1）由
13、题意知，即，.（2）由（1）知，所以，.【点睛】方法点睛：求数列的前n项和的方法(1)公式法：等差数列的前n项和公式，等比数列的前n项和公式；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类
14、型，可采用两项合并求解21. 如图，四边形中，.（1）若，求；（2）记，当为何值时，的面积有最小值？求出最小值.【答案】（1）；（2），取最小值.【解析】【分析】（1）在四边形中，根据，求得 ，然后在中，利用正弦定理求解. （2）根据四边形内角和，得到，然后在中，利用正弦定理求得DC，同理在中，求得BC，然后利用，结合三角函数的性质求解.【详解】（1）在四边形中，因为，所以 ，在中，可得，又，由正弦定理得:，即，解得：，.（2）因为，可得，因为四边形内角和，所以，在中，在中，当时，取最小值.【点睛】本题主要考查正弦定理在平面几何中的应用以及三角函数的性质的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解
15、的能力，属于中档题.22. 设数列的前n项和为，（1）求数列的通项公式；（2）令，数列的前项和为，若对任意的正整数，恒有，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）当时，可求的值，当时，与两式相减即可得两边同时乘以，得，令，可得是等差数列，求出的通项即可求的通项；（2）由（1）知，利用乘公比错位相减求和求出，当，时单独讨论，当时，化为，即.令（，），则，计算判断的单调性求出的最小值，即可求得实数的取值范围【详解】（1）由已知，当时，解得.当时，两式相减，得两边同时乘以，得，令，则，所以数列是公差为1的等差数列，其首项为所以，即，所以.（2）由（1）知，所以则，-，得，即，则.由已知，对任意的正整数，恒有当时，化为，得.当时，化为，此时，为任意实数不等式都成立当时，化为，即.令（，），则，所以当时，则，所以（，）单调递增，所以的最小值为，则.综上可知，即的取值范围是【点睛】关键点点睛：第一问的关键点是需要讨论，当时求得，当时，与已知条件两式相减得，这种类型需要两边同时乘以得，第二问是根据不等式恒成立求参数的值，求出可得，此时不是恒大于，当，时单独讨论，当时，分离化为，即，再构造（，），利用作差法判断单调性求最小值即可.