1、1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理第1课时正弦定理(1)学 习 目 标核 心 素 养1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明(难点).2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题(重点)1.通过对正弦定理的推导及应用正弦定理判断三角形的形状，培养学生逻辑推理的核心素养.2.借助利用正弦定理求解三角形的边长或角的大小的学习，培养了学生数学运算的核心素养.1正弦定理思考：如图所示，在RtABC中，各自等于什么？提示c.2解三角形(1)一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素(2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫
2、做解三角形思考：利用正弦定理可以解决哪两类有关三角形问题？提示利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角；已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角1在ABC中，若角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列各式一定成立的是()ABCasin Bbcos ADacos Bbsin AB在ABC中，由正弦定理，得.2在ABC中，若A60，B45，BC3，则AC_2由正弦定理得：，所以AC2.3在ABC中，A45，c2，则AC边上的高等于_AC边上的高为ABsin Acsin A2sin 45.4在ABC中，若a3，b，A，则C_由正弦
3、定理得：，所以sin B.又ab，所以AB，所以B，所以C.正弦定理证明【例1】在钝角ABC中，证明正弦定理证明如图，过C作CDAB，垂足为D，D是BA延长线上一点，根据正弦函数的定义知：sinCADsin(180A)sin A，sin B.CDbsin Aasin B.同理，.故.1本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固2要证，只需证asin Bbsin A，而asin B，bsin A都对应CD.初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力1如图所示，锐角ABC的外接圆O半径为R，证明2R.证明连接BO
4、并延长，交外接圆于点A，连接AC，则圆周角AA.AB为直径，长度为2R，ACB90，sin A，sin A，即2R.已知两角及一边解三角形【例2】在ABC中，已知c10，A45，C30，解这个三角形解因为A45，C30，所以B180(AC)105.由得a1010.因为sin 75sin(3045)sin 30cos 45cos 30sin 45，所以b2055.已知三角形的两角和任一边解三角形的思路(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边2在ABC中，a
5、5，B45，C105，求边c.解由三角形内角和定理知ABC180，所以A180(BC)180(45105)30.由正弦定理，得ca555().已知两边及一边的对角解三角形【例3】(1)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C60，b，c3，则A_(2)在ABC中，已知c，A45，a2，解这个三角形(1)75由题意得：，所以sin B，因为bc，所以B45，所以A180BC75.(2)解因为，所以sin C.因为0C180，所以C60或C120.当C60时，B75，b1；当C120时，B15，b1.所以b1，B75，C60或b1，B15，C120.已知两边及其中一边的对角解三角形的思
6、路(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角；(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论3在ABC中，A，BC3，AB，则角C等于()A或BCDC由正弦定理，得sin C.因为BCAB，所以AC，则0C，故C.4已知ABC中，ax，b2，B45，若三角形有两解，则x的取值范围是()Ax2Bx2C2x2D2x2C由asin Bba，得x2x，所以2x2.三角形形状的判断探究问题1由2R，2R，2R可以得到哪些变形形式？
7、这些变形形式有什么功能？提示(角化边)sin A，sin B，sin C，(边化角)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，(边角互化)abcsin Asin Bsin C.2三角形中常见边角之间的关系有哪些？提示在ABC中，(1)abc，|ab|c，(2)abABsin Asin B，(3)ABCsin(AB)sin C，sincos.【例4】在ABC中，若sin A2sin Bcos C，且sin2Asin2Bsin2C，试判断ABC的形状思路探究：解决本题的关键是利用sin A，sin B，sin C把sin2Asin2Bsin2C转化为三角形三边的关系，从而判定出角A，然
8、后再利用sin A2sin Bcos C求解解法一：(利用角的互余关系)根据正弦定理，得，sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2，A是直角，BC90，2sin Bcos C2sin Bcos(90B)2sin2Bsin A1，sin B.0B90，B45，C45，ABC是等腰直角三角形法二：(利用角的互补关系)根据正弦定理，得，sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2，A是直角A180(BC)，sin A2sin Bcos C，sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bcos C，sin(BC)0.又90BC90，BC0，BC，ABC是等腰直角三角形(变条件)
9、将本例题条件“sin A2sin Bcos C，且sin2Asin2Bsin2C”改为“bacos C”其它条件不变，试判断ABC的形状解bacos C，由正弦定理，得sin Bsin Acos C(*)B(AC)，sin Bsin(AC)，从而(*)式变为sin(AC)sin Acos C.cos Asin C0.又A，C(0，)，cos A0，A，即ABC是直角三角形1判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行，既可以转化为边与边的关系，也可以转化为角与角的关系2注意在边角互化过程中，正弦定理的变形使用，如等1本节课要牢记正弦定理及其常见变形(1)2R(其中R为ABC外接圆的半径)；(2
10、)abcsin Asin Bsin C；(3)；(4)在ABC中，sin Asin BABab.2要掌握正弦定理的三个应用(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角(3)判断三角形的形状3本节课的易错点有两处(1)已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能出现无解或两解的情况(2)在判断三角形的形状时易混淆“等腰或直角三角形”与“等腰直角三角形”1判断正误(1)正弦定理只适用于锐角三角形()(2)正弦定理不适用于直角三角形()(3)在某一确定的三角形中，各边与它所对的角的正弦的比值是一定值()答案(1)(2)(3)提示正弦定理适用于任意三角形，故(1)
11、(2)均不正确2在ABC中，若c2acos B，则ABC的形状为()A直角三角形B等腰三角形C等边三角形D不等边三角形B由正弦定理知c2Rsin C，a2Rsin A，故sin C2sin Acos Bsin(AB)sin Acos Bcos Asin B，所以sin Acos Bcos Asin B，即sin(AB)0，所以AB.故ABC为等腰三角形3在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，B60，那么A等于()A135B90C45D30C由得sin A，A45或135.又ab，Ab，AB45.A60或120.当A60时，C180456075，c；当A120时，C1804512015，c.综上，可知A60，C75，c或A120，C15，c.