1、吉林省长春市第五中学2021届高三数学上学期期中试题 文 考试时间： 120分钟 满分150分一、选择题（本大题共12个小题，每个小题5分）1若集合，则 （ ）A B C D2设，“命题”是“命题”的（ ）A充分且不必要条件B必要且不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3若，且为第二象限角，则（ ）A B C D4下列命题正确的是（ ）A单位向量都相等B若与共线，与共线，则与共线C若，则与垂直D若与都是单位向量，则5等差数列中，则数列的公差为（ ）A1 B2 C3 D46函数的图象的相邻两个对称中心间的距离为（ ）ABCD7已知向量满足，且与的夹角为，则( )AB C D8函数的图像可由
2、函数的图像（ ）A向左平移个单位得到 B向右平移个单位得到C向左平移个单位得到 D向左平移个单位得到9二次函数 在区间 上的值域是（ ）ABCD10已知平面向量，若与共线，则（ ）A3 B4 C D511函数的图像关于直线对称，则的可能值为( )AB C D12已知等比数列满足，则（ ）A16B32 C64 D128二、填空题:（本大题共4个小题，每个小题5分）13已知，则的值为_.14已知函数在处有极值为，则的值等于 15等比数列的前n项和为，公比不为1，若，且对任意的，都有，则 16下列说法中，正确的是_（填上所有符合条件的序号）y=e-x在R上为增函数任取x0，均有3x2x函数y=f（x
3、）的图象与直线x=a可能有两个交点y=2|x|的最小值为1；与y=3x的图象关于直线y=x对称的函数为y=log3x三、解答题:（17题10分，其余都是12分，共70分）17已知函数求的最小正周期及单调递增区间；求在区间上的值域18已知正项数列的前项和为，.（1）求、；（2）求证：数列是等差数列.19已知的内角的对边分别为，且（1）求；（2）若成等差数列，的面积为，求20已知函数，（）（）讨论函数的单调区间；（）设函数在区间内是减函数，求的取值范围21已知数列满足，（1）求数列的通项公式;（2）若，求数列的前项和22己知函数，a，.（1）当，时，证明：在上单调递减；（2）当时，讨论的极值.参考
4、答案1C【解析】【分析】化简集合，再求并集即可.【详解】故选：C【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题.2A【解析】【分析】根据充分、必要条件的概念理解，可得结果.【详解】由，则或所以“”可推出“或”但“或”不能推出“”故命题是命题充分且不必要条件故选：A【点睛】本题主要考查充分、必要条件的概念理解，属基础题.3A【解析】【分析】由已知利用诱导公式，求得，进一步求得，再利用三角函数的基本关系式，即可求解【详解】由题意，得，又由为第二象限角，所以，所以故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式，合理运算是解答的关键，着
5、重考查了推理与运算能力，属于基础题4C【解析】【分析】题设条件简单，本题的解题需要从选项入手，逐一进行验证排除得解【详解】A，向量有大小、方向两个属性，向量的相等指的是大小相等方向相同，故不对；B，选项对三个非零向量是正确的，若是零向量，是非零向量时，显然与共线， 与共线，则与共线不一定成立故选项B错误；C，由题得，所以，故选项是正确的D，若与都是单位向量，则不一定成立，当两者垂直时，数量积为零所以选项D错误.故选：【点睛】本题考点是向量的共线与相等，考查向量的数量积，属于对基础概念考查的题目，解答此类题需要对相关的概念熟练掌握才能正确作答5B【解析】【分析】由可知，结合可求出【详解】， 即故
6、选：B【点睛】本题考查等差中项、等差数列通项解决等差数列基本量计算问题利用方程的思想.等差数列中有五个量一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量和；成等差数列.6B【解析】试题分析：两个对称中心间的距离是半周期，为.考点：三角函数图象与性质.7A【解析】【分析】先由向量数量积的运算可得，再结合向量模的运算即可得解.【详解】解：因为向量满足，且与的夹角为，所以，所以，故选：A.【点睛】本题考查了向量数量积的运算，重点考查了向量模的运算，属基础题.8A【解析】试题分析：因为可化为所以将向左平移可得到故选A本小题关键是考查的三角函数的平移，将时的的值，与是对比即可知道是向左还是向右，同时也可以
7、知道移了多少单位考点：1三角函数的平移2类比的思想9C【解析】【分析】利用配方法化简函数解析式，根据二次函数的性质，求得函数在区间上的值域.【详解】由于，函数的对称轴为，开口向上，所以当时函数有最小值为，当时，函数有最大值为，所以函数在区间 上的值域为.故选：C【点睛】本小题主要考查二次函数在给定区间上的值域的求法，属于基础题.10C【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示，可求得，进一步可得，最后利用向量模的坐标表示，可得结果.【详解】与共线，故应选：C【点睛】本题主要考查向量共线以及向量模的坐标表示，属基础题.11A【解析】【分析】由题得,给k取值即得解.【详解】由题得,k=1时，.故选：A
8、【点睛】本题主要考查余弦函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12C【解析】【分析】由条件求出和即可.【详解】因为数列是等比数列，所以，即，所以所以，所以所以故选：C【点睛】本题考查的是等比数列的基本运算，较简单.132【解析】【分析】将等式左边分子、分母同时除以即可得解.【详解】解：由，等式左边分子、分母同时除以得： ，解得：，故答案为：2.【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，重点考查了构造齐次式求值问题，属基础题.14【解析】试题分析：由题意得，且，即，解得或，当时，此时，函数无极值；当时，则.考点：导数与函数极值的关系.【方法点晴】本题主要考查了导数与函数极值的关系，
9、其中解答中涉及到导数的运算，函数的极值点与导数的关系，利用导数研究函数的极值点与极值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，试题比较基础，属于基础题题，本题的解答中根据题设条件，列出方程求的的值是解答的关键.15：11【解析】：设公比为，由得所以则【考点定位】本题考查了等比数列的通项公式，以及求和，做题时要细心16【解析】【分析】由指数函数的单调性，可判断；由指数函数的单调性可判断；由函数的定义可判断；由指数函数的单调性及奇偶性可判断；由指数函数和对数函数互为反函数，可判断【详解】解：对于，在上为减函数，故错；对于，任取，均有，故正确；对于，函数的图象与直线最多有一个交点，
10、故错；对于，由，可得，可得的最小值为1，此时，故正确；对于，与的图象关于直线对称的函数为，故正确故答案为：【点睛】本题考查函数的单调性和最值，以及对称性，奇偶性，考查运算能力，属于基础题17最小正周期，单调递增区间为，；.【解析】【分析】利用二倍角的余弦公式、辅助角公式化简，由周期公式计算得的最小正周期，由，可解得函数的单调增区间；由的范围求出的范围，进一步求出的范围，从而可得结果【详解】的最小正周期，令，得，的单调递增区间为，；时，所以的最大值为2，在区间上的最大值为3【点睛】本题考查正弦函数的周期性及单调性，考查了正弦函数的值域，属于基础题函数的单调区间的求法：若,把看作是一个整体，由求得
11、函数的减区间，求得增区间；18（1），；（2）见解析.【解析】【分析】（1）直接在数列递推式中取即可求、（2）在数列递推式中将换成，得另一递推式后作差，整理即可证明数列是等差数列【详解】（1）由已知条件得：.又有，即.解得（舍）或.（2）由得时：，即，即，经过验证也成立，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列.【点睛】本题考查的是用定义证明等差数列及与的关系，属于基础题.19（1） ； （2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理化简已知可得sinA=sin（A+），结合范围A（0，），即可计算求解A的值；（2）利用等差数列的性质可得b+c=，利用三角形面积公式可求bc的值，进而根据余弦定理即可解
12、得a的值【详解】（1）asinB=bsin（A+）由正弦定理可得：sinAsinB=sinBsin（A+）sinB0，sinA=sin（A+）A（0，），可得：A+A+=，A=（2）b，a，c成等差数列，b+c=，ABC的面积为2，可得：SABC=bcsinA=2，=2，解得bc=8，由余弦定理可得：a2=b2+c22bccosA=（b+c）22bc2bccos=（b+c）23bc=（a）224，解得：a=2【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题20解：（1）1分当时，即时，在上递增；3分当时，即或时，由求得两根为5分即
13、在和上递增；在上递减，6分的单调递增区间是：当时，当或时，和的单调递减区间是：当或时，7分（2）（法一）由（1）知在区间上递减，只要解得：9分12分14分【解析】（1）；（2）（1）求导：当时，在上递增当，求得两根为即在递增，递减，递增（2），且解得：21(1)见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由变形可得，由此可得数列为等差数列（2）由（1）得到，进而得到，然后利用列项相消法求和即可【详解】（1）， ，又，数列是以为首项，公差为的等差数列 （2）由（1）知， ，【点睛】用裂项法求和的裂项原则及规律(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项22（1）证明见解析；（2）时，极大值，无极小值；时，无极值.【解析】【分析】（1）求导数，根据导数符号证明结果；（2）求导数，根据导函数是否变号、导函数符号变化规律讨论与判断极值.【详解】（1）当，时，即在上单调递减；（2）当时，当时，此时无极值；当时，当时，当时，因此有极大值，无极小值；综上：时，有极大值，无极小值；时，无极值.【点睛】本题考查利用导数证单调性、利用导数研究函数极值，考查综合分析求解与论证能力，属中档题.