1、6.4 基本不等式及其应用1基本不等式 abab2(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当 ab 时取等号2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)(2)baab2(a，b 同号)(3)abab22(a，bR)(4)a2b22ab22(a，bR)3算术平均数与几何平均数设 a0，b0，则 a，b 的算术平均数为ab2，几何平均数为 ab，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知 x0，y0，则(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最小值是 2 p.(简记：积定和最小)(2)如果和
2、xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最大值是p24.(简记：和定积最大)【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数 yx1x的最小值是 2.()(2)ab(ab2)2 成立的条件是 ab0.()(3)函数 f(x)cos x 4cos x，x(0，2)的最小值等于 4.()(4)“x0 且 y0”是“xyyx2”的充要条件()(5)若 a0，则 a31a2的最小值为 2 a.()(6)a2b2c2abbcca(a，b，cR)()1若 a，bR，且 ab0，则下列不等式中，恒成立的是()Aa2b22abBab2 abC.1a1b 2abD.baab2答案
3、D解析 a2b22ab(ab)20，A 错误对于 B、C，当 a0，b0，baab2baab2.2若 a0，b0，且 ab4，则下列不等式恒成立的是()A.1ab14B.1a1b1C.ab2Da2b28答案 D解析 4ab2 ab(当且仅当 ab 时，等号成立)，即 ab2，ab4，1ab14，选项 A，C不成立；1a1babab 4ab1，选项 B 不成立；a2b2(ab)22ab162ab8，选项 D成立3设 x，yR，a1，b1，若 axby3，ab2 3，则1x1y的最大值为()A2B.32C1D.12答案 C解析 由 axby3，得：xloga3，ylogb3，由 a1，b1 知 x
4、0，y0，1x1ylog3alog3blog3ablog3ab221，当且仅当 ab 3时“”成立，则1x1y的最大值为 1.4(2014福建)要制作一个容积为 4 m3，高为 1 m 的无盖长方体容器已知该容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是_(单位：元)答案 160解析 设该长方体容器的长为 x m，则宽为4x m又设该容器的造价为 y 元，则 y2042(x4x)10，即 y8020(x4x)(x0)因为 x4x2x4x4(当且仅当 x4x，即 x2 时取“”)，所以 ymin80204160(元).题型一 通过配凑法利用基本不等式求最
5、值例 1(1)已知 x54，求 f(x)4x214x5的最大值；(2)已知 x 为正实数且 x2y221，求 x 1y2的最大值；(3)求函数 yx1x3 x1的最大值解(1)因为 x0，则 f(x)4x214x5(54x154x)3231.当且仅当 54x154x，即 x1 时，等号成立故 f(x)4x214x5的最大值为 1.(2)因为 x0，所以 x 1y2 2x212y222x212y222，又 x2(12y22)(x2y22)1232，所以 x 1y2 2(1232)3 24，即(x 1y2)max3 24.(3)令 t x10，则 xt21，所以 ytt213ttt2t4.当 t0
6、，即 x1 时，y0；当 t0，即 x1 时，y1t4t1，因为 t4t2 44(当且仅当 t2 时取等号)，所以 y1t4t115，即 y 的最大值为15(当 t2，即 x5 时 y 取得最大值)思维升华(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式(1)已知 0 x2)在 xa 处取最小值，则 a 等于()A1 2B1 3C3D4答案(1)B(2)C解析(1)
7、因为 0 x0,33x0.由基本不等式可得 x(33x)133x(33x)13(3x33x2)234，当且仅当 3x33x，即 x12时，等号成立故选 B.(2)因为 x2，所以 x20，则f(x)x 1x2(x2)1x222x2 1x224，当且仅当 x2 1x2，即 x3 时取等号即当 f(x)取得最小值时，x3，即 a3.题型二 通过常数代换或消元法利用基本不等式求最值例 2(1)已知 x0，y0 且 xy1，则8x2y的最小值为_(2)已知 x0，y0，x3yxy9，则 x3y 的最小值为_答案(1)18(2)6解析(1)(常数代换法)x0，y0，且 xy1，8x2y(8x2y)(xy
8、)108yx 2xy 1028yx 2xy 18.当且仅当8yx 2xy，即 x2y 时等号成立，当 x23，y13时，8x2y有最小值 18.(2)由已知得 x93y1y.方法一(消元法)x0，y0，y0，y0，9(x3y)xy13x(3y)13(x3y2)2，当且仅当 x3y 时等号成立设 x3yt0，则 t212t1080，(t6)(t18)0，又t0，t6.故当 x3，y1 时，(x3y)min6.思维升华 条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后
9、利用基本不等式求解最值(1)若两个正实数 x，y 满足2x1y1，并且 x2ym22m 恒成立，则实数 m 的取值范围是()A(，2)4，)B(，42，)C(2,4)D(4,2)(2)若正数 x，y 满足 x3y5xy，则 3x4y 的最小值是_答案(1)D(2)5解析(1)x2y(x2y)(2x1y)24yx xy28，当且仅当4yx xy，即 x2y 时等号成立由 x2ym22m 恒成立，可知 m22m8，即 m22m80，解得4m0，y0，y15，3x4y 9y5y14y135 9515y154(y15)135 236255，当且仅当 y12时等号成立，(3x4y)min5.题型三 基本
10、不等式与函数的综合应用例 3(1)已知 f(x)32x(k1)3x2，当 xR 时，f(x)恒为正值，则 k 的取值范围是()A(，1)B(，2 21)C(1,2 21)D(2 21,2 21)(2)已知函数 f(x)x2ax11x1(aR)，若对于任意 xN*，f(x)3 恒成立，则 a 的取值范围是_答案(1)B(2)83，)解析(1)由 f(x)0 得 32x(k1)3x20，解得 k13x23x，而 3x23x2 2(当且仅当 3x23x，即 xlog3 2时，等号成立)，k12 2，即 kg(3)，g(x)min173.(x8x)383，a83，故 a 的取值范围是83，)思维升华(
11、1)af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立a0)，若 f(x)在(1，)上的最小值为 4，则实数 p 的值为_答案 94解析 由题意得 x10，f(x)x1 px112 p1，当且仅当 x p1 时取等号，因为f(x)在(1，)上的最小值为 4，所以 2 p14，解得 p94.题型四 基本不等式的实际应用例 4 某楼盘的建筑成本由土地使用权费和材料工程费构成，已知土地使用权费为 2 000 元/m2；材料工程费在建造第一层时为 400 元/m2，以后每增加一层费用增加 40 元/m2.要使平均每平方米建筑面积的成本费最低，则应把楼盘的楼房设计成_层答案 10解析 设应把楼房设计成
12、x 层，每层有面积 y m2，则平均每平方米建筑面积的成本费为k2 000yy400y440y40040 x1xy2 000 x20 x38022 000 x20 x380780，当且仅当2 000 x20 x，即 x10 时取等号，故应把楼房设计成 10 层思维升华 对实际问题，在审题和建模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确挖掘，一般地，每个表示实际意义的代数式必须为正，由此可得自变量的范围，然后再利用基本不等式求最值(1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为 800 元若每批生产 x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为 1 元为使平均到每件产品的生产准备费用与
13、仓储费用之和最小，每批应生产产品()A60 件B80 件C100 件D120 件(2)某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价 p%，第二次提价 q%；方案乙：每次都提价pq2%，若 pq0，则提价多的方案是_答案(1)B(2)乙解析(1)设每件产品的平均费用为 y 元，由题意得y800 x x82800 x x820.当且仅当800 x x8(x0)，即 x80 时“”成立，故选 B.(2)设原价为 1，则提价后的价格为方案甲：(1p%)(1q%)，方案乙：(1pq2%)2，因为 1p%1q%1p%21q%21pq2%，且 pq0，所以 1p%1q%1pq2%，即(1p%)(1
14、q%)0，y0，且1x2y1，则 xy 的最小值是_(2)函数 y12x3x(x0)的最小值为_易错分析(1)多次使用基本不等式，忽略等号成立的条件如：11x2y22xy，xy2 2，xy2 xy4 2，得(xy)min4 2.(2)没有注意到 x0，y0，xy(xy)(1x2y)3yx2xy 32 2(当且仅当 y 2x 时取等号)当 x 21，y2 2时，(xy)min32 2.(2)x0，b0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件3对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数 yxmx(m0)的单调性失误与防范1使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺
15、一不可2连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.A 组 专项基础训练(时间：40 分钟)1下列不等式一定成立的是()Alg(x214)lg x(x0)Bsin x 1sin x2(xk，kZ)Cx212|x|(xR)D.1x211(xR)答案 C解析 当 x0 时，x2142x12x，所以 lg(x214)lg x(x0)，故选项 A 不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定“三相等”，而当 xk，kZ 时，sin x 的正负不定，故选项 B 不正确；由基本不等式可知，选项 C 正确；当 x0 时，有1x211，故选项 D 不正确2若 a0，b0，且 ln(ab)0，则1a1b
16、的最小值是()A.14B1C4D8答案 C解析 由 a0，b0，ln(ab)0 得ab1，a0，b0.故1a1babab 1ab1ab2 2 11224.当且仅当 ab12时上式取“”3已知 x0，y0，且 4xyx2y4，则 xy 的最小值为()A.22B2 2C.2D2答案 D解析 x0，y0，x2y2 2xy，4xy(x2y)4xy2 2xy，44xy2 2xy，即(2xy2)(2xy1)0，2xy2，xy2.4小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b(ab)，其全程的平均时速为 v，则()Aav abBv abC.abvab2Dvab2答案 A解析 设甲、乙两地相距 s，则小王往返
17、两地用时为sasb，从而 v 2ssasb 2abab.0ab，ab2ab2b a，2ab 1ab，即 2abab ab，av0，xx23x1a 恒成立，则 a 的取值范围是_答案 a15解析 xx23x113x1x，因为 x0，所以 x1x2(当且仅当 x1 时取等号)，则13x1x 13215，即xx23x1的最大值为15，故 a15.7设 x，yR，且 xy0，则(x21y2)(1x24y2)的最小值为_答案 9解析(x21y2)(1x24y2)5 1x2y24x2y2521x2y24x2y29，当且仅当 x2y212时“”成立8某公司一年需购买某种货物 200 吨，平均分成若干次进行购
18、买，每次购买的运费为 2 万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是_答案 20解析 设每次购买该种货物 x 吨，则需要购买200 x 次，则一年的总运费为200 x 2400 x，一年的总存储费用为 x，所以一年的总运费与总存储费用为400 x x2400 x x40，当且仅当400 x x，即 x20 时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物 20吨9(1)当 x32时，求函数 yx82x3的最大值；(2)设 0 x2，求函数 y x42x的最大值解(1)yx82x3(32
19、x2832x)32.当 x0，32x2832x232x2832x4，当且仅当32x2832x，即 x12时取等号于是 y43252.故函数的最大值为52.(2)0 x0，y x42x 2x2x 2x2x2 2，当且仅当 x2x，即 x1 时取等号，当 x1 时，函数 y x42x的最大值为 2.10某单位决定投资 3 200 元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价 40 元，两侧墙砌砖，每米长造价 45 元，顶部每平方米造价 20 元，求：仓库面积 S 的最大允许值是多少？为使 S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解 设铁栅
20、长为 x(x0)米，一侧砖墙长为 y(y0)米，则顶部面积 Sxy，依题设，得 40 x245y20 xy3 200，由基本不等式得 3 2002 40 x90y20 xy120 xy20 xy120 S20S，则 S6 S1600，即(S10)(S16)0，故 0 S10，从而 00，则当 a_时，12|a|a|b 取得最小值答案 2解析 由于 ab2，所以 12|a|a|b ab4|a|a|b a4|a|b4|a|a|b，由于 b0，|a|0，所以 b4|a|a|b2b4|a|a|b 1，因此当 a0 时，12|a|a|b 的最小值是14154；当 a0 时，12|a|a|b 的最小值是1
21、4134.故 12|a|a|b 的最小值为34，此时 b4|a|a|b，a0，b0，若不等式m3ab3a1b0 恒成立，则 m 的最大值为_答案 16解析 因为 a0，b0，所以由m3ab3a1b0 恒成立得 m(3a1b)(3ab)103ba 3ab 恒成立因为3ba 3ab 23ba 3ab 6，当且仅当 ab 时等号成立，所以 103ba 3ab 16，所以 m16，即 m 的最大值为 16.15经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以 30 天计)，第 t 天(1t30，tN*)的旅游人数 f(t)(万人)近似地满足 f(t)41t，而人均消费 g(t)(元)近似地满足 g(t)120|t20|.(1)求该城市的旅游日收益 W(t)(万元)与时间 t(1t30，tN*)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值解(1)W(t)f(t)g(t)(41t)(120|t20|)4014t100t，1t20，559140t 4t，20t30.(2)当 t1,20时，4014t100t 40124t100t 441(t5 时取最小值)当 t(20,30时，因为 W(t)559140t 4t 递减，所以 t30 时，W(t)有最小值 W(30)44323，所以 t1,30时，W(t)的最小值为 441 万元