1、52.2同角三角函数的基本关系式【素养目标】1理解并掌握同角三角函数的基本关系(数学抽象)2会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明(数学运算、逻辑推理)3通过对同角三角函数的基本关系式的探究学习，让学生学会用联系的观点，化归与转化的思想，数形结合的思想分析解决问题，培养探究精神和创新意识(逻辑推理)【学法解读】本节在学习中应先利用三角函数定义推导出同角函数基本关系，培养学生观察、分析探究、解决问题能力，提升学生的逻辑推理及数学运算的素养必备知识探新知基础知识知识点 同角三角函数的基本关系式1公式(1)平方关系：sin2cos21.(2)商数关系：tan.2公式推导如图，设点
2、P(x，y)是角的终边与单位圆的交点，过P作x轴的垂线，交x轴于M，则OMP是直角三角形，而且OP1.由勾股定理，得OM2MP21，因此x2y21，即sin2cos21.根据三角函数的定义，当k(kZ)时，有tan.这就是说，同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切注意对同角三角函数基本关系式的理解(1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23cos231成立，但是sin2cos21就不一定成立(2)sin2是(sin)2的简写，读作“sin的平方”，不能将sin2写成sin2
3、，前者是的正弦的平方，后者是2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写(3)同角三角函数的基本关系式是针对使三角函数有意义的角而言的，sin2cos21对一切R恒成立，而tan仅对k(kZ)成立3常用的等价变形sin2cos21tan思考：变形公式的应用要注意哪些方面？提示：(1)使用变形公式sin，cos时，“”号是由的终边所在的象限确定的，而对于其他形式的变形公式就不必考虑符号问题(2)对这些关系式不仅要牢牢掌握，还要能灵活运用(正用、逆用、变形应用)基础自测1下列四个结论中可能成立的是(B)Asin 且cos Bsin 0且cos 1Ctan 1且cos 1D是第二象限角时，
4、tan 解析根据同角三角函数的基本关系进行验证，因为当时，sin 0且cos 1，所以B成立，而A，C，D都不成立2化简的结果是(C)AcosBsinCcosDsin解析|cos|cos.3已知sin，cos，则tan等于(D)A B C D解析因为tan.故选D4若sin，且为第四象限角，则tan的值等于(D)AB CD解析因为sin，且为第四象限角，所以cos，所以tan，故选D5化简cos80.解析原式|cos80|cos80.关键能力攻重难题型探究题型一利用同角基本关系式求值角度1已知角的某个三角函数值，求其余三角函数值例1 (1)已知sin，求cos，tan的值；(2)已知cos，求
5、sin，tan的值分析已知角的正弦值或余弦值，求其他三角函数值，应先判断三角函数值的符号，然后根据平方关系求出该角的正弦值或余弦值，再利用商数关系求解该角的正切值即可解析(1)sin0，是第一或第二象限角当为第一象限角时，cos，tan；当为第二象限角时，cos，tan.(2)cos0，tan0，sin，tan；当是第三象限角时，sin0，sin，tan.归纳提升在使用开平方关系sin和cos时，一定要注意正负号的选取，确定正负号的依据是角所在的象限，如果角所在的象限是已知的，则按三角函数在各个象限的符号来确定正负号；如果角所在的象限是未知的，则需要按象限进行讨论【对点练习】 已知sin，并且
6、是第三象限的角，求cos、tan的值解析sin2cos21，cos21sin21()2.又是第三象限角，cos0，即cos，tan()().角度2利用弦切互化求值例2已知2，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)4sin23sincos5cos2.分析所求式子都是关于sin、cos的分式齐次式(或可化为分式齐次式)，将其分子、分母同除以cos的整数次幂，就把所求式子用tan表示，因此可先由已知条件求tan的值，再求各式的值解析由2，得tan2.(1).tan2，原式1.(2).tan2，原式.(3)4sin23sincos5cos2.tan2，原式1.归纳提升已知角的正切值，求由sin和cos
7、构成的代数式的值，构成的代数式通常是分式齐次式或整式齐次式(1)形如的分式，可将分子、分母同时除以cos；形如的分式，可将分子、分母同时除以cos2，将正、余弦转化为正切，从而求值(2)形如asin2bsincosccos2的式子，可将其看成分母为1的分式，再将1变形为sin2cos2，转化为形如的分式求解【对点练习】 已知tan，求下列各式的值：(1)sin2cos；(2)；(3)；(4)2sin2sincoscos2.解析(1)tan，cos2sin.又sin2cos21，sin24sin21，sin2，sin.tan0，cos0.故tantantan1.题型三三角恒等式的证明例4求证：.
8、分析思路一思路二解析方法一：右边左边，原等式成立方法二：左边，右边，左边右边，原等式成立归纳提升利用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式方法非常多，其主要方法有：(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简(2)左右归一，即证明左右两边都等于同一个式子(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异(4)变更命题法，如要证明，可证adbc或证等(5)比较法，即设法证明“左边右边0”或“1”【对点练习】 求证：.解析方法一：因为右边分母为cos，故可将左边分子分母同乘以cos.左边右边方法二：因为左边分母是1sin，故可将右边分子分母同乘以1sin.右边左边方法三：只需证明
9、左、右两边都与某个中间结果相等即可，因此可先将它们的分母变为相同因为左边，右边，所以左边右边，原式成立BBBB误区警示忽略角的限制条件而致错例5已知A为ABC的内角，且sinAcosA，求的值错解由得或当sinA，cosA时，550；当sinA，cosA时，.所以的值为0或.错因分析题设条件中A为ABC的内角，隐含了0A这一条件，错解中忽略了这一点，从而造成增解正解由得或因为0A，所以所以550.方法点拨求解三角函数方程组时，经常会用到隐含条件sin2Acos2A1，这时一般都会求出两组解，此时一定要注意是否有其他(隐含)条件的限制，进而判断是否需要排除某个解学科素养sincos，sincos
10、三者的关系及方程思想的运用sincos，sincos三者的关系：(1)对于三角函数式sincos，sincos之间的关系，可以通过(sincos)212sincos进行转化(2)若已知sincos，sincos中三者之一，利用方程思想进一步可以求得sin，cos的值，从而求出其余的三角函数值例6已知sincos(0)，求sincos和sincos的值解析因为sincos(00，所以sincos.归纳提升在解三角函数问题时要注意题目中的隐含条件，本题就是灵活运用了平方关系，列方程求出sincos，使问题得解课堂检测固双基1已知sin，为第四象限角，则tan(C)A BCD解析由于为第四象限角，所
11、以cos0，从而cos，所以tan，故选C2若是第四象限角，tan，则sin等于(D)ABCD解析tan，cossin.由sin2cos21，可得sin2，是第四象限角，sin0，sin.3已知cos，则sin2等于(A)AB CD解析sin21cos2.4已知tan，则等于(A)AB C7D7解析.5求证：2(1sin)(1cos)(1sincos)2.解析证法一：左边22sin2cos2sincos1sin2cos22sincos2(cossin)12(cossin)(cossin)2(1sincos)2右边所以原式成立证法二：左边22sin2cos2sincos，右边1sin2cos22sin2cos2sincos22sin2cos2sincos.故左边右边所以原式成立证法三：令1sinx，cosy，则(x1)2y21，即x2y22x.故左边2x(1y)2x2xyx2y22xy(xy)2右边所以原式成立
