1、第二章 推理与证明2.2 直接证明与间接证明2.2.2 反证法A级基础巩固一、选择题1实数a，b，c满足abc0，则正确的说法是()Aa，b，c都是0Ba，b，c都不为0Ca，b，c中至少有一个为0Da，b，c不可能均为正数答案：D2用反证法证明“a，bN，如果ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应该是()Aa，b都能被5整除 Ba，b都不能被5整除Ca，b不都能被5整除Da能被5整除解析：由于反证法是否定命题的结论，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证“a，b中至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”答案：B3“实数a，b，c不全大于0”等
2、价于()Aa，b，c均不大于0Ba，b，c中至少有一个大于0Ca，b，c中至多有一个大于0Da，b，c中至少有一个不大于0解析：“不全大于零”即“至少有一个不大于0”，它包括“全不大于”选项D正确答案：D4用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：则A、B、C、D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线；假设直线AC、BD是共面直线则正确的序号顺序为()A BC D解析：结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为.答案：B5有下列叙述：“ab”的反面是“ay或xb，那么”时，假
3、设的内容应是_解析：“大于”的否定为“小于或等于”答案：或180，这与三角形内角和为180矛盾，故假设错误所以一个三角形不能有两个直角假设ABC中有两个直角，不妨设A90，B90.上述步骤的正确顺序为_(填序号)答案：8有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”乙说：“甲、丙都未获奖”丙说：“我获奖了”丁说：“是乙获奖”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是_解析：若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的话都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙答案：丙三、解答题9(1)当x1时，求证：x2x；(2)已知xR，ax2x1，b
4、4x，cx22x，试证明a，b，c中至少有一个不小于1.证明：(1)x2，因为x1，所以(x1)20，x20，x2x10，所以x2x.(2)假设a，b，c都小于1，即a1，b1，c1，则有abc3，而abc2x24x52(x1)233，与矛盾，故a，b，c中至少有一个不小于1.10设函数f(x)ax2bxc(a0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数求证：f(x)0无整数根证明：假设f(x)0有整数根n，则an2bnc0，由f(0)为奇数，即c为奇数，f(1)为奇数，即abc为奇数，所以ab为偶数，又an2bnc为奇数，所以n与anb均为奇数，又ab为偶数，所以ana为奇数，即
5、(n1)a为奇数，所以n1为奇数，这与n为奇数矛盾所以f(x)0无整数根B级能力提升1已知a，b，c(0，)，则下列三个数a，b，c()A都大于6 B至少有一个不大于6C都小于6 D至少有一个不小于6解析：假设a，b，c都小于6，则abc18，利用基本不等式可得abc222 48618，当且仅当a4，b2，c3时取等号这与假设矛盾，故假设不成立，故a，b，c这三个数中至少有一个不小于6.答案：D2若下列两个方程x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是_解析：若两方程均无实根，则1(a1)24a2(3a1)(a1)0，解得a1或a.2(2a)28a4a(a2)0，解得2a0，所以2a1.所以，若两个方程至少有一个方程有实根，则有a2或a1.答案：3求证：不论x，y取何非零实数，等式总不成立证明：假设存在非零实数x，y使得等式成立于是有y(xy)x(xy)xy，即x2y2xy0，即(x)2y20.由y0，得y20.又(x)20，所以(x)2y20.与x2y2xy0矛盾，故原命题成立