1、四川省绵阳市2015届高三第一次诊断性考试数学（文）试题（解析版）第I卷（选择题，共50分）【试卷综析】本套试卷能从学科结构上设计试题，已全面覆盖了中学数学教材中的知识模块，同时，试卷突出了学科的主干内容，集合与函数、不等式、数列、概率统计、解析几何、导数的应用等重点内容在试卷中占有较高的比例，也达到了必要的考查深度本套试卷没有刻意追求覆盖面，还有调整和扩大的空间，注重了能力的考查，特别是运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力的强调比较突出，实践能力和创新意识方面也在努力体现.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的4个选项中，只有一个符合题目要求的.【题文】1、已知集
2、合则( )A. B. C. D.【知识点】集合运算. A1【答案解析】B 解析：因为A=-1，0，1, B=-1，2，所以，故选B.【思路点拨】化简集合A、B,从而求得.【题文】2、命题的否定是( )A. B. C. D.【知识点】含量词的命题的否定. A3【答案解析】B解析：命题的否定是，故选B.【思路点拨】根据含一个量词的全称命题的否定方法写出结论.【题文】3、设各项均不为0的数列满足，若，则( )A. B.2 C. D.4【知识点】等比数列. D3【答案解析】D 解析：由知数列是以为公比的等比数列，因为，所以，所以4，故选D.【思路点拨】由已知条件确定数列是等比数列，再根据求得，进而求.
3、【题文】4、如图，正六边形的边长为1，则( )A. B. C.3 D.-3【知识点】向量的数量积. F3【答案解析】D 解析：因为,所以,故选 D.【思路点拨】利用向量加法的三角形法则，将数量积中的向量表示为夹角、模都易求的向量的数量积.【题文】5、已知，那么( )A. B. C. D.【知识点】二倍角公式；诱导公式. C6 C2 【答案解析】C 解析：因为，所以，即，故选C.【思路点拨】利用二倍角公式求得值，再用诱导公式求得sin2x值.【题文】6、已知满足，则的最大值为( )A.1 B.2 C.3 D.4【知识点】简单的线性规划. E5【答案解析】B 解析：画出可行域如图：平移直线z=2x
4、-y得 ，当此直线过可行域中的点A（1,0）时 2x-y有最大值2，故选B.【思路点拨】设目标函数z=2x-y，画出可行域平移目标函数得点A（1,0）是使目标函数取得最大值的最优解.【题文】7、在内，使成立的取值范围是( )A. B. C. D.【知识点】三角函数不等式的解法. C1【答案解析】A 解析：当时，不等式为sinxcosx，解得；当时，不等式为-sinxcosx即sinx+cosx0,解得，综上得，故选A.【思路点拨】根据含绝对值的不等式的解法，通过讨论x的取值范围，去掉绝对值，然后利用单位圆及三角函数线，确定结论.【题文】8、已知的定义在的函数，对任意两个不相等的正数，都有，记，
5、则( )A. B. C. D.【知识点】函数的单调性. B3【答案解析】C 解析：因为对任意两个不相等的正数，都有，即对任意两个不相等的正数，都有，所以函数是上的减函数，因为，所以bac,故选C.【思路点拨】构造函数，根据条件可以判断它是上的减函数，由此可以判断a,b,c的大小关系.【题文】9、记函数在的值域在的值域为，若,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【知识点】函数的值域；集合关系. A1 B1【答案解析】C 解析：因为，由由，所以函数f(x)在（0,1）上单调递减，在上单调递增，所以M=,又N=，所以若,则实数的取值范围是，故选C.【思路点拨】利用导数求出函数f(x)在的值
6、域M，再求出函数g(x)的值域N,进而利用求得a范围.【题文】10、已知函数的图象上关于y轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是A. B. C. D.【知识点】函数的图像. B8【答案解析】A 解析：只需函数与函数至少有3个交点，所以，所以，从而，故选A.【思路点拨】问题转化为函数与函数至少有3个交点，由图像可知只需，解得.第II卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题5小题，每小题5分，共25分.【题文】11、若则= .【知识点】已知三角函数值求三角函数式的值. C7【答案解析】 解析：因为所以.【思路点拨】把所求化成关于正切的式子求解.【题文】12、已知向量，若与向量共线，则实数 .
7、【知识点】向量共线的意义. F1【答案解析】-1 解析：因为，所以=，又与共线，所以.【思路点拨】根据向量的坐标运算求得的坐标，再由与向量共线得关于的方程，解此方程即可.【题文】13、已知函数是函数的导函数，则 .【知识点】导数及其运算. B11【答案解析】-2 解析：因为，所以，所以所以-2.【思路点拨】先对函数求导，得到的值，进而求出.【题文】14、已知函数，则 .【知识点】函数性质求函数值. B1【答案解析】15 解析：因为，所以，所以，所以所求=【思路点拨】可以发现，所以采用倒序相加法求解.【题文】15、定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的
8、一个均值点.例如是上的平均值函数，0就是它的均值点，若函数是上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是 .【知识点】函数中的新概念问题. B1 【答案解析】(0，2) 解析：因为函数是上的“平均值函数”，所以存在使得，又所以实数的取值范围是【思路点拨】根据平均值函数”的定义写出m关于的函数，求此函数在（-1，1）上的值域即可.三、解答题：本大题共6小时，共75分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.【题文】16、（本小题满分12分）已知向量，其中函数的最小正周期为.（1）求的值.（2）求函数在上的最大值.【知识点】向量的坐标运算;三角函数的化简求值. F2 C7【答案解析】(1) (2) 解
9、析：(1)2mn-1 = 6分由题意知：，即，解得7分(2) 由()知， x，得，又函数y=sinx在，上是减函数， 10分 =12分【思路点拨】由向量的坐标运算可以列出关系式，求出的值，再根据解析式在定义域内求出函数的最大值.【题文】17、（本小题满分12分）已知函数的定义域为D（1）求D；（2）若函数在D上存在最小值2，求实数m的值.【知识点】函数的定义域;二次函数的最值. B1 B5【答案解析】(1) (2) 解析：(1) 由题知解得，即3分(2) g (x)=x2+2mx-m2=，此二次函数对称轴为4分 若2，即m-2时， g (x)在上单调递减，不存在最小值；若，即时， g (x)在
10、上单调递减，上递增，此时，此时值不存在；1即m-1时， g (x)在上单调递增，此时，解得m=1 11分综上： 12分【思路点拨】由解析式成立的条件可以得到函数的定义域，再根据二次函数的性质求出m.【题文】18、（本小题满分12分）在中，分别是内角的对边，AB=5,.（1）若BC=4,求的面积；（2）若D是边AC的中点，且，求边BC的长.【知识点】同角三角函数关系；三角形面积公式;余弦定理. C2 C8 【答案解析】(I) (II) . 解析：(1) ，又，所以，BCDAE6分(2) 以为邻边作如图所示的平行四边形，如图，则，BE=2BD=7， CE=AB=5，在BCE中，由余弦定理： 即，解
11、得： 10分【思路点拨】(1)利用同角三角函数关系求正弦值，再用三角形面积公式求得结论；（2）构造以为邻边作如图所示的平行四边形，在三角形BCE中利用余弦定理求出边BC长.【题文】19、（本小题满分12分）记公差不为0的等差数列的前n项和为成等比数列.（1）求数列的通项公式和；（2）若问是否存在实数，使得数列为单调递增数列？若存在，请求出的取值范围，若不存在，请说明理由.【知识点】等差数列及其前n项和；等比数列；单调递增数列的条件. D1 D2 D3【答案解析】(1)，；（2）存在实数，且. 解析：(1) 由，得：解得： ， 5分(2) 由题知 6分 若使为单调递增数列，则 =对一切nN*恒成
12、立，即： 对一切nN*恒成立， 10分又是单调递减的, 当时，=-3， 12分【思路点拨】(1)根据已知条件可求出等差数列的首项与公差，从而求得和；（2）若数列为单调递增数列，则对一切nN*恒成立，即： 对一切nN*恒成立，由此得的取值范围.【题文】20、（本小题满分13分）已知函数为自然对数的底数），（1）若函数恰有一个零点，证明：（2）若对任意恒成立，求实数的取值集合.【知识点】导数的应用. B12【答案解析】(1)见解析；（2） 的取值集合为. 解析：(1)证明： 由，得1分由0，即0，解得xlna，同理由0解得xlna， 在(-，lna)上是减函数，在(lna，+)上是增函数，于是在取
13、得最小值又 函数恰有一个零点，则， 4分即 5分化简得：， 6分(2)解：由()知，在取得最小值，由题意得0，即0，8分令，则，由可得0a1 在(0，1)上单调递增，在(1，+)上单调递减，即， 当0a1时，h(a)0时，函数的单调递增区间是(0，)，单调递减区间是(，+)；当时，函数的单增区间是(0，)，单减区间是(，+)（3）.解析：(1) 时，2分故点()处的切线方程是3分(2)由，得(1)当时，若b0，由知恒成立，即函数的单调递增区间是5分若，当时，；当时，即函数的单调递增区间是(0，)，单调递减区间是(，+)7分(2) 当时，得，由得显然，当时，函数的单调递增，当时，函数的单调递减，
14、所以函数的单调递增区间是(0，)，单调递减区间是(，+)9分综上所述：当a=0，b0时，函数的单调递增区间是；当a=0，b0时，函数的单调递增区间是(0，)，单调递减区间是(，+)；当时，函数的单增区间是(0，)，单减区间是(，+) 10分(3)由题意知函数在处取得最大值由(2)知，是的唯一的极大值点，故=2，整理得于是令，则令，得，当时，单调递增；当时，单调递减因此对任意，又，故，即，即， 14分【思路点拨】（1）利用导数的几何意义点处的切线方程；（2）通过讨论a,b的取值条件，得定义域上函数f(x)的导函数大于0或小于0的x范围，就是函数f(x)的增区间或减区间；（3）因为对任意的，所以函数在处取得最大值由(2)知，时，是的唯一的极大值点，故=2，整理得所以=，利用导数判断这个式子的符号即可.