1、导数一、基本概念1、导数定义：函数在处的瞬时变化率，我们称它为函数在处的导数，记作或，即。附注：导数即为函数在处的瞬时变化率；定义的变化形式：； ；，当时，。求函数在处的导数步骤：“一差；二比；三极限”。2、基本初等函数的八个必记导数公式原函数导函数原函数导函数(为常数)()(且)(且)3、导数四则运算法则(1)；(2)；(3)()。特别提示：，即常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数。4、复合函数的导数(1)复合函数定义：一般地对于两个函数和，如果通过变量，可以表示成的函数，就称这个函数为和的复合函数，记作。(2)复合函数求导法则：复合函数的导数和函数、的导数的关系为，即对的导数等于对的
2、导数与对的导数的乘积。例1-1求函数在处的导数。分析：先求，再求，再求。【解析】。例1-2求导：；。【解析】，；，；，；，；，。变式1-1若物体的运动方程是，则物体在时的瞬时速度为( )。A、 B、 C、 D、【答案】C【解析】，故选C。变式1-2如果函数，则( )。A、 B、 C、 D、不存在【答案】B【解析】，故选B。例1-3函数的导数是 。【答案】【解析】。变式1-3函数的导数是 。【答案】【解析】。变式1-4设，则( )。A、 B、C、 D、【答案】A【解析】，故选A。变式1-5函数的导函数为，则( )。A、 B、 C、 D、【答案】D【解析】，则得，故选D。例1-4函数在处的导数为
3、。【答案】【解析】；，。变式1-6曲线()，且，则实数的值为( )。A、 B、 C、 D、【答案】B【解析】，即，故选B。变式1-7求导：(1)； (2)。【解析】(1)；(2)，。能力提升：已知函数，判断在处是否可导？分析：分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导。【解析】，在处不可导。注意：，指逐渐减小趋近于；，指逐渐增大趋近于。点评：函数在某一点的导数，是一个极限值，即，包括与，因此，在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数。讲解：函数在定义域内的导数可能没有意义，但是函数有意义：
4、例如，则，在函数有意义，在导函数无意义。导数是切线的斜率，如果原函数某点的切线垂直与轴，则导数无意义，但是原函数值是存在的。例1-5函数的导数为 。【答案】【解析】，则。变式1-8已知，则 。【答案】【解析】设，则。能力提升：求导：(1)；(2)；(3)。【解析】(1) ；(2)，；(3)解法一：设，则：；解法二： 。二、导数的几何意义1、切线的斜率：函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，因此曲线在点处的切线的斜率，相应的切线方程为。例2-1曲线在点的切线斜率是( )。A、 B、 C、 D、不存在【答案】B【解析】点在曲线上，故选B。变式2-1曲线在点处切线的倾斜角为( )。A、 B、 C
5、、 D、【答案】C【解析】点在曲线上，故选C。例2-2曲线在点处的切线方程为 。【答案】【解析】，故，又点在曲线上，曲线在点处的切线方程为，化为一般式方程为。总结：求曲线切线方程关键点：利用导数的几何意义求解曲线上某点处切线斜率或曲线上某点坐标或过某点的切线方程，求解这类问题的关键就是抓住切点，点坐标适合曲线方程；点坐标适合切线方程；点处切线斜率为。变式2-2已知为偶函数，当时，则曲线在点处的切线方程是 。【答案】【解析】当时，则，又为偶函数，当时，又点在曲线上，则曲线在点处的切线的斜率为，切线方程为，即。例2-3已知点，点是曲线上的两点，求与直线平行的曲线的切线方程。【答案】【解析】，设切点
6、为，则，的斜率，又切线平行于，即，切点，所求直线方程为。变式2-3由曲线在点处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为 。【答案】【解析】，切线为，如图，。例2-4函数的图像上有两点和，在区间内求实数，使得函数的图像在处的切线平行于直线。【解析】，()，解得。变式2-4已知直线是函数图像的切线，则实数 。【解析】设切点为，则，又，。变式2-5若曲线在点处的切线方程是，则( )。A、， B、， C、， D、，【答案】B【解析】，曲线在点处的切线斜率，曲线，故选B。三、导数与函数的联系1、函数的单调性：在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增。在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递减
7、。2、函数的极值：设函数在点附近有定义，如果对附近所有的点，都有，那么是函数的一个极大值，记作；如果对附近的所有的点都有，那么是函数的一个极小值，记作。极大值与极小值统称为极值。3、函数的最值：将函数在内的各极值与端点处的函数值、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。注意：(1)判断极值的条件掌握不清：利用导数判断函数的极值时，忽视“导数等于零，并且两侧导数的符号相反”这两个条件同时成立。(2)混淆在点处的切线和过点的切线：前者点为切点，后者点不一定为切点，求解时应先设出切点坐标。(3)关注函数的定义域：求函数的单调区间及极(最)值应先求定义域。例3-1若函数在上是增函数，则的取值
8、范围是( )。A、 B、 C、 D、【答案】D【解析】在上恒成立，即，即在上恒成立，在上为减函数，故选D。变式3-1若函数在上存在减区间，求实数的取值范围是( )。A、 B、 C、 D、【答案】A【解析】，函数在上存在减区间，在上有解，即在上有解，设，令，得，当时，又，故选A。总结：利用导数研究函数单调性的三个应用(1)利用导数判断函数图像：通过求导找出增减区间，结合排除法和特殊值法解题。(2)利用导数解不等式：这类题目很多时候要构造特殊函数，通过观察式子的特点，构造特殊函数，然后求导找其增减区间，进而对不等式求解。(3)求参数的取值范围：已知函数在的单调性，求参数的范围的方法：利用集合间的包
9、含关系处理：在上单调，则区间是相应单调区间的子集。转化为不等式的恒成立问题求解：即“若函数单调递增，则；若函数单调递减，则”。例3-2函数()，若至少存在一个，使得成立，则实数的范围为( )。A、 B、 C、 D、【答案】B【解析】由题意知在上有解，满足即可，设，在上恒为增函数，故选B。变式3-2设函数，若对于任意都有成立，求实数的取值范围。【解析】，令，得或， 2分当或时，当时， 4分在和上为增函数，在上为减函数， 6分在处有极大值，在处有极小值，极大值为， 8分而， 在上的最大值为，对于任意都有成立，得的范围。 10分例3-3若对，不等式恒成立，则实数的最大值是( )。A、 B、 C、 D
10、、【答案】B【解析】，即，当时恒成立，当时，可得，令，则，可得，且在上，在上，故的最小值为，于是，即，故选B。变式3-3已知函数。(1)求的最小值；(2)若对所有都有，求实数的取值范围。【解析】(1)的定义域为，的导数， 1分令，解得，令，解得， 3分从而在单调递减，在单调递增， 5分当时，取极小值也是最小值，则； 6分(2)依题意得在上恒成立，即不等式对于恒成立， 7分令， 则， 8分当时，故是上的增函数， 10分的最小值是，从而的取值范围是。 12分总结：研究极值、最值问题应注意的三个关注点：(1)导函数的零点并不一定就是函数的极值点，所以在求出导函数的零点后一定注意分析这个零点是不是函数
11、的极值点。(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论。(3)含参数时，要讨论参数的大小。例3-4设函数，。(1)求的单调区间和极值；(2)若关于的方程有个不同实根，求实数的取值范围。(3)已知当时，恒成立，求实数的取值范围。【解析】(1)=，令得， 2分当或时，当时，的单调递增区间是及，单调递减区间是， 5分当，有极大值，当，有极小值； 6分(2)由(1)的分析可知图像的大致形状及走向，当时直线与的图像有个不同交点，即方程有三解； 8分(3)即，在上恒成立， 10分令，由二次函数的性质，在上是增函数，所求的取值范围是。 12分变式3-4已知函数(为实数)。(1)若在处有极值，求的值；(2)若在上是增函数，求的取值范围。【解析】(1)的定义域为，又，； 3分(2)对恒成立， 5分，的最大值为， 7分的最小值为，又因时符合题意，。 10分变式3-5已知函数。(1)求函数在上的最大值、最小值；(2)求证：在区间上，函数的图像在函数图像的下方。【解析】(1)由有，当时，为增函数， 2分，； 4分(2)设，则， 6分当时，则单调递减，且， 8分故时，得证。 10分
