1、1/5新余四中 2020-2021 学年上学期高二年级第一次段考数学（理）试卷试卷说明：满分 150 分，考试时间 120 分钟，命题人：刘金华，审题人：熊志远一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1下列叙述正确的是（）A互斥事件一定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件B若事件 A 发生的概率为 P（A），则 0P（A）1C频率是稳定的，概率是随机的D5 张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小2为调查参加第七届世界军人运动会的 9000 名运动员的年龄情况，从中抽查了 100 名运动员的年龄，就这个问题来说，下列说法正确的是（）A90
2、00 名运动员是总体B每个运动员是个体C抽取的 100 名运动员是样本D样本容量是 1003数据：1，1，3，3 的众数和中位数分别是（）A1 或 3，2B3，2C1 或 3，1 或 3D3，34若+11=21，则 n（）A4B5C6D75ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若ABC 的面积为a2b2c24，则 C()A2 B3 C4 D66总体由编号为 01，02，03，49，50 的 50 个个体组成，利用随机数表（以下选取了随机数表中的第 1 行和第 2 行）选取 5 个个体，选取方法是从随机数表第 1 行的第 9 列和第 10 列数字开始由左向右读取，则选出来的第 5
3、 个个体的编号为（）78 16 65 72 08 02 63 14 07 02 43 69 69 38 7432 04 94 23 49 55 80 20 36 35 48 69 97 28 01A02B43 C07D327宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：“松长六尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”如图是解决此问题的一个程序框图，其中 a 为松长、b 为竹长，则输出的 n（）A5B3C4D28在ABC 中，ABC4，AB 2，BC3，则 sinBAC()A 1010 B 105 C3 1010 D 559用数字 0，1，2，3，4 这五个数字组成的无重复数字的
4、四位偶数的个数为（）A64B88C72D6010甲、乙两人约定在上午 9：00 到 10：40 之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人 20 分钟，过时即可离去若他们在限时内的任何时刻到达约定地的概率都是相等的，则两人能会面的概率为（）A125B1625C925D152/511已知全集 U，集合 A、B 为 U 的两个非空子集，若“xA”与“xB”是一对互斥事件，则称 A 与 B 为一组 U（A，B），规定：U（A，B）U（B，A）当集合 U1，2，3，4，5时，所有的 U（A，B）的组数是（）A70B30C180D15012在ABC 中，若 a52sin（B+4），c5 且 O 为ABC
5、的外心，G为ABC 的重心，则 OG 的最小值为（）A2 1B5256C2+1D10526二填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.若 A 与 B 是互斥事件，则 A、B 同时发生的概率为 14.执行下面算法语句，输出的结果是_.15.如图所示的图形，它是由 3 个全等的三角形与中间的一个小等边三角形DEF 拼成的一个大等边三角形ABC，设 DF=2AF，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是_.16将标号为 1，2，8 的 8 个球放入标号为 1，2，8 的 8 个盒子里，每个盒内放一个球，恰好 3 个球的标号与其在盒子的标号一致的放入方法种数为
6、（要用数字作答）三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（本小题满分 10 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且cosAa cosBb sinCc.(1)证明：sinAsinBsinC；(2)若 b2c2a265bc，求 tanB18（本小题满分 12 分）（1）解不等式：3+13 2+22+6+12；（2）已知525 536=+427，求7+7+1 19.（本小题满分 12 分）某市司法部门为了宣传中华人民共和国宪法举办法律知识问答活动，从该市18 68岁的人群中随机抽取一个容量为 n 的样本，并将样本按年龄分成
7、五组：18,28),28,38)，38,48),48,58)，58,68，再将其按从左到右的顺序分别编号为第 1 组，第 2组，第 5 组，绘制了样本的频率分布直方图,对回答问题的情况进行统计后，结果如下表所示组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的比例第 1 组 18,28)50.5第 2 组 28,38)18a第 3 组 38,48)270.9第 4 组 48,58)x0.36第 5 组 58,6830.2A1B1DoAABBABLoop While B15CAB输出CBCADFE3/5(1)分别求出 a，x 的值;(2)从第 2，3，4 组回答正确的人中用分层随机抽样方法抽取 6 人
8、，则第 2，3，4 组各应抽取多少人?(3)根据频率分布直方图估算出样本数据的中位数20.（本小题满分 12 分）现有不同的 7 个球，其中 2 个不同的红球，2 个不同的白球，3 个不同的黑球（1）将这 7 个球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，有多少种排列的方法？（请用数字作答）（2）将这 7 个球分成三堆，三堆的球数分别为：1，3，3，共有多少种分堆的方法？（请用数字作答）（3）现取 4 个球，求各种颜色的球都必须取到的概率（请用数字作答）21.（本小题满分 12 分）某餐馆将推出一种新品特色菜，为更精准确定最终售价，这种菜按以下单价各试吃 1 天，得到如下数据：单价 x(元)1819
9、202122销量 y(份)6156504845(1)求销量 y 关于 x 的线性回归方程；(2)预计今后的销售中，销量与单价服从(1)中的线性回归方程，已知每份特色菜的成本是 15 元，为了获得最大利润，该特色菜的单价应定为多少元？(附：1122211()()()nniiiiiinniiiixx yyx ynxyxxxnxb，aybx。)22.（本小题满分 12 分）已知中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若sin2+sin2=sin2+sinsin，cos=(1 cos)。(1)判断的形状；(2)在的边 AB，AC 上分别取 D，E 两点，使沿线段 DE 折叠三角形时，顶点 A
10、恰好落在边BC 上，即与如下图中 P 点重合.若 AB=2，当 AD 的长最小时，求三角形DEP 的面积。PABCDE4/5新余四中 2020-2021 学年上学期高二年级第一次段考数学试卷（理）参考答案一、选择题：BDACC BCCDC CD二填空题:130143415 413162464三、解答题17(1)由正弦定理，可将cosAa cosBb sinCc 化为cosAsinAcosBsinBsinCsinC，变形可得sinAsinBsinAcosBcosAsinBsin(AB)sinC，sinAsinBsinC(6 分)(2)由已知，b2c2a265bc，根据余弦定理，有 cosAb2c
11、2a22bc35.sinA 1cos2A45.由(1)，sinAsinBsinAcosBcosAsinB，所以45sinB45cosB35sinB，故 tanBsinBcosB4.(12 分)18（1）因为+13=(+1)(1)，+22=(+2)(+1)，+12=(+1)，所以不等式可化为 3x（x1）2（x+2）+6x，解得 13 4，又 x2，xN，所以不等式的解集为2，3，4(6 分)（2）依题有：105!(5)!106!(6)!=77!(7)!，化简得1 66=(7)(6)60，再化简得m223m+420，解得 m21（舍去）或 2，所以7+7+1=8m1=83=56.(12 分)19
12、.(1)第 1 组人数为5 0.5=10，所以 n=10 0.1=100第 2 组频率为0.2，人数为100 0.2=20，所以a=18 20=0.9第 4 组人数为100 0.25=25，所以x=25 0.36=9 (4 分)(2)第 2，3，4 组回答正确的人数的比为18:27:9=2:3:1，所以第 2，3，4 组各应抽取 2 人，3 人，1 人 (8 分)(3)设中位数约为 m，由频率分布直方图可知中位数在38,48)内，由(0.01+0.02)10+0.03(m 38)=0.5，可得=1343 所以抽取的样本数据的中位数约为1343 (12 分)20（1）根据题意，将 2 只不同的红
13、球看成一个整体，有 A222 种顺序，2 只不同的白球，有 A222 种顺序，3 只不同的黑球，有 A336 种顺序，5/5三个整体之间进行排列，有 A336 种情况则有 2266144 种排法(4 分)（2）根据题意，将这 7 只球分成 1，3，3 的三堆，有73431122=70 种排法；(8 分)（3）根据题意，从 7 只球中任取 4 个，有 C7435 种取法，其中三种颜色都有的情况有 C22C21C31+C21C22C31+C21C21C3224 种，则各种颜色的球都必须取到的概率 P=2435(12 分)21.(1)=18+19+20+21+225=20，=61+56+50+48+
14、455=52，(5=1 )()=40，()25=1=10，=4,=52+20 4=132.所以 y 关于 x 的线性回归方程为：=4+132 (6 分)(2)获得的利润=(15)=42+192 1980，当=1928=24时，z 取最大值，单价应定为 24 元，可获得最大利润 (12 分)22.(1)由sin2+sin2=sin2+sinsin得2+2=2+，cos=2+222=12，又0C60C ，又由 cos=(1 cos)，得：sincos=sin(1 cos)，sin cos +sin cos =sin，sin(+)=sin，即sin =sin，=，故ABC 为等边三角形；(4 分)(2)如图：设点 A 折叠后落于边 BC 的点 P，设=，=，=2，(0,23)，又设=，AB=2，则 BD=2-y，在DEP 中，由正弦定理有：sin=sin，2sin(23)=sin3，故=3sin(23)+32,(0,23)，=6时，=232+3=4 36，(8 分)此时 PD=AD=4 36,在EDP 中，由正弦定理有：sin75=sin45=33，三角形DEP 的面积为：1sin602 EP DP=13(33)(4 36)22=27 15 32 (12 分)PABCDE