1、44.3不同函数增长的差异必备知识探新知基础知识知识点 三种函数的性质及增长速度比较指数函数对数函数一元一次函数解析式yax(a1)ylogax(a1)ykx(k0)单调性在(0，)上单调递增图象(随x的增大)逐渐与y轴平行逐渐与x轴平行直线逐渐上升增长速度(随x的增大)y的增长速度越来越快y的增长速度越来越慢y值逐渐增加增长关系存在一个x0，当xx0时，axkxlogax思考：存在一个x0，当xx0时，为什么axxnlogax(a1，n0)一定成立？提示：当a1，n0时，由yax，yxn，ylogax的增长速度，存在x0，当xx0时，三个函数的图象由上到下依次为指数，幂，对数，故一定有axx
2、nlogax.基础自测1下列说法正确的个数是(C)(1)函数ylogx的衰减速度越来越慢(2)增长速度不变的函数模型是一次函数模型(3)若a1，n0，对于任意x0R，一定有ax0x.A0B1C2D3解析对于(1)，由函数ylogx的图象可知其衰减速度越来越慢，正确；对于(2)，一次函数的图象是直线，因此其增长速度不变，正确；对于(3)，如23g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(10)，1x12，9x210，x18x22 020.从图象上知，当x1xx2时，f(x)x2时，f(x)g(x)，且g(x)在(0，)上是增函数，f(2 020)g(2 020)g(8)f(8)归纳提升由图象判断指数
3、函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数【对点练习】 函数f(x)lgx，g(x)0.3x1的图象如图所示(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)解析(1)C1对应的函数为g(x)0.3x1，C2对应的函数为f(x)lgx.(2)当0xf(x)；当x1xg(x)；当xx2时，g(x)f(x)当xx1或xx2时，f(x)g(x)题型三函数模型的选择
4、例3为净化湖水的水质，市环保局于2019年年底在管辖区湖水中投入一些水生植物，这些植物在水中的蔓延速度越来越快，2020年经两次实地测量得到表中的数据月份x/月12345植物面积y/m22436现有两个函数模型ykax(k0，a1)与ymx2n(m0)可供选择(1)分别求出两个函数模型的解析式(2)若市环保局在2019年年底投放了11 m2的水生植物，试判断哪个函数模型更合适？并说明理由(3)经过长期实地测量，刚开始植物覆盖面积增长的速度越来越快，基本符合(2)中所选函数模型的增长特点，但是当植物覆盖到一定面积后，其面积的增长速度又变得很慢，最后稳定在一个值左右试用所学的知识解释这些现象的成因
5、你从中得到了什么启示？解析(1)由已知得所以y()x.由已知得所以yx2.(2)若用模型y()x，则当x0时，y1，若用模型yx2，则当x0时，y2，易知，使用模型y()x更为合适(3)刚开始植物覆盖的面积符合所选函数模型的增长特点，因为指数函数模型的增长速度越来越快，因此植物覆盖的面积增长也越来越快当植物覆盖到一定程度后，由于湖水中营养物质、氧气含量等因素限制了植物的生长，因此覆盖面积的增长变慢，直至稳定在一定范围之内从中可以得到以下启示：数学模型只能从数学角度解释实际问题，而实际问题中的影响因素往往比较多，因此数学模型要与其他学科的知识相结合，才能更准确地解释实际问题(答案不唯一)【对点练
6、习】 明清时期，古镇河口因水运而繁华若有一商家从石塘沿水路顺水航行，前往河口，途中因故障停留一段时间，到达河口后逆水航行返回石塘，假设货船在静水中的速度不变，水流速度不变，若该船从石塘出发后所用的时间为x(小时)、货船距石塘的距离为y(千米)，则下列各图中，能反映y与x之间函数关系的大致图象是(A)课堂检测固双基1当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的是(D)Ay100xBylog100xCyx100Dy100x解析由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y100x的增长速度最快2下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型为(A)x45678910y1
7、5171921232527A一次函数模型B二次函数模型C指数函数模型D对数函数模型解析作出散点图，观察得A3专家预测，在我国大西北某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%，经过x年可能增长到原来的y倍，则函数yf(x)的图象大致为(D)解析由题意可知y(110.4%)x，故选D4某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图，给出下列四种说法：前三年中产量增长的速度越来越快；前三年中产量增长的速度越来越慢；第三年后这种产品停止生产；第三年后产量保持不变其中说法正确的是解析由t0，3的图象，联想到幂函数yxa(0a1)，反映了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢，由t3，8的图象可知，总产量C没有变化，即第三年后停止生产
