1、第2课时指数函数的图象和性质(二)必备知识探新知基础知识知识点1 比较幂的大小比较幂的大小的常用方法：(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断(3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较知识点2 有关指数型函数的性质(1)求复合函数的定义域形如yaf(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域求形如yaf(x)的函数的值域，应先求出uf(x)的值域，再由单调性求出yau的值域若a的范围不确定，则需对a进行讨论求形如yf(ax)的函数
2、的值域，要先求出uax的值域，再结合yf(u)确定出yf(ax)的值域(2)判断复合函数的单调性令uf(x)，xm，n，如果复合的两个函数yau与uf(x)的单调性相同，那么复合后的函数yaf(x)在m，n上是增函数；如果两者的单调性相反(即一增一减)，那么复合函数yaf(x)在m，n上是减函数(3)研究函数的奇偶性一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子f(x)与f(x)的关系，最后确定函数的奇偶性二是图象法，作出函数图象或从已知函数图象观察，若图象关于原点或y轴对称，则函数具有奇偶性基础自测1已知，则a，b的大小关系是(B)A1ab0BabD1ba0解析因为y在(0，)上是单调
3、递减函数，所以a0时，f(x)在(0，)上是减函数，故选D3若2x11，则x的取值范围是(D)A(1，1)B(1，)C(0，1)(1，)D(，1)解析不等式2x120，因为y2x是定义域R上的增函数，所以x10，即x1.4当x1，1时，函数f(x)3x2的值域是(C)A1，B1，1C，1D0，1解析因为f(x)3x2是1，1上的增函数，所以312f(x)32，即f(x)1.5已知a，函数f(x)ax，若实数m，n满足f(m)f(n)，则m，n的大小关系为man，解得mn.关键能力攻重难题型探究题型一指数型函数的单调性例1 讨论函数f(x)()x22x的单调性，并求其值域分析此函数是由指数函数及
4、二次函数复合而成的函数，因此可根据复合函数的单调性对其讨论解析解法一：函数f(x)的定义域为(，)，设x1、x2(，)且有x1x2，f(x2)()x2x3，f(x1)()x2x1.()xx2(x2x1)()(x2x1)(x2x12)(1)当x1x21，x1x22，即有x1x220，(x2x1)(x2x12)1.又对于xR，f(x)0恒成立f(x2)f(x1)函数f(x)在(，1上单调递增(2)当1x12，即有x1x220.又x2x10，(x2x1)(x1x22)0，则知0()(x2x1)(x2x12)1，f(x2)f(x1)函数f(x)在1，)上单调递减综上，函数f(x)在区间(，1上是增函数
5、；在区间1，)上是减函数x22x(x1)211，01，00，且a1)的单调性由两点决定，一是底数a1还是0a0，且a1)是定义在R上的奇函数(1)求k的值；(2)若f(1)0，试判断函数的单调性(不需证明)，并求不等式f(x22x)f(4x2)0的解集解析(1)方法一：f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)0，即k10，k1.当k1时，f(x)axax，f(x)axax(axax)f(x)，故k1符合题意方法二：f(x)kaxax，f(x)kaxax，又f(x)是奇函数，f(x)f(x)在定义域R上恒成立，解得k1.(2)f(1)a0，又a0，且a1，a1.yax，yax都是R上的增函数，f(
6、x)是R上的增函数故f(x22x)f(4x2)0f(x22x)f(4x2)f(x24)x22xx24x2.f(x)在R上单调递增，且不等式的解集为x|x2归纳提升指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，求解时一般利用函数奇偶性的定义【对点练习】 已知定义在R上的函数f(x)a是奇函数(1)求a的值；(2)判断f(x)的单调性(不需要写出理由)；(3)若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求实数k的取值范围解析(1)f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，f(0)0，即a0，a.(2)由(1)知f(x)，故f(x)在R上为减函数(3)f(x)为奇
7、函数，f(t22t)f(2t2k)0可化为f(t22t)k2t2，即3t22tk0对于一切tR恒成立，412k0，得k0，(2)24(3k1)0，解得k0.事实上，若只考虑0，则只能保证方程t22t3k10有两个实数解，不能保证原方程有两个正实数解正解方法一令t3x，则t0.原方程有两个实数解，即方程t22t3k10有两个正实数解，设为t1，t2，则解得k0)，由图可知，当13k2，即k0时，yf(xm)的图象可以由yf(x)的图象向右平移m个单位得到；yf(xm)的图象可以由yf(x)的图象向左平移m个单位得到；yf(x)m的图象可以由yf(x)的图象向上平移m个单位得到；yf(x)m的图象
8、可以由yf(x)的图象向下平移m个单位得到2对称(翻折)变换yf(|x|)的图象可以将yf(x)的图象位于y轴右侧和y轴上的部分不变，原y轴左侧部分去掉，画出y轴右侧部分关于y轴对称的图形而得到y|f(x)|的图象可将yf(x)的图象位于y轴上方的部分不变，而将位于y轴下方的部分翻折到y轴上方得到yf(x)的图象可将yf(x)的图象关于x轴对称而得到yf(x)的图象可由yf(x)的图象关于y轴对称得到例4画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f(x)2x的图象经过怎样的变换得到的(1)y2x1；(2)y2x1；(3)y2x；(4)y2|x|；(5)y|2x1|；(6)y2x.分析用描点法作出图
9、象，然后根据图象判断解析如图所示(1)y2x1的图象是由y2x的图象向右平移1个单位得到的(2)y2x1的图象是由y2x的图象向上平移1个单位得到的(3)y2x的图象与y2x的图象关于x轴对称(4)y2|x|的图象是由y2x的y轴右边的图象和其关于y轴对称的图象组成的(5)y|2x1|的图象是由y2x的图象向下平移1个单位，然后将其x轴下方的图象翻折到x轴上方得到的(6)y2x的图象与y2x的图象关于原点对称课堂检测固双基1若a0.5，b0.5，c0.5，则a，b，c的大小关系是(B)AabcBabcCacbDbca解析函数y0.5x是R上的减函数，又，abc，故选B2已知对于任意实数a(a0
10、，且a1)，函数f(x)7ax1的图象恒过点P，则点P的坐标是(A)A(1，8)B(1，7)C(0，8)D(8，0)解析在函数f(x)7ax1(a0，且a1)中，当x1时，f(1)7a08.所以函数f(x)7ax1(a0，且a1)的图象恒过定点P(1，8)故选A3已知函数f(x)()x，则函数yf(x1)的图象大致是(B)解析f(x1)的图象是由f(x)向左平移1个单位得到的，故选B4(2021全国新高考卷)已知函数f(x)x3(a2x2x)是偶函数，则a1解析因为f(x)x3(a2x2x)，故f(x)x3(a2x2x)，因为f(x)为偶函数，故f(x)f(x)时x3(a2x2x)x3(a2x2x)，整理得到(a1)(2x2x)0，故a1，故答案为1.5已知5x351x，试求x的取值范围解析设f(x)5x，则f(x)在R上是增函数，由题意得f(x3)f(1x)，则x31x，解得x1，即x的取值范围是(，1)