1、数 学本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷第至第页，第卷第至第页。全卷满分分，考试时间分钟。考生注意事项：答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。答第卷时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答第卷时，必须使用毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上獉獉獉獉书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡獉獉獉规定的位置绘出，确认后再用毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效
2、獉獉獉獉獉獉獉獉獉獉獉獉獉，在试獉獉题卷獉獉、草稿纸上答题无效獉獉獉獉獉獉獉獉。考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。第卷（选择题 共分）一、选择题（本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）设集合犃 狓狘犽狓犽，犽犖，犅 狓 狓 ，则犃犅狓狘狓狓狘狓狓狘狓狓狘狓已知复数狕满足（）狕，则狕新高考选课“”模式指的是：语文、数学、外语三门科目为必考，物理、历史两门科目必选一门，化学、生物、政治、地理四门科目选择两门已知甲同学选择物理的概率为，乙同学选择历史的概率为，二人的选择相互之间没有影响，那么甲、乙两名同学至少有人选择物理的概率为设犪犫，则“犮犪”是“
3、犫犪 犫犮犪犮”的充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件已知角 的终边过点犘（，槡），则已知函数犳（狓）狓，狓，狓狓，狓烅烄烆，则不等式犳（狓）犳（狓）的解集为，（，）（，）已知正实数犪，犫，犮满足犪 犫，犮犮（犫），则犪，犫，犮的大小关系为犪犫犮犫犪犮犪犮犫犫犮犪已知关于狓的方程槡狓犪狓有两个不相等的实数根，则实数犪的取值范围为，（），（），（），（）二、选择题（本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得分，有选错的得分。）已知样本甲：犪，犫，犮，犱，犲，样本乙：犪，犫，犮，犱，犲，其中犪，犫，犮，犱，犲为正实数，则下
4、列叙述中一定正确的是样本乙的极差大于样本甲的极差样本乙的众数均大于样本甲的众数若犮为样本甲的中位数，则犮为样本乙的中位数若犮为样本甲的平均数，则犮为样本乙的平均数已知函数犳（狓）是定义在犚上的减函数，实数犪，犫，犮（犪犫犮）满足犳（犪）犳（犫）犳（犮），若狓是函数犳（狓）的一个零点，则下列结论中可能成立的是狓犪犪狓犫犫狓犮狓犮已知函数犳（狓）犃（狓）犃，（）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是第（）题图犳（狓）的最小正周期为犳（）狓 犳（）狓犳（狓）在，上单调递增犳狓（）为奇函数矩形犃犅犆犇 中，犅犆犃犅 槡，犈，犉分别为犃犇，犅犆的中点，将 犃犅犈沿犅犈折起，犃折起后记为犘，将 犆犇犉沿
5、犇犉折起，犆折起后记为犙，得到如图几何体犘犙 犅犈犇犉，在折起过程中，下列结论中正确的是存在点犘，犙，使得犙犈 平面犘犅犉存在点犘，犙，使得犘犉 犙犈三棱锥犘 犅犈犉 体积的最大值为犘，犙两点间的最短距离为数 学第 卷（非选择题 共分）考生注意事项：请用毫米黑色墨水签字笔在答题卡上獉獉獉獉獉作答，在试题卷上答题无效獉獉獉獉獉獉獉獉獉。三、填空题（本题共小题，每小题分，共分。第题为选考题，请考生任选一空作答，并把答案填在答题卡的相应位置。）已知函数犳（狓）犳（）（狓），则犳（）第（）题图如图，在等腰直角三角形犗犃犅中，狘犗犃狘狘犗犅狘，犃犆 犆犅，过点犆作直线犾垂直于犃犅，犇为直线犾上任一点，则
6、 犗犇 犃犅 【选考空间向量与立体几何】正三棱柱犃犅犆 犃犅犆中，犃犃犃犅，犈为棱犃犅的中点，犉为线段犅犅上一点，且犃犆犈犉，则犅犉犉犅 【选考 直接和圆的方程】已知点犘为直线狓上任意一点，过点犘作圆犗：狓狔 的两条切线，切点分别为 犃，犅，则直线 犃犅 恒过的定点的坐标为 已知正实数狓，狔满足狓狔 狓狔，则使得犽狔恒成立的实数犽的最大值为 四、解答题（本题共小题，共分。第题为选考题，请考生从给出的两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）（分）已知向量犪（狓，狓狓），犫（槡狓，狓狓），犳（狓）犪犫（）求犳（狓）；（）若犳（），求（分）
7、教育部关于落实主体责任强化校园食品安全管理的指导意见指出：非寄宿制中小学、幼儿园原则上不得在校内设置食品小卖部、超市，已经设置的，要逐步退出为了了解学生对校内开设小卖部的意见，某校对名住校生天内在小卖部消费过的天数进行了统计，情况如下：天数，），），），），人数（）用分层抽样的方法在消费天数不低于天的住校生中选择人进行意见调查，分别求其中消费天数在区间，），），内的人数；（）从（）中选择的人中任意抽取人对取消校内小卖部给出具体意见，求这人消费天数均在，内的概率（分）如图所示，几何体犈犉 犃犅犆犇 中，平面犈犃犅 平面犃犅犆犇，犈犃犅 为正三角形，四边形犃犅犆犇 为菱形，犃犅犆，犇犉 犃犈，且犃
8、犈 犇犉 第（）题图（）证明：犅犇 平面犆犈犉；（）求四棱锥犉 犃犅犆犇 的体积（分）犃犅犆中，犪，犫，犮分别为角犃，犅，犆所对的边，且犮犆（犪犫）犃（犪犫）犅，（犃犅）犃犅（）求角犆的大小；（）求犪犫 的值选考题（分，请考生从、两题中任选一题作答，若两题都答，则以所做的第一题计分。）【选考 空间向量与立体几何】如图所示，四棱锥犘 犃犅犆犇 中，犘犃 底面犃犅犆犇，犘犃，犅犆犇 是边长为槡的正三角形，且犃犆犅犇，犅犃犇 第（）题图（）证明：平面犘犃犅 平面犘犅犆；（）求平面犘犃犅 与平面犘犆犇 所成的锐二面角的大小【选考 直线和圆的方程】已知圆犗：狓狔狉（狉）与圆犈：狓狔狓狔内切（）求圆犗的方
9、程；（）过点犈作倾斜角互补的两条直线分别与圆犗 相交，所得的弦记为犃犅 和犆犇，若狘犃犅狘狘犆犇狘，求实数的最大值（分）已知函数犳（狓）狓狘狓犪狘狓（犪，）（）讨论函数犳（狓）的单调性；（）若存在犪，使得方程犳（狓）犪狋有三个不同的实数根，求实数狋的取值范围第 1页（共 6 页）数学参考答案一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的12345678CACDBABD1.C【解析】|02Bxx，画数轴得：AB|12xx，故选 C.2.A【解析】43122izii ，故选 A.3.C【解析】甲选历史的概率为 23，乙选历史的概率为 1
10、3，故至少有 1 人选择物理的概率为：2171339，故选 C4.D【解析】()0()bbcbbcc abaacaaca ac，因为0ab，则()0c ac，当0c 时，ac，所以是既不充分也不必要条件，故选 D.5.B【解析】2211cos()231(2)，即1sin3，于是21cos212sin3，故选 B.6.A【解析】作出()f x 的图象可知，()f x 为奇函数且在 R 上单调递增，原不等式即：2(2)()()fxfxf x，则22xx，解得：21x ，故选 A.7.B【解析】由题：11223 22babb，则1bab，又11b ，0c，则32loglog(1)0ccb，则1c ，
11、所以3223loglog(1)log(1)log(1)ccbbb，故1cba，故选 B.8.D【解析】法一：由题即211111()24axxx 有两根，数形结合得：104a.法二：由数形结合，0a 时只有一个实数根，故0a，即2(1)xax，即22()(21)10f xa xax 在0 x 时有两个不相等的实数根，则22(21)40aa，且22102aa，(0)0f，解得104a，故选 D.二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9101112CDACABDBCD9.CD【解
12、析】若 abcde，则样本甲和乙的极差均为 0，A 错；若样本甲：1,1,2,5,5，样本乙：3,3,5,11,11，甲的众数为 1 和 5，乙的众数为 3 和 11，而 35，B 错；C 显然正确；若5abcdec，则 2121212121215abcdec ，故 D 正确第 2页（共 6 页）10.AC【解析】若()0,()0,()0f af bf c，则0 xa，A 正确；若()0,()0,()0f af bf c，则0bxc，C 正确.11.ABD【解析】由图知2A，由(0)2sin3f，02，得3，由 2 33k 得26k，又 32T，则2，故T，A 正确；又()212f，所以12x
13、 为一条对称轴，故 B 正确；()f x 在 7,2 12 上单调递减，在 7,12上单调递增，故 C 错误；()2sin2()2sin 2663f xxx为奇函数，故 D 正确.12.BCD【解析】分别取,BE DF 中点,G H，连接,PG GF QH EH，易证 BE 平面 PGF，DF 平面 QHE，于是平面 PGF 平面 BFDE，平面 QHE 平面 BFDE，故平面/PGF平面 QHE，则/QE平面 PGF，故 A 错误；当 PG 平面 BFDE 且 QH 平面 BFDE 时，PFQE，故 B 正确；当 PG 平面 BFDE 时，三棱锥-P BEF 的体积最大，此时1PG ，122
14、12BEFS，体积最大值为 111 133 ，故 C 正确；当 PQ 平面 PGF 时，,P Q 两点间的距离最短，等于 GF 与 EH 间距离 1，故 D 正确.三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13.32【解析】由题：2(1)1(1)log 2ff，解得1(1)2f，故21113()1log2222f .14.13【解析】取 AB 中点 E，则2|6EC，易知向量 OD在 AB方向上的投影向量为 EC，故212=63OD ABEC AB .15.【选考-空间向量与立体几何】15【解析】如图建立空间直角坐标系，则131(0,0,0),(,0,0),(0,2)22ECA
15、,设1(0,)2F，由13 11(,2)(0,)0222AC EF 解得18，故11281518B FFB.第 3页（共 6 页）15.【选考-直线和圆的方程】(1,0)【解析】设(4,)Pt，易知,P A O B 四点共圆，其方程为：(4)()0 x xy yt，故ABl：22(4)()(4)0 x xy ytxy，化简得：4(1)0 xty，恒过定点(1,0).16.22 2【解析】法一：22xyxy即22111()()222xy，其中0y，易得：2102y，因为1ky恒成立，故22 2k.法二：由题，0 xy，10ky 即222()11()1xxyykxyxy yy，令1xty，则222
16、()11(1)2(1)22122 221111xtttytxttty ，故22 2k，所以 k 的最大值为 22 2.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分17.（10 分）【解析】（1）()2 3sin cos(sincos)(sincos)f xxxxxxxa b1 分3sin 2cos2xx3 分2sin(2)6x.5 分（2）因为3()2sin()262f，所以3sin()064，6 分又02，所以063，7 分所以27cos()1sin()664，8 分故313 37sinsin()sin()cos()6626268.10 分18.（12 分）【解析】（1）消费天数不低于 15
17、天的住校生共有：1892754人，所以抽样比为 61549，2 分消费天数在区间15,20)内的人数为：11829人，消费天数在区间20,25)内的人数为：1919 人，消费天数在区间25,30 内的人数为：12739人.5 分第 4页（共 6 页）（2）分别记 6 名消费天数在区间15,20)，20,25)，25,30 内的住校生为：12123,a a b c c c，从中任取 2 人有：1211112132212223123(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a aa ba ca ca ca ba ca ca cb cb cb c1
18、21323(,),(,),(,)c cc cc c共 15 种情况，9 分其中这 2 人消费天数均在25,30 内的有：121323(,),(,),(,)c cc cc c共 3 种情况，11 分故这 2 人消费天数均在25,30内的概率为 31155.12 分19.（12 分）【解析】（1）连接 AC 交 BD 于点 O，则 O 为 AC 中点，取CE 中点 G，连接,GO GF，则/OG 12 AE，又/DF 12 AE，则/OG DF，3 分则四边形 ODFG 为平行四边形，故/BDGF，又 BD 平面 CEF，GF 平面 CEF，所以/BD平面 CEF.6 分（2）因为/DFAE，/D
19、CAB，DFDCD，AEABA，所以平面/FDC平面 EAB，且60FDCEAB，8 分又平面 EAB 平面 ABCD，所以平面 FDC 平面 ABCD，9 分作 FHCD，平面 FDC 平面 ABCDCD，则 FH 平面 ABCD，10 分因为1DF ，2BCBAAE，60ABC所以3sin602FHDF，sin602 3ABCDSBA BC菱形，故四棱锥-F ABCD 的体积为 132 3132.12 分20.（12 分）【解析】（1）由正弦定理得：2222(2)(2)222cab aab babab，1 分即222cabab，2 分故2221cos222abcabCabab，4 分因为
20、C 是三角形的内角，故120C 5 分（2）因为 2sin()3cossinABAB，则 2sincos2cossin3cossinABABAB，即 2sincos5cossinABAB，6 分则2222222522acbbcaabacbc，化简得：2227()3abc，8 分由（1）222cabab，故22227()3()ababab，化简得：2243100aabb，即(2)(45)0abab，11 分因为,0a b，故20ab，即2ab 12 分第 5页（共 6 页）【21-1 选考空间向量与立体几何】（12 分）【解析】（1）因为BCD是正三角形，且 ACBD，则 AC 为 BD 的中垂
21、线，故 ABAD，又120BAD，所以30ABD，1 分所以90ABCABDCBD ，即 ABBC，2 分又 PA 底面 ABCD，则 PABC，3 分因为 PAABA，所以 BC 平面 PAB，4 分因为 BC 平面 PBC，所以平面 PAB 平面 PBC.5 分（2）如图，以 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，过点 A 且与 BC 平行的直线为 y 轴，AP 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，由1cos2ABABDBD得：2ADAB，则(0,0,1)P，(2,0,0)B，(2,6,0)C，26(,0)22D，7 分取平面 PAB 的一个法向量(0,1,0)m，8 分设平面 P
22、CD 的一个法向量为000(,)xyzn，其中3 26(,0)22DC，(2,6,1)PC 则00DCPC nn，即000003 26022260 xyxyz,令01x ，得(1,3,2 2)n，10 分所以31cos,|21 2 3m nm nmn，则,60m n，11 分所以平面 PAB 与平面 PCD 所成的锐二面角的大小为 60.12 分【21-2 选考直线和圆的方程】（12 分）【解析】（1）圆 E：22(1)(1)2xy，所以(1,1)E，2Er，1 分因为圆O 与圆 E 内切，所以|2|OEr，即2|2|r，2 分解得：2 2r 或 0，因为0r，所以2 2r，4 分故圆 O：2
23、28xy.5 分（2）由题，直线 AB 和 CD 的斜率存在且不为 0，设:1(1)ABlyk x，即10kxyk，则:10CDlkxyk，6 分O 到 AB 的距离为：2|1|1kk，7 分所以2222|1|727|2 8()211kkkABkk，8 分同理，22727|21kkCDk，9 分则222|72744111|7277277()2ABkkkCDkkkkkk，10 分第 6页（共 6 页）当0k 时，12kk （当且仅当1k 时等号成立），,1)，当0k 时，12kk（当且仅当1k 时等号成立），2 3(1,3，所以实数 的最大值为 2 33.12 分22.（12 分）【解析】（1）
24、222(1),2()2(1),2xa xxaf xxa xxa 22(1)yxa x的对称轴为1xa，22(1)yxa x 的对称轴为1xa，因为 1,2a，所以12aa，故()f x 在2,)a 上始终单调递增2 分 1,1a 时，12aa，则()f x 在(,2)a上单调递增，故()f x 在 R 上单调递增；4 分(1,2a时，12aa，()f x 在(,1a上单调增，在(1,2)aa上单调减，故()f x 在(,1a和2,)a 上单调递增，在(1,2)aa上单调递减.6 分（2）由（1）1,1a 时，()f x 在 R 上单调递增，不合题意，7 分(1,2a时，()f x 在(,1a和2,)a 上单调递增，在(1,2)aa上单调递减，(2)4faa，2(1)(1)f aa，故224(1)aa ta，8 分即存在(1,2a使得241(1)taa 成立，故2minmax41()(1)taa，9 分因为4ya和21(1)ya在(1,2a上均单调递减，10 分所以 42a，21(1)4a，故 24t 12 分