1、专题训练(五)三角形中的内接特殊四边形问题回归教材第二十七章 相 似教材母题(教材P58复习题T11)如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC120 mm，高AD80 mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少？【分析】根据正方形的对边平行得到BCEF，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”，设正方形零件的边长为x mm，则KDEFx，AK80 x，然后根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果 解：四边形 EGHF 为正方形，BCEF.设正方形零件的边长为 x
2、mm，则KDEFx，AK80 x.EFBC，AEFABC.ADBC，EFBC AKAD，x120 80 x80，解得 x48.答：这个正方形零件的边长是 48 mm变式拓展1(问题拓展)如图，ABC是一块锐角三角形余料，边BC120 mm，高AD80 mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB，AC上(1)求证：APQABC；解：四边形PNMQ为矩形，MNPQ，即PQBC，APQABC(2)若这个矩形的边PNPQ12，则这个矩形的长、宽各是多少？解：设宽为x，则长为2x，四边形PNMQ为矩形，PQBC，ADBC，ADPQ，PNPQ12，PQ2x，PNx，APQ
3、ABC，PQBC AEAD，由题意知PQ2x，AD80，BC120，PNx，2x120 80 x80，解得x2407，2x4807.即长为4807mm，宽为2407mm.答：矩形的长4807mm，宽为2407mm2(拓展变式)如图，ABC是一块铁皮余料已知底边BC160 cm，高AD120 cm.在铁皮余料上截取一个矩形EFGH，使点H在AB上，点G在AC上，点E，F在BC上，AD交HG于点M.(1)设HGy cm，HEx cm，试写出用x表示y的函数表达式(2)当x为何值时，矩形EFGH的面积S 最大？解：(1)四边形EFGH是矩形，AD是高，MDHEx，HGBC，AMADMD120 x，AHGABC，AMAD HGBC，即120 x120 y160，y43 x160(2)矩形EFGH的面积Sxyx(43 x160)43 x2160 x43(x2120 x3600)4 80043(x60)24 800，所以，当x60时，S取最大值4 800
