1、第2课时函数的概念(二)必备知识探新知基础知识知识点1 同一个函数前提条件_定义域_相同_对应关系_完全一致结论这两个函数是同一个函数思考1：函数有定义域、对应关系和值域三要素，为什么判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系？提示：由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域，所以判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系即可知识点2 常见函数的定义域和值域函数一次函数反比例函数二次函数_a0_a0_对应关系yaxb (a0)y(k0)yax2bxc (a0)yax2bxc(a0)定义域Rx|x0RR值域Ry|y0y|yy|y思考2：求二次函数yax2bxc(a0)的值域时为什
2、么分a0和a0两种情况？提示：当a0时，二次函数的图象是开口向上的抛物线，观察图象得值域为y|y当a0时，二次函数的图象是开口向下的抛物线，观察图象得值域为y|y基础自测1判断正误(对的打“”，错的打“”)(1)f(x)与g(x)x是同一个函数()(2)若两个函数的定义域与值域都相同，则这两个函数是同一个函数()(3)函数f(x)x2x与g(t)t2t是同一个函数()解析(1)f(x)与g(x)x的定义域不相同，所以不是同一个函数(2)例如f(x)与g(x)的定义域与值域相同，但这两个函数不是同一个函数(3)函数f(x)x2x与g(t)t2t的定义域都是R，对应关系完全一致，所以这两个函数是同
3、一个函数2(2021江苏启东中学高一检测)下图中，能表示函数yf(x)的图象的是(D)解析由函数定义可知，任意作一条垂直于x轴的直线xa，则直线与函数的图象至多有一个交点，可知选项D中图象能表示y是x的函数3若函数yx23x的定义域为1,0,2,3，则其值域为(A)A2,0,4B2,0,2,4Cy|y Dy|0y34下表表示y是x的函数，则函数的值域是(D)xx22x3x3y101Ay|1y1 BRCy|2y3 D1,0,1解析函数值只有1,0,1三个数值，故值域为1,0,1关键能力攻重难题型探究题型一函数的值域例1函数yx21，1x2的值域是(B)A(3,0B(3,1C0,1 D1,5)分析
4、首先看二次函数的开口方向，再考虑二次函数的对称轴与限定区间的位置关系解析由yx21，x1,2)，可知当x2时，ymin413；当x0时，ymax1，因为x2，所以函数的值域为(3,1归纳提升二次函数yax2bxc(a0)的值域(1)对称轴在限定区间的左边，则函数在限定区间左端点取最小值，右端点取最大值；(2)对称轴在限定区间的右边，则函数在限定区间左端点取最大值，右端点取最小值；(3)对称轴在限定区间内，则函数在对称轴处取最小值，限定区间中距离对称轴较远的端点取最大值【对点练习】 下列函数中，值域为(0，)的是(B)Ay ByCy Dyx21解析A中x0，所以y0；B中x0，所以y0；C中x0
5、，所以y0；D中xR，所以y1题型二同一函数例2判断下列各组函数是否是同一个函数，为什么？(1)y与y1；(2)y与yx；(3)y与y分析判断两个函数是否是同一个函数，只须看这两个函数的定义域和对应关系是否完全一致即可解析(1)对应关系相同，都是无论x取任何有意义的值，y都对应1但是它们的定义域不同，y的定义域是x|x0，而y1的定义域为R，故这两个函数不是同一个函数(2)对应关系不相同，y|x|的定义域为R，yx的定义域也是R，但当x0时，对应关系不同，故两个函数不是同一个函数(3)函数y的定义域为使成立的x的集合，即x|1x1在此条件下，函数解析式写为y，而y的定义域也是x|1x1，由于这
6、两个函数的定义域和对应关系完全相同，所以两个函数是同一个函数归纳提升判断两个函数f(x)和g(x)是不是同一函数的方法与步骤(1)先看定义域，若定义域不同，则两函数不同(2)再看对应关系，若对应关系不同，则不是同一函数(3)若对应关系相同，且定义域也相同，则是同一函数【对点练习】 f(x)与g(x)表示同一函数的是(D)Af(x)x2，g(x)Bf(x)1，g(x)(x1)0Cf(x)，g(x)x3Df(x)，g(x)解析对于A，g(x)|x|，与f(x)的解析式不同；对于B，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为x|x1；对于C，f(x)的定义域为x|x3，g(x)的定义域为R；对于D，f
7、(x)1(x0)，g(x)1(x0)，解析式与定义域都相同，故f(x)与g(x)表示同一函数题型三复合函数、抽象函数的定义域例3(1)若函数f(x)的定义域为(1,2)，则函数f(2x1)的定义域为_(1，)_(2)若函数f(2x1)的定义域为(1,2)，则函数f(x)的定义域为_(1,5)_(3)若函数f(2x1)的定义域为(1,2)，则函数f(x1)的定义域为_(0,6)_分析(1)f(x)的定义域为(1,2)，即x的取值范围为(1,2)f(2x1)中x的取值范围(定义域)可由2x1(1,2)求得(2)f(2x1)的定义域为(1,2)，即x的取值范围为(1,2)，由此求得2x1的取值范围即
8、为f(x)的定义域(3)先由f(2x1)的定义域求得f(x)的定义域，再由f(x)的定义域求f(x1)的定义域解析(1)由12x12，得1x，f(2x1)的定义域为(1，)(2)1x2，12x15，f(x)的定义域为(1,5)(3)由f(2x1)的定义域为(1,2)得f(x)的定义域为(1,5)，由1x15得0x6，f(x1)的定义域为(0,6)归纳提升函数yfg(x)的定义域由yf(t)与tg(x)的定义域共同决定：(1)若已知函数f(x)的定义域为数集A，则函数fg(x)的定义域由g(x)A解出(2)若已知函数fg(x)的定义域为数集A，则函数f(x)的定义域为g(x)在A中的值域【对点练
9、习】 (1)已知函数f(x)的定义域为1,5，求函数f(x5)的定义域；(2)已知函数f(x1)的定义域是0,3，求函数f(x)的定义域解析(1)由1x55，得4x10，所以函数f(x5)的定义域是4,10(2)由0x3，得1x12，所以函数f(x)的定义域是1,2误区警示函数概念理解有误例4设集合Mx|0x2，集合Ny|0y2，给出下列四个图形(如图所示)，其中能表示集合M到N的函数关系的个数是(B)A0 B1C2 D3错解函数的对应关系可以一对一，也可以多对一，故(1)(2)(3)正确，选D错因分析不但要考虑几对几的问题，还要考虑定义域中的元素x在值域中是否有相应的y值与之对应正解图(1)
10、定义域M中的(1,2部分在值域N中没有和它对应的数，不符合函数的定义；图(2)中定义域、值域及对应关系都是符合的；图(3)显然不符合函数的定义；图(4)中在定义域(0,2上任给一个元素，在值域(0,2上有两个元素和它对应，因此不唯一故只有图(2)正确答案为B方法点拨函数的定义中，从数的角度描述了函数的对应关系，首先它是两个非空数集之间的对应，它可以一对一，也可以多对一，除此之外，还要弄清定义域与数集A、值域与数集B之间的关系学科素养求函数值域的方法转化与化归思想及数形结合思想的应用1分离常数法例5求函数y的值域分析这种求函数值域的问题，我们常把它们化为ya的形式再求函数的值域解析y3，又0，y
11、3函数y的值域是y|yR，且y3归纳提升求y这种类型的函数的值域，应采用分离常数法，将函数化为ya的形式2配方法例6求函数yx22x3(5x2)的值域分析这种题型，我们常利用配方法把它们化成ya(xb)2c的形式来求函数的值域解析yx22x3(x1)24，x5，2，其图象是开口向下，顶点为(1,4)，在x5，2上对应的抛物线上的一段弧根据x5，2时的抛物线上升，则当x5时，y取最小值，且ymin12；当x2时，y取最大值，且ymax3故yx22x3(5x2)的值域是12,3归纳提升遇到求解一般二次函数yax2bxc(a0)的值域时，应采用配方法，将函数化为ya(x)2的形式，从而求得函数的值域
12、3换元法例7求函数yx的值域分析忽略常数系数，则x与隐含二次关系，若令t，则x(t21)，于是函数转化为以t为自变量的二次函数，由于原函数的定义域由有意义确定，故t的允许取值范围就是的取值范围解析设u(x)，则x(u0)，于是yu(u0)由u0知(u1)21，则y故函数yx的值域为，)归纳提升求解带根号且被开方式为一次式的函数的值域，直接求解很困难，既费时又费力，所以遇到这样的问题，我们要想到用一个字母代换掉带根号的式子值得注意的是，在代换过程中，要注意新变量的取值范围课堂检测固双基1函数y2x1，xN*，且2x4，则函数的值域为(C)A(5,9)B5,9C5,7,9 D5,6,7,8,9解析
13、当2x4且xN*时，x2,3,4所以函数值域为5,7,92(2020山东莒县一中高一期末测试)下列各组函数中，表示同一函数的是(A)Ayx与yByx2与yCy1与y(x1)0 Dy|x|与y()2解析选项B、C、D中两函数的定义域不同，只有A中的两函数是同一函数3已知函数f(x)的定义域2,3，则函数f(x1)的定义域为_3,2_解析由题意得2x13，3x2，故函数f(x1)的定义域为3,24(2021同仁高一检测)已知f(x)(xR，x2)，g(x)x21(xR)(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求fg(3)的值；(3)作出f(x)，g(x)的图象，并求函数的值域解析(1)f(2)，g(2)2215(2)fg(3)f(321)f(10)(3)作出图象如图， 则f(x)的值域为(，0)(0，)，g(x)的值域为1，)