1、高考资源网（） 您身边的高考专家1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学 习 目 标核 心 素 养3.理解和初步掌1.了解杨辉三角各行数字的特点及其与组合数性质、二项展开式系数性质间的关系，培养学生的观察力和归纳推理能力(重点)2.理解和掌握二项式系数的性质，并会简单应用(难点)握赋值法及其应用(重点)1.通过学习二项式系数的性质，培养逻辑推理的素养2.借助二项式系数的性质解题，提升数学运算的素养.1杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即CCC.2二项式系数的性质(1)对称性：在(a
2、b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即CC，CC，CC.(2)增减性与最大值：当k时，二项式系数是逐渐增大的由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值当n是偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当n是奇数时，中间两项的二项式系数与相等，且同时取得最大值3各二项式系数的和(1)CCCC2n；(2)CCCCCC2n1.1(12x)15的展开式中的各项系数和是()A1B1C215D315B令x1即得各项系数和，各项系数和为1.2在(ab)10二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是()A第8项B第7项C第9项D第10项C由二项式展开式的性质与首末等距离的两项的二
3、项式系数相等3在(ab)8的展开式中，二项式系数最大的项为_，在(ab)9的展开式中，二项式系数最大的项为_70a4b4126a5b4与126a4b5因为(ab)8的展开式中有9项，所以中间一项的二项式系数最大，该项为Ca4b470a4b4.因为(ab)9的展开式中有10项，所以中间两项的二项式系数最大，这两项分别为Ca5b4126a5b4，Ca4b5126a4b5.“杨辉三角”的应用【例1】如图所示，在“杨辉三角”中斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，.记其前n项和为Sn，求S19的值思路点拨由图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是
4、C，第4项是C，第17项是C，第18项是C，第19项是C.解S19(CC)(CC)(CC)(CC)C(CCCC)(CCCC)(23410)C220274.解决与“杨辉三角”有关的问题的一般方法1将全体正整数排成一个三角形数阵：123456789101112131415按照以上排列的规律，第n行(n3)从左向右的第3个数为_前n1行共有正整数12(n1)个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第个，即为.求展开式的系数和【例2】设(12x)2 018a0a1xa2x2a2 018x2 018(xR)(1)求a0a1a2a2 018的值；(2)求a1a3a5a2 017的值；(3)求|a0|a1
5、|a2|a2 018|的值思路点拨先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解解(1)令x1，得a0a1a2a2 018(1)2 0181. (2)令x1，得a0a1a2a2 017a2 01832 018. 得2(a1a3a2 017)132 018，a1a3a5a2 017.(3)Tr1C(2x)r(1)rC(2x)r，a2k10(kN*)，a2k0(kN)|a0|a1|a2|a3|a2 018|a0a1a2a3a2 017a2 01832 018.在本例条件不变的情况下，求下列各式的值(1)a2a4a6a2 018；(2)a12a23a32 018a2 018.解(1)由得2(a0a
6、2a2 018)32 0181，a0a2a2 018，又令x0得a01，a2a4a6a2 018.(2)(12x)2018a0a1xa2x2a2 018x2 018(xR)，两边分别求导得4 036(12x)2 017a12a2x2 018a2 018x2 017(xR)，令x1得，4 036a12a22 018a2 018.二项展开式中系数和的求法1对形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cR，m，nN*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即可；对(axby)n(a，bR，nN*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可2一般地，若f(x)a0a1xa2x2
7、anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0a2a4，偶数项系数之和为a1a3a5.2已知(2x3)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，求：(1)a0a1a2a3a4；(2)(a0a2a4)2(a1a3)2.解(1)由(2x3)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，令x1得(23)4a0a1a2a3a4，所以a0a1a2a3a41.(2)在(2x3)4a0a1xa2x2a3x3a4x4中，令x1得(23)4a0a1a2a3a4， 令x1得(23)4a0a1a2a3a4. 所以(a0a2a4)2(a1a3)2(a0a1a2a3a4)(a0a1a2a3a4)(23)4
8、(23)4(23)4(23)4625.二项式系数性质的应用探究问题1计算，并说明二项式系数的单调性提示.当k1，说明二项式系数逐渐增大；同理，当k时，二项式系数逐渐减小2如何求(abx)n(a，bR)的展开式中系数最大的项？提示求(abx)n(a，bR)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，An1，且第r1项系数最大，应用解出r，即得系数的最大项【例3】已知f(x)(3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项思路点拨求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项
9、)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x，y的系数均考虑进去，包括“”“”号解令x1，则二项式各项系数的和为f(1)(13)n4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n2n992.(2n)22n9920，(2n31)(2n32)0，2n31(舍去)或2n32，n5.(1)由于n5为奇数，展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T3C()3(3x2)290x6，T4C()2(3x2)3270.(2)展开式的通项公式为Tr1C3r假设Tr1项系数最大，则有r，rN，r4.展开式中系数最大的项为T5C (3x2)4405.1求二项式系数最大的项，根据二项式系数
10、的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大2求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得3(12x)n的展开式中第6项和第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项解T6C(2x)5，T7C(2x)6，依题意有C25C26n8，(12x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5C(2x)41 120x4.设第r1项系数最大，则有5r6.r0,1,2，8，r5或r6.系数最大的项为T61 792x5，T71 792x6.1赋值法是求展开式系数和的常用方法，一般对字
11、母赋的值为0,1或1.2释疑二项展开式中系数最大的项(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n为奇数时，中间两项的二项式系数最大，n为偶数时，中间一项的二项式系数最大(2)求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况进行判断一般采用列不等式、解不等式的方法求解(3)系数最大的项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致.1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列()(2)二项展开式的二项式系数和为CCC.()(3)二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同()答案(1)(2
12、)(3)2已知(ab)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于()A11B10C9D8D第5项的二项式系数最大，故展开式为9项，n8.3若(x3y)n的展开式中各项系数的和等于(7ab)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为_5(7ab)10的展开式中二项式系数的和为CCC210，令(x3y)n中xy1，则由题设知，4n210，即22n210，解得n5.4已知(ax)5a0a1xa2x2a5x5，若a280，求a0a1a2a5的值解(ax)5展开式的通项为Tk1(1)kCa5kxk，令k2，得a2(1)2Ca380，解得a2，即(2x)5a0a1xa2x2a5x5，令x1，得a0a1a2a51.所以a0a1a2a51.- 9 - 版权所有高考资源网