1、第2课时补集及综合运用必备知识探新知基础知识知识点1 全集1概念：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为_全集_2记法：通常记作U思考1：在集合运算问题中，全集一定是实数集吗？提示：全集是一个相对性的概念，只包含研究问题中涉及的所有的元素，所以全集因问题的不同而异知识点2 补集思考2：怎样理解补集？提示：(1)补集是相对于全集而言的，一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围(2)补集既是集合之间的一种关系，也是集合之间的一种运算在给定全集U的情况下，求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的基
2、础自测1已知集合Ax|x5或x7，则RA(B)Ax|5x7Bx|5x7Cx|x5x|x7 Dx|x5x|x7解析Ax|x5或x7，RAx|5x7，故选B2(2021贵州遵义市高一期末测试)已知集合U1,2,3,4,5，集合A1,3,4，B2,4，则(UA)B(A)A2,4,5 B1,3,4C1,2,4 D2,3,4,5解析UA2,5，(UA)B2,52,42,4,53(2019浙江，1)已知全集U1,0,1,2,3，集合A0,1,2，B1,0,1，则(UA)B(A)A1 B0,1C1,2,3 D1,0,1,3解析UA1,3，(UA)B1,31,0,11，故选A4设集合UR，Mx|x2或x2，则
3、UM(A)Ax|2x2 Bx|2x2Cx|x2或x2 Dx|x2或x2解析利用数轴，可得选A5已知全集U，集合A1,3,5,7,9，UA2,4,6,8，UB1,4,6,8,9，求集合B解析解法一：A1,3,5,7,9，UA2,4,6,8，U1,2,3,4,5,6,7,8,9又UB1,4,6,8,9，B2,3,5,7解法二：借助韦恩图，如图所示，U1,2,3,4,5,6,7,8,9UB1,4,6,8,9，B2,3,5,7关键能力攻重难题型探究题型一补集的基本运算例1(1)已知全集为U，集合A1,3,5,7，UA2,4,6，UB1,4,6，则集合B_2,3,5,7_(2)已知全集Ux|x5，集合A
4、x|3x5，则UA_x|x3，或x5_分析(1)先结合条件，由补集的性质求出全集U，再由补集的定义求出集合B，也可借助Venn图求解(2)利用补集的定义，借助于数轴的直观作用求解解析(1)A1,3,5,7，UA2,4,6，U1,2,3,4,5,6,7又UB1,4,6，B2,3,5,7(2)将全集U和集合A分别表示在数轴上，如图所示由补集的定义可知UAx|x3，或x5归纳提升求集合的补集的方法1定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解2Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集3数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题【对点练习】 (1)设全集UxN
5、|x2，集合AxN|x25，则UA(B)AB2C5 D2,5(2)已知全集Ux|1x5，Ax|1xa，若UAx|2x5，则a_2_解析(1)由题意知集合AxN|x，则UAxN|2x2，故选B(2)A(UA)U，且A(UA)，Ax|1x2，a2题型二交集、并集、补集的综合运算例2已知全集Ux|x4，集合Ax|2x3，Bx|3x2，求AB，(UA)B，A(UB)分析对于无限集，可以利用数轴，分别表示出全集U及集合A、B，先求出UA及UB，再求解解析如图，由图可得UAx|x2，或3x4如图，由图可得UBx|x3，或2x4如图，由图可得ABx|2x2，(UA)Bx|x2或3x4，A(UB)x|2x3归
6、纳提升求集合交、并、补运算的方法【对点练习】 (1)已知集合U1,2,3,4，A1,3，B1,3,4，则A(UB)_1,2,3_；(2)设UR，Ax|x0，Bx|x1，则A(UB)(B)Ax|0x1Bx|0x1Cx|x0 Dx|x1解析(1)UB2，A(UB)1,2,3(2)UR，Bx|x1，UBx|x1又Ax|x0，A(UB)x|0x1题型三与补集相关的参数值的求解例3(1)已知集合Ax|x2ax12b0和Bx|x2axb0，满足B(UA)2，A(UB)4，UR，求实数a，b的值；(2)已知集合Ax|2a2xa，Bx|1x2，且ARB，求a的取值范围解析(1)B(UA)2，2B，但2AA(U
7、B)4，4A，但4B解得a，b的值分别为，(2)RBx|x1或x2ARB，分A和A两种情况讨论若A，此时有2a2a，a2若A，则有或a1综上所述，a的取值范围为a|a1或a2归纳提升由集合的补集求解参数的方法(1)若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解(2)若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解【对点练习】 (1)设全集U2,3，a22a3，A|2a1|,2，UA5，则实数a的值为_2_(2)设UR，Ax|axb，若UAx|x3或x4，则ab_7_解析(1)UA5，5U，且5Aa22a35，解得a2或a4当a2时，|2a1|35，此时A3,2，U2,3,5，符合题意当
8、a4时，|2a1|9，此时A9,2，U2,3,5，不满足条件UA5，故a4舍去综上知a2(2)UR，Ax|axb，UAx|xa或xb又UAx|x3或x4，a3，b4，ab7误区警示忽视空集的特殊性例4已知AxR|x2或x3，BxR|ax2a1，若ABA，则实数a的取值范围为_a|a1或a3_错解ABA，BA，从而有或解得a3故实数a的取值范围是a3错因分析由并集的定义容易知道，对于任何一个集合A，都有AA，所以错解忽略了B时的情况正解ABA，BA当B时，有或解得a3当B时，由a2a1，得a1综上可知，实数a的取值范围是a|a1或a3，故填a|a1或a3方法点拨有两个独特的性质：(1)对于任意集
9、合A，皆有A；(2)对于任意集合A，皆有AA，因此，如果AB，就要考虑集合A或B可能是，如果ABA，就要考虑集合B可能是学科素养“正难则反”思想的应用“正难则反”策略是指当某一问题从正面解决较困难时，我们可以从其反面入手解决已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可运用“正难则反”策略先求UA，再由U(UA)A求A例5已知Ax|x22x80，Bx|x2axa2120若BAA，求实数a的取值集合分析要求BAA，可先求BAA时，a的取值集合，再求出该集合在实数集R中的补集即可解析若BAA，则BAAx|x22x802,4，集合B有以下三种情况：当B时，a24(a212)0，即a216，a4或a4；当B
10、是单元素集时，a24(a212)0，a4或a4若a4，则B2A；若a4，则B2A；当B2,4时，2,4是方程x2axa2120的两根，a2综上可得，BAA时，a的取值集合为a|a4或a2或a4BAA的实数a的取值集合为a|4a4且a2归纳提升补集作为一种思想方法给我们研究问题开辟了新思路，今后要有意识地去体会并运用在顺向思维受阻时，改用逆向思维，可能“柳暗花明”从这个意义上讲，补集思想具有转换研究对象的功能，这是转化思想的一种体现课堂检测固双基1(2021全国高考乙卷文科)已知全集U1,2,3,4,5，集合M1,2，N3,5，则U(MN)(A)A5B1,2C3,4 D1,2,3,4解析由题意可
11、得：MN1,2,3,4，则U(MN)5故选A2已知全集U1,2,3,4,5，M1,2，N2,5，则如图所示，阴影部分表示的集合是(D)A3,4,5 B1,3,4C1,2,5 D3,4解析阴影部分表示的集合是U(MN)3,43设全集UnN|1n10，A1,2,3,5,8，B1,3,5,7,9，则(UA)B_7,9_解析由题意，得U1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，故UA4,6,7,9,10，所以(UA)B7,94已知U1,2,3,4,5,6,7，A2,4,5，B1,3,5,7，求A(UB)，(UA)(UB)解析UA1,3,6,7，UB2,4,6，A(UB)2,4,52,4,62,4，(UA)(UB)1,3,6,72,4,665设UR，已知集合Ax|5x5，Bx|0x7，求：(1)AB；(2)AB；(3)A(UB)；(4)B(UA)解析(1)如图，ABx|0x5(2)如图ABx|5x7(3)如图，UBx|x0或x7，A(UB)x|x5或x7(4)如图，UAx|x5或x5，B(UA)x|5x7