1、2015-2016学年广西桂林市全州高中高二（下）4月月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1设i是虚数单位，则复数（1i）（1+2i）=（）A3+3iB1+3iC3+iD1+i2设全集U=1，2，3，4，5，6，A=1，2，B=2，3，4，则A（UB）=（）A1，2，5，6B1C2D1，2，3，43设p：x3，q：1x3，则p是q成立的（）A充分必要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件4在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）如图所示：若将运动员按成绩由好到差编为135号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间136
2、，151上的运动员人数为（）A3B4C5D65已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值是（）A1B2C5D16某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A8cm3B12cm3CD247设，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l，m，（）RA若l，则B若，则lmC若l，则D若，则lmb8如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）cABCD19阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）JA2B3C4D5w10直线3x+4y=b与圆x2+y22x
3、2y+1=0相切，则b=（）JA2或12B2或12C2或12D2或12w11关于函数，有下列四个命题：o其最小正周期为；2其图象由y=2sin3x向左平移个单位而得到；C其表达式可以写成；f在上为单调递增函数；则其中真命题为（）7ABCDg12函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（）mAa0，b0，c0，d0Ba0，b0，c0，d0WCa0，b0，c0，d0Da0，b0，c0，d02二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）813已知向量，|=3，则=e14甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，A甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城
4、市；/乙说：我没去过C城市；A丙说：我们三人去过同一城市；=由此可判断乙去过的城市为=15已知a0，b0，ab=8，则当a的值为时，log2alog2（2b）取得最大值16过双曲线C：（a0，b0）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P若点P的横坐标为2a，则C的离心率为三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17设函数f（x）=|2x1|+x+3，（1）解不等式f（x）5； （2）求函数y=f（x）的最小值18等差数列an中，a2=4，a4+a7=15（）求数列an的通项公式；（）设bn=2+n，求b1+b2+b3+b10的值19在ABC中，已知A
5、B=2，AC=3，A=60（1）求BC的长；（2）求sin2C的值20某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如表所示：喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生602080北方学生101020合计7030100（）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率附：X2=P（x2k）0.1000.0500.010k2.7063.8416.63521椭圆C： =1，（ab0）的离心率，点（2，）在C上（
6、1）求椭圆C的方程；（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值22已知函数f（x）=lnx（）求函数f（x）的单调增区间；（）证明；当x1时，f（x）x1；（）确定实数k的所有可能取值，使得存在x01，当x（1，x0）时，恒有f（x）k（x1）2015-2016学年广西桂林市全州高中高二（下）4月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1设i是虚数单位，则复数（1i）（1+2i）=（）4447834A3+3iB1+3iC3+iD1+i【考点】复数代数形式的乘除运算
7、【分析】直接利用复数的多项式乘法展开求解即可【解答】解：复数（1i）（1+2i）=1+2i+2i=3+i故选：C2设全集U=1，2，3，4，5，6，A=1，2，B=2，3，4，则A（UB）=（）A1，2，5，6B1C2D1，2，3，4【考点】交、并、补集的混合运算【分析】进行补集、交集的运算即可【解答】解：RB=1，5，6；A（RB）=1，21，5，6=1故选：B3设p：x3，q：1x3，则p是q成立的（）A充分必要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】判断必要条件与充分条件，推出结果即可【解答】解：设p：x3，q：1x3，
8、则p成立，不一定有q成立，但是q成立，必有p成立，所以p是q成立的必要不充分条件故选：C4在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）如图所示：若将运动员按成绩由好到差编为135号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间136，151上的运动员人数为（）A3B4C5D6【考点】系统抽样方法【分析】对各数据分层为三个区间，然后根据系统抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为，然后各层按照此比例抽取【解答】解：由已知，将个数据分为三个层次是130，135，138，151，152，153，根据系统抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为，所以成绩在区间136，151中共有25名运动员，抽取人
9、数为25=5；故选C5已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值是（）A1B2C5D1【考点】简单线性规划【分析】首先画出平面区域，z=2x+y的最大值就是y=2x+z在y轴的截距的最大值【解答】解：由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线y=2x+z经过A时使得z最大，由得到A（1，1），所以z的最大值为21+1=1；故选：A6某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A8cm3B12cm3CD【考点】由三视图求面积、体积【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可【解答】解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正
10、方形高为2的正四棱锥，所求几何体的体积为：23+222=故选：C7设，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l，m，（）A若l，则B若，则lmC若l，则D若，则lm【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】A根据线面垂直的判定定理得出A正确；B根据面面垂直的性质判断B错误；C根据面面平行的判断定理得出C错误；D根据面面平行的性质判断D错误【解答】解：对于A，l，且l，根据线面垂直的判定定理，得，A正确；对于B，当，l，m时，l与m可能平行，也可能垂直，B错误；对于C，当l，且l时，与可能平行，也可能相交，C错误；对于D，当，且l，m时，l与m可能平行，也可能异面，D错误故选：A8如果
11、3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）ABCD【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】一一列举出所有的基本事件，再找到勾股数，根据概率公式计算即可【解答】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5）（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种，其中只有（3，4，5）为勾股数，故这3个数构成一组勾股数的概率为故选：C9阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则
12、输出i的值为（）A2B3C4D5【考点】循环结构【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当S=0时满足条件S1，退出循环，输出i的值为4【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=10，i=0i=1，S=94447834不满足条件S1，i=2，S=7不满足条件S1，i=3，S=4不满足条件S1，i=4，S=0满足条件S1，退出循环，输出i的值为4故选：C10直线3x+4y=b与圆x2+y22x2y+1=0相切，则b=（）A2或12B2或12C2或12D2或12【考点】圆的切线方程【分析】化圆的一般式方程为标准式，求出圆心坐标和半径，由圆心到直线的距离等于圆的半径列式求得b值【解答
13、】解：由圆x2+y22x2y+1=0，化为标准方程为（x1）2+（y1）2=1，圆心坐标为（1，1），半径为1，直线3x+4y=b与圆x2+y22x2y+1=0相切，圆心（1，1）到直线3x+4yb=0的距离等于圆的半径，即，解得：b=2或b=12故选：D11关于函数，有下列四个命题：其最小正周期为；其图象由y=2sin3x向左平移个单位而得到；其表达式可以写成；在上为单调递增函数；则其中真命题为（）ABCD【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的对称性【分析】本题给出函数的解析式，根据函数的解析式及三角函数的性质对四个命题进行判断找出正确命题【解答】解
14、：函数，其最小正周期为；是正确命题，由公式可求得最小正周期为，其图象由y=2sin3x向左平移个单位而得到，不是正确命题，y=2sin3x向左平移个单位得到y=2sin3（x+）=，故错误；其表达式可以写成是正确命题，因为；在上为单调递增函数是正确命题，因为令，解得，当k=0时，恰是；综上是正确命题，故选C12函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（）Aa0，b0，c0，d0Ba0，b0，c0，d0Ca0，b0，c0，d0Da0，b0，c0，d0【考点】函数的图象【分析】根据函数的图象和性质，利用排除法进行判断即可【解答】解：f（0）=d0，排除D，当x+时，
15、y+，a0，排除C，函数的导数f（x）=3ax2+2bx+c，则f（x）=0有两个不同的正实根，则x1+x2=0且x1x2=0，（a0），b0，c0，方法2：f（x）=3ax2+2bx+c，由图象知当当xx1时函数递增，当x1xx2时函数递减，则f（x）对应的图象开口向上，则a0，且x1+x2=0且x1x2=0，（a0），b0，c0，故选：A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知向量，|=3，则=9【考点】平面向量数量积的运算【分析】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案【解答】解：由，得=0，即（）=0，|=3，故答案为：914甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三
16、个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为A【考点】进行简单的合情推理【分析】可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论【解答】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A故答案为：A15已知a0，b0，ab=8，则当a的值为4时，log2alog2（2b）取得最大值【考点】复合函数的单调性【分析】由条件可得a1，再利用
17、基本不等式，求得当a=4时，log2alog2（2b）取得最大值，从而得出结论【解答】解：由题意可得当log2alog2（2b）最大时，log2a和log2（2b）都是正数，故有a1再利用基本不等式可得log2alog2（2b）=4，当且仅当a=2b=4时，取等号，即当a=4时，log2alog2（2b）取得最大值，故答案为：416过双曲线C：（a0，b0）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P若点P的横坐标为2a，则C的离心率为2+【考点】双曲线的简单性质【分析】求出P的坐标，可得直线的斜率，利用条件建立方程，即可得出结论【解答】解：x=2a时，代入双曲线方程可得y=b，取P（2a，
18、b），双曲线C：（a0，b0）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线的斜率为，=e=2+故答案为：2+三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）444783417设函数f（x）=|2x1|+x+3，（1）解不等式f（x）5； （2）求函数y=f（x）的最小值【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式【分析】（1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；（2）求出f（x）的单调性，从而求出f（x）的最小值即可【解答】解：（1）f（x）5，即|2x1|+x+35，故或，解得：1x1，故不等式的解集是x|1x1；（2）f（x）=，f（x）在（，）递减，在（，
19、+）递增，f（x）最小值=f（）=18等差数列an中，a2=4，a4+a7=15（）求数列an的通项公式；（）设bn=2+n，求b1+b2+b3+b10的值【考点】等差数列的性质【分析】（）建立方程组求出首项与公差，即可求数列an的通项公式；（）bn=2+n=2n+n，利用分组求和求b1+b2+b3+b10的值【解答】解：（）设公差为d，则，解得，所以an=3+（n1）=n+2；（）bn=2+n=2n+n，所以b1+b2+b3+b10=（2+1）+（22+2）+=（2+22+210）+（1+2+10）=+=210119在ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60（1）求BC的长；（2）求sin
20、2C的值【考点】余弦定理的应用；二倍角的正弦【分析】（1）直接利用余弦定理求解即可（2）利用正弦定理求出C的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可【解答】解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC22ABACcosA=4+9223=7，所以BC=（2）由正弦定理可得：，则sinC=，ABBC，C为锐角，则cosC=因此sin2C=2sinCcosC=2=20某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如表所示：喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生602080北方学生101020合计7030100（）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用
21、甜品的饮食习惯方面有差异”；（）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率附：X2=P（x2k）0.1000.0500.010k2.7063.8416.635【考点】独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式【分析】（）根据表中数据，利用公式，即可得出结论；（）利用古典概型概率公式，即可求解【解答】解：（）由题意，X2=4.7623.841，有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（）从这5名学生中随机抽取3人，共有=10种情况，有2名喜欢甜品，有=3种情况，至多有1人喜欢甜品的概率2
22、1椭圆C： =1，（ab0）的离心率，点（2，）在C上（1）求椭圆C的方程；（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【分析】（1）利用椭圆的离心率，以及椭圆经过的点，求解椭圆的几何量，然后得到椭圆的方程（2）设直线l：y=kx+b，（k0，b0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），联立直线方程与椭圆方程，通过韦达定理求解KOM，然后推出直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值【解答】解：（1）椭圆C： =1，（ab0）的离心率，点（2，）在C上，可
23、得，解得a2=8，b2=4，所求椭圆C方程为：（2）设直线l：y=kx+b，（k0，b0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），把直线y=kx+b代入可得（2k2+1）x2+4kbx+2b28=0，故xM=，yM=kxM+b=，于是在OM的斜率为：KOM=，即KOMk=直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值22已知函数f（x）=lnx（）求函数f（x）的单调增区间；（）证明；当x1时，f（x）x1；（）确定实数k的所有可能取值，使得存在x01，当x（1，x0）时，恒有f（x）k（x1）【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性【分析】（）求导数，利用导数
24、大于0，可求函数f（x）的单调增区间；（）令F（x）=f（x）（x1），证明F（x）在1，+）上单调递减，可得结论；（）分类讨论，令G（x）=f（x）k（x1）（x0），利用函数的单调性，可得实数k的所有可能取值【解答】解：（）f（x）=lnx，f（x）=0（x0），0x，函数f（x）的单调增区间是（0，）；4447834（）令F（x）=f（x）（x1），则F（x）=当x1时，F（x）0，F（x）在1，+）上单调递减，x1时，F（x）F（1）=0，即当x1时，f（x）x1；（）由（）知，k=1时，不存在x01满足题意；当k1时，对于x1，有f（x）x1k（x1），则f（x）k（x1），从而不存在x01满足题意；当k1时，令G（x）=f（x）k（x1）（x0），则G（x）=0，可得x1=0，x2=1，当x（1，x2）时，G（x）0，故G（x）在（1，x2）上单调递增，从而x（1，x2）时，G（x）G（1）=0，即f（x）k（x1），综上，k的取值范围为（，1）2016年10月29日