1、全国各地市2012年模拟试题分类解析汇编第4部分：导数（2）【山东省日照市2012届高三12月月考理】（2）设函数，则在处的切线斜率为（A）0（B）-1（C）3（D）-6【答案】D 解析：在x=0处的切线斜率为【山东省日照市2012届高三12月月考理】（8）由直线所围成的封闭图形的面积为（A）（B）1（C）（D）【答案】D 解析：封闭图形的面积为：。【山东省日照市2012届高三12月月考理】（22）（本小题满分14分）已知定义在R上的二次函数满足，且的最小值为0，函数，又函数。（I）求的单调区间；（II）当时，若，求的最小值；（III）若二次函数图象过（4，2）点，对于给定的函数图象上的点A（
2、），当时，探求函数图象上是否存在点B（）（），使A、B连线平行于x轴，并说明理由。（参考数据：e=2.71828）【答案】（22）解：（I）可得又在x=0时取得最小值0，令当x变化时，的变化情况如下表：（0，）（，）0增函数极大值减函数所以，的单调递增区间是（0，），的单调递减区间是（，）。5分（II）时，1， 时，的最小值为与中的较小者. 7分又时，的最小值； 当时，的最小值 9分（III）证明：若二次函数图象过（4，2）点，则，所以 令 由（I）知在（0，2）内单调递增， 故11分 取则 所以存在 即存在所以函数图象上存在点B（）（），使A、B连线平行于x轴. 14分（说明：的取法不唯一，
3、只要满足2，且即可）【山东省枣庄市2012届高三上学期期末理】21.（本题满分12分）已知函数（1）求函数的极值点；（2）若直线过点（0，1），并且与曲线相切，求直线的方程；（3）设函数，其中，求函数在上的最小值.（其中e为自然对数的底数）【答案】21. 解：（1）0.1分 而0lnx+10000 所以在上单调递减，在上单调递增.3分 所以是函数的极小值点，极大值点不存在.4分（2）设切点坐标为，则切线的斜率为 所以切线的方程为5分 又切线过点，所以有 解得 所以直线的方程为7分 （3），则 0000 所以在上单调递减，在上单调递增.8分 当即时，在上单调递增，所以在上的最小值为9分当1e，即
4、1a2时，在上单调递减，在上单调递增.在上的最小值为10分当即时，在上单调递减，所以在上的最小值为11分综上，当时，的最小值为0；当1a2时，的最小值为；当时，的最小值为12分【2012山东青岛市期末文】已知函数， .（）如果函数在上是单调函数，求的取值范围；（）是否存在正实数，使得函数在区间内有两个不同的零点？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由【解析】（）当时，在上是单调增函数，符合题意1分 当时，的对称轴方程为，由于在上是单调函数，所以，解得或，综上，的取值范围是，或 4分（），因在区间()内有两个不同的零点,所以，即方程在区间()内有两个不同的实根. 5分设 ， 7分 令，因
5、为为正数，解得或（舍） 当时, , 是减函数； 当时, ，是增函数. 8分为满足题意，只需在()内有两个不相等的零点, 故 解得 12分【2012吉林市期末质检文】设函数（）当时，求曲线在处的切线方程；（）当时，求函数的单调区间；（）在（）的条件下，设函数，若对于1，2，0，1，使成立，求实数b的取值范围. 【解析】函数的定义域为， （2分）（）当时， ， 在处的切线方程为 （5分）（） （6分）当，或时，当时，故当时，函数的单调递增区间为；单调递减区间为，. （8分）（）当时，由（）可知函数在上为增函数，函数在1，2上的最小值为 （9分）若对于1，2，使成立在上的最小值不大于在上的最小值（*
6、） （10分）又，当时，在上为增函数，与（*）矛盾当时，由及得，当时，在上为减函数，此时 （11分）综上，的取值范围是 （12分）【2012 广东佛山市质检文】设,函数.（1）讨论函数的单调区间和极值;（2）已知和是函数的两个不同的零点,求的值并证明:.【解析】在区间上,. 2分若,则,是区间上的增函数,无极值； 4分若,令得: .在区间上, ,函数是增函数;在区间上, ,函数是减函数;在区间上, 的极大值为.综上所述，当时,的递增区间,无极值； 7分当时，的是递增区间，递减区间是，函数的极大值为. 9分(2) ，解得:. 10分. 11分又, 13分由(1)函数在递减,故函数在区间有唯一零点
7、,因此. 14分【2012河南郑州市质检文】设函数.（）当时，求函数的单调区间；（）设函数求证：当.【解析】（I）当p =1时，其定义域为.所以. 2分由得，所以的单调增区间为；单调减区间为.5分（II）由函数,得 7分由（I）知，当p =1时，即不等式成立. 分所以当时，即g(x)在上单调递减，从而满足题意. 12分【2012北京海淀区期末文】已知函数，其中是常数.（）当时，求在点处的切线方程；（）求在区间上的最小值.【解析】（）由可得 . 2分当时, ,. 4分所以 曲线在点处的切线方程为，即. 6分 （）令，解得或. 8分当，即时，在区间上，所以是上的增函数.所以的最小值为; 10分当，
8、即时, 随的变化情况如下表 由上表可知函数的最小值为. 13分【2012泉州四校二次联考理】（本小题满分13分）设，其中为正实数.（1）当时，求的极值点；（2）若为上的单调函数，求的取值范围.【解】，2分（1）当时，若，则，00递增极大值递减极小值递增是极大值点， 是极小值点；6分（2）记，则，为上的单调函数，则在上不变号，或对恒成立，10分由或或， 的取值范围是或. 13分【2012厦门期末质检理】（本小题满分13分）已知函数f (x)ax2 bxl( a, bR, a0 )，函数f (x)有且只有一个零点，且f (-1)00. （）求实数a, b的值；（）当x2,2时，g( x)= f (
9、x)不是单调函数，求实数k的取值范围. 【2012厦门期末质检理】（本小题满分14分）已知函数f(x)ax(aR).() 写出函数yf(x)的图象恒过的定点坐标； ()直线L为函数y(x)的图象上任意一点P（x0，y0）处的切线（P为切点），如果函数y(x)图象上所有的点（点P除外）总在直线L的同侧，则称函数y(x)为“单侧函数”.（i）当a=判断函数yf(x)是否为“单侧函数”，若是，请加以证明，若不是，请说明理由.（i i）求证：当x(0，)时)，xln(x1)1. ()恒过定点（0,1）() （i）当a=判断函数yf(x) 的图象上任意一点P（x0，y0）处的切线是,令=，在上减，在上增
10、，所以，所以，所以yf(x)为“单侧函数”。（i i）令，x(0，)，所以在上增，所以，【2012粤西北九校联考理】（本小题满分14分）已知函数.（）若，试确定函数的单调区间；（）若且对任意，恒成立，试确定实数的取值范围；（）设函数，求证：.【解】（），令，解得当时，在单调递增；当时，在单调递减.4分 （）为偶函数，恒成立等价于对恒成立解法1:当时，令，解得（1）当，即时，在减，在增，解得，（2）当，即时，在上单调递增，符合，综上，. 9分 解法2: 等价于对恒成立, 设则. 当时, ;当时, ; 时, 9分 （）。 14分 【2012韶关第一次调研理】(本小题满分14分)已知函数（，是不同时
11、为零的常数），其导函数为.（1）当时，若不等式对任意恒成立，求的取值范围；（2）求证：函数在内至少存在一个零点；（3）若函数为奇函数，且在处的切线垂直于直线，关于的方程在上有且只有一个实数根，求实数的取值范围.【解析】（1）解：解：（1）当时，分依题意即恒成立，解得所以b的取值范围是分（2）证明：因为，解法一：当时，符合题意. 分当时，令，则，令， 当时，在内有零点；分当时，在内有零点.当时，在内至少有一个零点.综上可知，函数在内至少有一个零点. 分解法二：，.因为a，b不同时为零，所以，故结论成立.（3）因为为奇函数，所以，所以，.又在处的切线垂直于直线，所以，即.分1在，上是单调递增函数，
12、在上是单调递减函数，由解得，法一:如图所示，作与的图像，若只有一个交点，则O-1yx当时，xy即，解得；-1xyOO-1t当时，解得；当时，显示不成立；-1txy当时，txOy即，解得；当时，yO解得；tx当时，.分综上t的取值范围是或或.分法二：由,.作与的图知交点横坐标为，当时，过图象上任意一点向左作平行于轴的直线与都只有唯一交点，当取其它任何值时都有两个或没有交点。所以当时，方程在上有且只有一个实数根.【2012海南嘉积中学期末理】（本题满分12分）设函数（）若函数在定义域上是单调函数，求的取值范围；（）若，证明对于任意的，不等式【答案】（I）解：要使在上为单调函数只须在上或恒成立，若，
13、在上有最大值只须则若，在上无最小值故满足的b不存在.由上得出当时，在上为单调函数.（II）时，设当时 函数在上为减函数 当时，恒成立 时，【2012黑龙江绥化市一模理】(本题满分12分)已知函数的图像为曲线C，函数的图像为直线。当，时，求的最大值。设直线与曲线C的交点横坐标分别为，且，求证：。【解】（1） a=2,b= -3, F(x)=-x+3,F(x)= -1=，令F(x)=0，则x=1, 2分当x(0,1)时，F（x）0,F(x)单调递增， 当x(1,+)时，F(x)0，F（x）单调递减， F(x)max=F(1)=2. 5分（2）不妨设x1x2，要证(x1+x2)g(x1+x2)2，
14、只需证(x1+x2)a(x1+x2)+b2，只需证a(x1+x2)+b，证a(x22-x12)+b(x2-x1),证ax22+bx2-(ax12+bx1), 7分 =ax1+b, =ax2+b, lnx1=ax12+bx1, lnx2=ax22+bx2,只需证lnx2-lnx1,即ln，即证(x2+x1)ln2(x2-x1)， 9分令H(x)=(x+x1)ln-2(x-x1),x(x1,+),H(x)=ln+-1,令G(x)=ln+-1,则G(x)= 0, G(x)在x(x1,+)单调递增,G(x)G(x1)=0,即H(x)0, H(x)在x(x1,+)单调递增,H(x)H(x1)=0，即H(
15、x)=(x+x1)ln-2(x-x1)0, 所以(x1+x2)g(x1+x2)0.12分【201 浙江瑞安期末质检理】（本题满分15分）设，函数.（）若，试求函数的导函数的极小值；（）若对任意的，存在，使得当时，都有，求实数的取值范围.【解】：（）当时，函数，则的导数，的导数. 2分显然，当时，；当时，从而在内递减，在内递增. 4分故导数的极小值为 6分（）解法1：对任意的，记函数，根据题意，存在，使得当时，.易得的导数，的导数9分若，因在上递增，故当时，0，于是在上递增，则当时，从而在上递增，故当时，与已知矛盾 11分若，注意到在上连续且递增，故存在，使得当，从而在上递减，于是当时，因此在上
16、递减，故当时，满足已知条件13分综上所述，对任意的，都有，即，亦即，再由的任意性，得，经检验不满足条件，所以15分解法2：由题意知，对任意的，存在，使得当时，都有成立，即成立，则存在，使得当时，成立，又，则存在，使得当时，为减函数，即当时使成立，又，故存在，使得当时为减函数，则当时成立，即，得.【2012延吉市质检理】（本小题满分12分）已知函数 （I）当的单调区间和极值； （II）若函数在1，4上是减函数，求实数a的取值范围. 解：（I）函数当2分 当x变化时，的变化情况如下：0+极小值 由上表可知，函数； 单调递增区间是 极小值是6分 （II）由7分 又函数为1，4上单调减函数， 则在1，4上恒成立，所以不等式在1，4上恒成立. 即在1，4上恒成立.10分 又在1，4为减函数， 所以 所以12分