1、第2课时解三角形的实际应用举例(15分钟30分)1.某船从A处向北偏东60方向航行2千米后到达B处,然后朝南偏西30的方向航行6千米到达C处,则A处与C处之间的距离为()A.千米B.2千米C.3千米D.6千米【解析】选B.设A处与C处之间的距离为x千米,由余弦定理可得x2=+62-226cos(60-30)=12,则x=2.【补偿训练】在相距4千米的A,B两点处测量目标C,若CAB=75,CBA=60,则A,C两点之间的距离是()A.4千米B.2千米C.2千米D.2千米【解析】选B.由于CAB=75,CBA=60,所以ACB=180-75-60=45,由正弦定理得=,即=,解得AC=2.2.某
2、建筑物上有一根长为20 m的旗杆,由地面上一点测得建筑物顶点的仰角为45,旗杆顶端的仰角为60,则此建筑物的高度最接近于()A.25 mB.27 mC.29 mD.31 m【解析】选B.设建筑物高度为h米,根据题意画出图形:由图可得AB=h,则tan 60=,解得h=10(+1)27.3.如图,已知A,B,C是一条直路上的三点,AB与BC各等于1 km,从三点分别望塔M,在A处看见塔在北偏东30方向,在B处看见塔在正东方向,在C处看见塔在南偏东60方向,则塔到直路ABC的最短距离为()A.B.C.1D.【解析】选B.由已知得AB=BC=1,AMB=60,CMB=30,所以CMA=90,所以AB
3、=BC=1=MB,AMB=60=A,所以AM=1,CM=,设AC边上的高为h,则塔到直路ABC的最短距离为h,所以AMCM=ACh,解得h=.4.甲、乙两楼相距20米,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30,则甲、乙两楼的高分别为米、米.【解析】如图,过点C作CMAB,垂足为依题意有甲楼的高度为AB=20tan 60=20(米),又CM=DB=20米,CAM=60,所以AM=CM=米,故乙楼的高度为CD=20-=(米).答案:205.如图,要测出山上石油钻井的井架BC的高,从山脚A测得AC=60 m,井架顶B的仰角45,井架底的仰角15,则井架的高BC为m.【解析】由题意得
4、BAC=45-15=30,ABC=45,且AC=60 m.在ABC中,由正弦定理得=,即=,解得BC=30.答案:306.一海轮以20海里/小时的速度向正东航行,它在A点时测得灯塔P在船的北偏东60方向上,2小时后船到达B点时测得灯塔P在船的北偏东45方向上.求:(1)船在B点时与灯塔P的距离;(2)已知以点P为圆心,55海里为半径的圆形水域内有暗礁,那么船继续向正东航行,有无触礁的危险?【解析】(1)如图:在ABP中,PAB=30,ABP=135,所以APB=15.由正弦定理得=,所以BP=20(+).(2)过P作PDAB,D为垂足.PD=BPsin 45=20+2055,故继续航行有触礁危
5、险.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.已知A,B两地距离为2,B,C两地距离为3,现测得ABC=,则A,C两地的距离为()A.B.C.D.【解析】选D.因为AB=2,BC=3,ABC=,所以由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC=4+9-223cos=19,即AC=.2.如图,在限速为90 km/h的公路AB旁有一测速站P,已知点P距测速区起点A的距离为0.08 km,距测速区终点B的距离为0.05 km,且APB=60,现测得某辆汽车从A点行驶到B点所用的时间为3 s,则此车的速度介于()A.6070 km/hB.7080 km/hC.8090 km
6、/hD.90100 km/h【解析】选C.由余弦定理得AB=0.07,则此车的速度为=712=84 km/h.3.(2020天津高一检测)雕塑成了大学环境不可分割的一部分,有些甚至能成为这个大学的象征,在中国科学技术大学校园中就有一座郭沫若的雕像.雕像由像体AD和底座CD两部分组成.如图,在RtABC中,ABC=70.5,在RtDBC中,DBC=45,且CD=2.3米,则像体AD的高度为()(最后结果精确到0.1米,参考数据:sin 70.50.943,cos 70.50.334,tan 70.52.824)A.4.0米B.4.2米C.4.3米D.4.4米【解析】选B.在RtBCD中,BC=C
7、D=2.3(米),在RtABC中,AC=BCtanABC2.32.8246.5(米),所以AD=AC-CD=6.5-2.3=4.2(米).4.刘徽是我国魏晋时期著名的数学家,他编著的海岛算经中有一问题:“今有望海岛,立两表齐,高三丈,前后相去千步,令后表与前表相直.从前表却行一百二十三步,人目著地取望岛峰,与表末参合.从后表却行一百二十七步,人目著地取望岛峰,亦与表末参合.问岛高几何?”意思是:为了测量海岛高度,立了两根表,高均为5步,前后相距1 000步,令后表与前表在同一直线上,从前表退行123步,人恰观测到岛峰,从后表退行127步,也恰观测到岛峰,则岛峰的高度为(注:3丈=5步,1里=3
8、00步)()A.4里55步B.3里125步C.7里125步D.6里55步【解析】选A.如图.由题意BC=DE=5步,设AH=h步,BF=123,DG=127,=,HF=,由题意,(HG-127)-(HF-123)=1 000,即-4=1 000,解得h=1 255步=4里55步.【误区警示】不能正确作出图示是本题最易犯的错误.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.某人在A处向正东方向走x km后到达B处,他向右转150,然后朝新方向走3 km到达C处,结果他离出发点恰好 km,那么x的可取值为()A.B.2C.3D.3【解析】选AB.由题意得
9、ABC=30,由余弦定理得cos 30=,解得x=2或x=.6.数书九章是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作,全书十八卷共八十一个问题,分为九类,每类九个问题,数书九章中记录了秦九昭的许多创造性成就,其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a,b,c求面积的公式,这与古希腊的海伦公式完全等价,其求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实,一为从隅,开平方得积.”若把以上这段文字写成公式,即S=.现有ABC满足sin Asin Bsin C=23,且ABC的面积SABC=6,则运用上述公式判断下列命题正确的是()A.ABC周长为10+2B.AB
10、C三个内角A,C,B满足A+B=2CC.ABC外接圆直径为D.ABC中线CD的长为3【解析】选ABC.由正弦定理可得:abc=23,设a=2m,b=3m,c=m,所以S=m2=6,解得:m=2,所以ABC的周长为a+b+c=4+6+2=10+2,A正确;由余弦定理得:cos C=,所以C=,因为A+B+C=,所以A+B=,即A+B=2C,B正确;由正弦定理知外接圆直径为2R=,C正确;由中线定理得a2+b2=c2+2CD2,即CD2=19,所以CD=,D错误.【光速解题】本题B中可以直接令a=2,b=3,c=,从而可快速判断.三、填空题(每小题5分,共10分)7.如图,一栋建筑物AB高(30-
11、10)m,在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD.在它们之间的地面M点(B,M,D三点共线)测得对楼顶A、塔顶C的仰角分别是15和60,在楼顶A处测得对塔顶C的仰角为30,则通信塔CD的高为m.【解析】由题意可知CAM=45,AMC=105,由三角形内角和定理可知ACM=30.在RtABM中,sinAMB=AM=.在ACM中,由正弦定理可知:=,所以CM=.在RtDCM中,sinCMD=,所以CD=CMsin 60=sin 60=60.答案:60【补偿训练】如图,为了测量山坡上灯塔CD的高度,某人从高为h=40的楼AB的底部A处和楼顶B处分别测得仰角为=60,=30,若山坡高为a=32,则灯塔高
12、度是.【解析】如图,BNDC于N,DC延长线交地面于M,则DN=BNtan ,DM=AMtan ,而BN=AM,所以BNtan -BNtan =h,即BN(tan 60-tan 30)=40,BN=20,所以DC=AMtan 60-CM=BNtan 60-32=20-32=28.答案:288.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国拥有世界上最深的海洋蓝洞,若要测量如图所示的蓝洞的口径A,B两点间的距离,现在珊瑚群岛上取两点C,D,测得CD=80,ADB=135,BDC=DCA=15,ACB=120,则A,B两点的距离为.【解析】由已知,ACD中,A
13、CD=15,ADC=150,所以DAC=15,由正弦定理得AC=40(+).BCD中,BDC=15,BCD=135,所以DBC=30,由正弦定理,=,所以BC=40(-).在ABC中,由余弦定理AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB=1 600(8+4)+1 600(8-4)+21600(+)(-)=1 60016+1 6004=160020=32 000,故AB=80,即A,B间的距离为80.答案:80四、解答题(每小题10分,共20分)9.某船在海面A处测得灯塔C在北偏东30方向,与A相距10海里,测得灯塔B在北偏西75方向,与A相距15海里,船由A向正北方向航行到D处,测得灯塔B
14、在南偏西60方向,这时灯塔C与D相距多少海里?C在D的什么方向?【解析】作AEBD于E,CFAD于F,由题意得AB=15海里,AC=10海里,BAD=75,ADB=60,则B=45,所以AE=AB=15海里,因为ADB=60,所以DAE=30,所以AD=30海里.因为DAC=30,AC=10海里,所以CF=AC=5海里,AF=15海里,所以DF=15海里,又FC=5海里,所以CD=10海里,则CDF=30,所以灯塔C与D相距10海里,C在D南偏东30方向.10.如图,甲船以每小时30n mile的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于A1处时,乙船位于甲船的北偏西105方向的
15、B1处,此时两船相距20 n mile,当甲船航行20分钟到达A2处时,乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处,此时两船相距10 n mile,问乙船每小时航行多少海里?【解析】如图,连接A1B2,由题意知,A2B2=10 n mile,A1A2=30=10 n mile,所以A1A2=A2B2.又A1A2B2=180-120=60,所以A1A2B2是等边三角形.所以A1B2=A1A2=10 n mile.由题意知A1B1=20 n mile,B1A1B2=105-60=45,在A1B2B1中,由余弦定理得B1=A1+A1-2A1B1A1B2cos 45=202+-22010=200,所以B
16、1B2=10 n mile.因此,乙船速度的大小为60=30(n mile/h).答:乙船每小时航行30 n mile.根据国际海洋安全公约规定:两国军舰正常状况下(联合军演除外)在公海上的安全距离为20 mile(即距离不得小于20 mile),否则违反了国际海洋安全规定.如图,在某公海区域有两条相交成60的直航线XX,YY,交点是O,现有两国的军舰甲,乙分别在OX,OY上的A,B处,起初OA=30 mile,OB=10 mile,后来军舰甲沿XX的方向,乙军舰沿YY的方向,同时以40 mile/h的速度航行.(1)起初两军舰的距离为多少?(2)试判断这两艘军舰是否会违反国际海洋安全规定?并
17、说明理由.【解析】(1)连接AB,在ABO中,由余弦定理得AB=10.所以,起初两军舰的距离为10 mile.(2)设t小时后,甲、乙两军舰分别运动到C,D,连接CD,当0时,CD=10,所以经过t小时后,甲、乙两军舰距离CD=10.因为CD=10=10,又t0,所以当t=时,甲、乙两军舰距离最小为20 mile.又2020,所以甲、乙这两艘军舰不会违反国际海洋安全规定.【补偿训练】为保障高考的公平性,高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪,要求在考点周围1千米处不能收到手机信号,检查员抽查某市一考点,在考点正西千米有一条北偏东60方向的公路,在此处检查员用手机接通电话,以每小时12千米的速度沿公路
18、行驶,问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号,并至少持续多长时间该考点才算合格?【解析】如图所示,考点为A,检查开始处为B.设检查员行驶到公路上C,D两点之间时收不到信号,即公路上C,D两点到考点的距离均为1千米.在ABC中,AB=千米,AC=1千米,ABC=30,由正弦定理得sinACB=AB=,所以ACB=120(ACB=60不合题意),所以BAC=30,所以BC=AC=1千米.在ACD中,AC=AD=1千米,ACD=60,所以ACD为等边三角形,所以CD=1千米.因为60=5,所以在BC上需5分钟,CD上需5分钟.所以最长需要5分钟检查员开始收不到信号,并持续至少5分钟才算合格.关闭Word文档返回原板块
