1、要点导学各个击破数列与新背景、新定义的综合问题(2014东莞一模)如图,有一个形如六边形的点阵,它的中心是1个点(算第1层),第2层每边有2个点,第3层每边有3个点,依次类推.(1) 第n(n2)层的点数为;(2) 如果一个六边形点阵共有169个点,那么它一共有层.(例1)思维引导(1) 可将第1,2,3,4,5层的点数一一列出,组成数列,然后判断数列的特点,猜出结论;(2) 根据(1)的结果求解.答案(1) 6(n-1)(2) 8解析(1) 第1层的点数为1,第2层的点数为6,第3层的点数为12,第4层的点数为18,第5层的点数为24,它们组成数列:1,6,12,18,24,分别记为a1,a
2、2,a3,a4,a5.因为a3-a2=6,a4-a3=6,a5-a4=6,猜想an-an-1=6(n2),所以当n2时,由等差数列的通项公式可知an=a2+(n-2)d=6+(n-2)6=6(n-1),即an=6(n-1)(n2).(2) 由(1)得+1=169,解得n=8.精要点评(1) 对于数列与新背景、新定义的综合问题,此类问题出题背景广、新颖,解题的关键是读懂题意,有效地将信息转化,能较好地考查学生分析、解决问题的能力和知识的迁移能力.一般以客观题或解答题的形式出现,属于低、中档题.(2) 解决数列与新背景、新定义的综合问题,可通过对新数表、图象、新定义的分析、探究,将问题转化为等差(
3、比)数列的问题.根据图中的5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n个图中有个点.(变式)答案n2-n+1解析序号n决定了每个图的分支数,而第n个分支有(n-1)个点,中心再加1点,故有n(n-1)+1=n2-n+1个点.数列与函数、不等式等综合问题若数列an的前n项和记为Sn,a1=t,点(Sn,an+1)在直线y=2x+1上,nN*.(1) 当实数t为何值时,数列an是等比数列?(2) 在(1) 的结论下,设bn=log3an+1,Tn是数列的前n项和,求T2 015的值.思维引导解答本题需要掌握以下几个关键的知识点:(1) 利用前n项和与通项的关系;(2) 用裂项相消法求数列的前n项和
4、.解答(1) 由题意得an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n2),两式相减,得an+1-an=2an,即an+1=3an(n2),所以当n2时,an是等比数列.要使an是等比数列,则需=3,从而得出t=1.(2) 由(1)知an=3n-1,bn=log3an+1=n,=-,T2 015=+=+=.精要点评本题以函数为背景,考查数列前n项和与通项的关系、等比数列、对数知识、裂项求前n项和等问题,内容较综合,但难度一般.(2014扬州模拟)设函数f(x)=(x0),数列an满足a1=1,an=f(nN*,n2),求数列an的通项公式.解答因为an=f=an-1+(nN*,且n2),所以an
5、-an-1=(n2).因为a1=1,所以数列an是以1为首项、为公差的等差数列,所以an=.数列型的实际应用问题某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.(1) 用d表示a1,a2,并写出an+1与an的关系式;(2) 若公司希望经过n(n3)年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年上缴资金d的值(用n表示).解答(1)由题意得a1=2 00
6、0(1+50%)-d=3 000-d,a2=a1(1+50%)-d=a1-d,an+1=an(1+50%)-d=an-d.(2) 由(1)得an=an-1-d=an-2-d-d=-d=a1-d,整理得an=(3 000-d)-2d=(3 000-3d)+2d.由题意知an=4 000,所以(3 000-3d)+2d=4 000,解得d=.故该企业每年上缴资金d的值为时,经过n(n3)年企业的剩余资金为4 000元.精要点评与一般应用题类似,审清题意是解决此类问题的前提.本题中出现了等差数列与等比数列的常见问题,即求通项公式,分清类别是解题的关键.题中还出现了数列的项的值与某数值的大小比较等,也
7、属常规问题,仅需常规处理即可.(2014北京房山区模拟)2010年,我国南方省市遭遇旱涝灾害,为防洪抗旱,某地区大面积植树造林.如图,在区域(x,y)|x0,y0内植树,第一棵树在点A1(0,1),第二棵树在点B1(1,1),第三棵树在点C1(1,0),第四棵树在点C2(2,0),接着按图中箭头方向,每隔一个单位种一棵树,那么第2014棵树所在的点的坐标是.(变式)答案(10,44)解析OA1B1C1设为第一个正方形,种植3棵树,依次下去,第二个正方形种植5棵树,第三个正方形种植7棵树它们构成一个首项为3、公差为2的等差数列,所以前n项和Sn=3n+2=n2+2n,因为S43=1 935,S4
8、4=2 024,所以2 024-2014=10,根据图象知第2 014棵树所在的点的坐标是(10,44).1. 已知an为等差数列,若a1+a5+a9=2,则cos(a2+a8)的值为.答案-解析a1+a5+a9=3a5=2,则a5=,a2+a8=2a5=.所以cos(a2+a8)=cos=-.2. 某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n=.答案63. (2014盐城模拟)在数列an中,a1=0,-=1,设bn=,记Sn为数列bn的前n项和,则S99=.答案解析由题意可得,数列是以1为首项、1为公差的等差数列,所以=n,从而有an=,所以bn=-,所以数列bn的前99项的和S99=+=1-=.4. (2014湖北模拟)在ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若内角A,B,C依次成等差数列,且不等式-x2+6x-80的解集为x|ax0的解集为x|2x4,所以a=2,c=4,又角A,B,C依次成等差数列,所以B=,于是SABC=24sin=2.温馨提醒趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习(第83-84页).