1、2.3数学归纳法自主预习探新知情景引入从前有一位画家，为了测试他的三个徒弟对绘画奥妙的掌握程度，就把他们叫来，让他们用最少的笔墨，画出最多的马第一个徒弟在卷子上密密麻麻地画了一群马；第二个徒弟为了节省笔墨，只画出许多马头；第三个徒弟在纸上用笔勾画出两座山峰，再从山谷中走出一匹马，后面还有一匹只露出半截身子的马三张画稿交上去，评判结果是最后一幅画被认定为佳作，构思巧妙，笔墨经济，以少胜多！这第三张画稿只画了一匹半马，为何能胜过一群马呢？你知道其中蕴含的数学原理吗？新知导学数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(归纳奠基)证明当n取_第一个值n0(n0N*)_时命题成立(归纳递
2、推)假设_nk(kn0，kN*)时命题成立_，证明_当nk1时命题也成立_.预习自测1用数学归纳法证明12(2n1)(n1)(2n1)时，在验证n1成立时，左边所得的代数式是(C)A1B13C123D1234解析当n1时，2n12113，所以左边为123.故应选C2(2019玉溪模拟)已知n为正偶数，用数学归纳法证明12()时，若已假设nk(k2)为偶数时命题为真，则还需要用归纳假设再证n_时等式成立(B)Ank1Bnk2Cn2k2Dn2(k2)解析由数学归纳法的证明步骤可知，假设nk(k2)为偶数时命题为真，则还需要用归纳假设再证nk2，不是nk1，因为n是偶数，k1是奇数，故选B3用数学归
3、纳法证明不等式1成立时，起始值n至少应取为(B)A7B8C9D10解析12而1，故应选B4已知f(n)1(nN*)，计算得f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)，由此推测，当n2时，有_f(2n)_.解析自变量的取值依次为2,422,823,1624,3225，故为2n.右边分母全为2，分子依次为3,4,5,6,7，故右边为，即f(2n).互动探究攻重难互动探究解疑命题方向用数学归纳法证明等式典例1用数学归纳法证明：132522(2n1)2n12n(2n3)3(nN*)思路分析按照数学归纳法证题的步骤进行证明解析(1)当n1时，左边1，右边2(23)31，左边右边，所以等式成
4、立(2)假设当nk(kN*)时，等式成立，即132522(2k1)2k12k(2k3)3.则当nk1时，132522(2k1)2k1(2k1)2k2k(2k3)3(2k1)2k2k(4k2)32k12(k1)33，即当nk1时，等式成立由(1)(2)知，等式对任何nN*都成立规律总结用数学归纳法证明等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从nk到nk1等式两端的项是如何变化的，即增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明nk1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并向nk1时证明目标的表达式进行变形跟踪练习1_用数学归纳法证明：.(nN*)解析(1)当n1时，左边，右边
5、，左边右边，等式成立(2)假设当nk(kN*)时等式成立，即有，则当nk1时，即当nk1时等式成立由(1)(2)可得，对于任意的nN*等式都成立命题方向用数学归纳法证明不等式典例2用数学归纳法证明：12(n2)思路分析按照数学归纳法的步骤证明，由nk到nk1的推证过程可应用放缩技巧，使问题简单化证明1当n2时，12，命题成立2假设nk时命题成立，即12.当nk1时，12222命题成立由1、2知原不等式在n2时均成立规律总结用数学归纳法证明不等式和证明恒等式注意事项大致相同，需要注意的是：(1)在应用归纳假设证明过程中，方向不明确时，可采用分析法完成，经过分析找到推证的方向后，再用综合法、比较法
6、等其他方法证明(2)在推证“nk1时不等式也成立”的过程中，常常要将表达式作适当放缩变形，以便于应用归纳假设，变换出要证明的结论跟踪练习2_用数学归纳法证明：12(nN*)解析(1)当n1时，左边1，右边2.左边右边，不等式成立(2)假设当nk(k1且kN*)时，不等式成立，即12.则当nk1时，122，nN*)错解(1)当n3时，左边2226，右边2(221)6，等式成立(2)假设nk时，结论成立，即2222k12(2k11)，那么由等比数列的前n项和公式，得2222k12k2(2k1)所以当nk1时，等式也成立由(1)(2)可知，等式对任意n2，nN*都成立辨析错解中的第二步没用到归纳假设，直接使用了等比数列的求和公式由于未用归纳假设，造成使用数学归纳法失误正解(1)当n3时，左边2226，右边2(221)6，等式成立；(2)假设nk时，结论成立，即2222k12(2k11)，那么nk1时，2222k12k2(2k11)2k22k22(2k1)22(k1)11所以当nk1时，等式也成立由(1)(2)可知，等式对任意n2，nN*都成立点评在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可其中，第一步是递推的基础，验证nn0时结论成立的n0不一定为1，根据题目要求，有时可为2、3等；第二步是递推的依据，证明nk1时命题也成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法
