1、2.5 指数与指数函数基础知识 自主学习课时训练题型分类 深度剖析内容索引 基础知识 自主学习(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是_(a0，m，nN*，且n1).于是，在条件a0，m，nN*，且n1下，根式都可以写成分数指数幂的形式.正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定_(a0，m，nN*，且n1).0的正分数指数幂等于_；0的负分数指数幂.(2)有理数指数幂的运算性质：aras，(ar)s，(ab)r，其中a0，b0，r，sQ.1.分数指数幂 知识梳理 n ammnamna1mna0没有意义arsarsarbr2.指数函数的图象与性质 yax a1 0a0时，；当x
2、0时，；当x10y10y1增函数减函数1.指数函数图象画法的三个关键点 画指数函数yax(a0，且a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，(1，).2.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为cd1ab.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数yax(a0，且a1)的图象越高，底数越大.知识拓展 1a判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)思考辨析(1)n an(n a)na.()(2)分数指数幂可以理解为mn个 a 相乘.()mna(4)函数yax是R上的增函数
3、.()(5)函数(a1)的值域是(0，).()(6)函数y2x1是指数函数.()(3)(1)24(1)12 1.()2 1xya 考点自测 1.(2016临安中学期末)已知函数f(x)ax22的图象恒过定点A，则A的坐标为 A.(0,1)B.(2,3)C.(3,2)D.(2,2)由a01知，当x20，即x2时，f(2)3，即图象必过定点(2,3).答案 解析 2.已知 a(35)13，b(35)14，c(32)34，则a，b，c的大小关系是 A.cabB.abc C.bacD.cb(35)14(35)0，即 ab1，又 c(32)34(32)01，cba.3.计算：3213760814 4 2
4、232()3_.2原式2313 1234 214 2313 2.答案 解析 x0，x0，3x3，023x238，0823x8，函数y823x的值域为0,8).答案 解析 4.函数y823x(x0)的值域是_.0,8)题型分类 深度剖析题型一 指数幂的运算 例1 化简下列各式：(1)(0.064)2.523 33380；原式(641 000)15 52 23(278)13 1(410)3152()523 (32)313 1523210.解答 15 (2)a43 8a13 b4b23 23 aba23(a23 23 ba)a3 a25a3 a.原式a13 a13 32b13 3a13 2a13 2
5、b13 2b13 2a13 2b13a aa23 12a12 a13 15a13(a13 2b13)aa13 2b13a56a16a13 aa23 a2.解答(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：必须同底数幂相乘，指数才能相加；运算的先后顺序.(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.思维升华 跟踪训练1 化简(14)12 4ab130.11a3b312 _.85原式223a32 b3210a32 b32 21310185.答案 解析 题型二 指数函数的图象及应用 例
6、2(1)已知实数a，b满足等式2 017a2 018b，下列五个关系式：0ba；ab0；0ab；ba0；ab.其中不可能成立的关系式有 A.1个B.2个C.3个D.4个 答案 解析 如图，观察易知，a，b的关系为ab0或0ba或ab0.(2)已知函数f(x)|2x1|，abf(c)f(b)，则下列结论中，一定成立的是 A.a0，b0，c0B.a0 C.2a2cD.2a2c1.73B.0.610.62 C.0.80.11.250.2D.1.70.30.62.答案 解析(2)设函数 f(x)12x7，x0，x，x0，若 f(a)0，且a1)在区间1,1上的最大值是14，则a的值为_.13或 3答案
7、 解析(1)在利用指数函数性质解决相关综合问题时，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论.(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，要化归于指数函数来解.思维升华 跟踪训练3(1)已知函数f(x)的值域是8,1，则实数a的取值范围是 A.(，3B.3,0)C.3，1D.3 12x，ax0，x22x，0 x4答案 解析 (2)已知函数 f(x)2x12x，函数 g(x)fx，x0，fx，x0，则函数 g(x)的最小值是_.0当 x0 时，g(x)f(x)2x12x为单调增函数，当 xg(0)0，所以函数g(x)的最小值是0.答案 解析 指数函数
8、底数的讨论 现场纠错系列2与指数函数、对数函数的单调性有关的问题，要对底数进行讨论.典例(2016金华模拟)已知函数 yb2 2xxa(a，b 为常数，且 a0，a1)在区间32，0上有最大值 3，最小值52，则 a，b 的值分别为_.错解展示 现场纠错 纠错心得 课时训练1.(2016宁波模拟)设2x8y1,9y3x9，则xy的值为 A.18 B.21 C.24 D.27 2x8y123(y1)，x3y3，9y3x932y，x92y，解得x21，y6，xy27.答案 解析 123456789101112132.函数f(x)2|x1|的图象是|x1|0，f(x)1，排除C、D.又x1时，|f(
9、x)|min1，排除A.故选B.答案 解析 123456789101112133.已知a40.2，b0.40.2，c0.40.8，则 A.abcB.acb C.cabD.bca 答案 解析 由0.20.8，底数0.40.40.8，即bc.又a40.2401，b0.40.2b.综上，abc.123456789101112134.已知f(x)3xb(2x4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为 A.9,81B.3,9 C.1,9 D.1，)由f(x)过定点(2,1)可知b2，因为f(x)3x2在2,4上是增函数，所以f(x)minf(2)1，f(x)maxf(4)9.故选C.答案
10、解析 123456789101112135.(2015山东)若函数f(x)是奇函数，则使f(x)3成立的x的取值范围为 A.(，1)B.(1,0)C.(0,1)D.(1，)2x12xa答案 解析 12345678910111213*6.(2016富阳模拟)已知g(x)ax1，f(x)对 任 意x12,2，存在x22,2，使g(x1)f(x2)成立，则a的取值范围是 A.1，)B.1,1 C.(0,1 D.(，1 答案 解析 2x1，0 x2，x2，2x0，123456789101112137.设函数f(x)则使得f(x)2成立的x的取值范围是_.当x1时，由ex12，得x1ln 2，x1时恒成
11、立；当x1时，由x 2，得x8，1x8.综上，符合题意的x的取值范围是(，8.ex1，x0且a1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是_.(0，12)(数形结合法)由图象可知 02a1，0a12.12345678910111213答案 解析 9.(2016武汉模拟)已知 yf(x)是定义在 R 上的奇函数且当 x0 时，f(x)14x12x，则此函数的值域为_.14，1412345678910111213答案 解析 10.当x(，1时，不等式(m2m)4x2x0，3a4a1，解得 a1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1.12345678910111213*13.已知函数 f(x)14x 2x13(1x2).(1)若 32，求函数 f(x)的值域；12345678910111213解答(2)若函数f(x)的最小值是1，求实数的值.解答 12345678910111213