1、不等式一、不等式的有关概念1、不等式的定义：用数学符号“、”连接的两个数或代数式表示不等关系的式子叫不等式。不等式的定义所含的两个要点：(1)不等符号、或；(2)所表示的关系是不等关系。2、不等式的含义：不等式应读作“大于或者等于”，其含义是指“或者，或者”，等价于“不小于，即若或之中有一个正确，则正确。不等式中的文字语言与符号语言之间的转换：大于大于等于小于小于等于至少至多不少于不多于例1-1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)某隧道入口竖立着“限高米”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车的整体高度满足关系为。 ()(2)用不等式表示“与的差是非负数”为。 ()(3)不等式的含义是
2、指不小于。 ()(4)若或之中有一个正确，则正确。 ()【解析】(1)“限高米”即为“高度不超过米”。不超过用“”表示，故此说法正确。(2)“非负数”即为“不是负数”， ，故此说法错误。(3)不等式表示或，即不小于，故此说法是正确的。(4)不等式表示或，故若或中有一个正确，则一定正确。二、实数比较大小的依据与方法1、实数的两个特征(1)任意实数的平方不小于，即。(2)任意两个实数都可以比较大小，反之，可以比较大小的两个数一定是实数。2、实数比较大小的依据(1)如果是正数，那么；如果等于零，那么；如果是负数，那么。反之也成立，即；。(2)比较两个实数与的大小，需归结为判断它们的差的符号，至于差的
3、值是什么无关紧要。3、比较两数(式)大小的方法作差比较法作商比较法乘方比较法依据，若，则，若，则应用范围数(式)符号不明显，作差后可通过配方、因式分解等恒等变形手段将差化积或商的形式。同号两数比较大小或只是式之间比较大小。要比较的两数(式)中有根号。步骤作差变形定号下结论作商变形判断商值与的大小下结论乘方用作差比较法或作商比较法例2-1比较与的大小。【解析】，。变式2-1比较与的大小，其中。【解析】，。三、常用不等式的重要性质名称式子表达性质1(对称性)性质2(传递性)，性质3(可加性)推论1：推论2：，性质4(可乘性)，推论1：，推论2： ()推论3：()例3-1用不等号填空：(1)若，则
4、；(2)若，则 ；(3)若，则 ；(4)已知，则 。【解析】(1)当时，有，当时，有=，故应填“”；(2)，故应填“”；(3)，又，故应填“”；(4)，而，则，即，故应填“”。四、解一元二次不等式解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论。常用的分类方法有三种：1、按项的系数的符号分类，即，。例4-1解不等式：。【解析】当时，不等式为，解集为，当时，恒有两个实根，。当时，解集为；当时，解集为。2、按判别式的符号分类，即，。例4-2解不等式。分析：本题中由于的系数大于，故只需考虑与根的情况。【解析】，当即当时，解集为， 当即当时，解集为， 当时，解集为，当即或时，解集为。例4-3解不等式
5、()。【解析】，当即或时，解集为，当即时，解集为。3、按方程的根、的大小来分类，即，。例4-4解不等式()。【解析】，原不等式可化为，对应方程的两根为、， 当时，即，解集为；当时，即，解集为。例4-5解下列关于的不等式：(1)；(2)；(3)。【解析】(1)原不等式可化为，原不等式的解集为；(2)，当，即或时，原不等式解集为，当，即或时，原不等式解集为，当，即时，原不等式解集为；(3)，当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为。总结升华：对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步：定号：对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向；求根：求相应方程的根。当无法
6、判断判别式与的关系时，要引入讨论，分类求解；定解：根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小时，引入讨论。例4-6解关于的不等式：()。【解析】原不等式化为，或时，解集为；当或时，解集为；当或时，解集为。例4-7解关于的不等式：()。【解析】原不等式化为，当或时解集为；当时解集为；当时解集为；当时解集为。五、基本不等式1、基本不等式原始形式：(1)若，则；(2)若，则。2、基本不等式一般形式(均值不等式)：若，则。3、基本不等式的两个重要变形：(1)若，则；(2)若，则。4、利用均值不等式求最值的条件：“一正，二定，三相等”。(1)一正：各项均为正数，若各项均为负数，则可以提负号；(2
7、)二定：如果两个正数的积是定值，则有最小值。如果两个正数的和是定值，则有最大值。(3)三相等：当且仅当时取最值。5、常用结论：(1)：若，则 (当且仅当时取“”)；若，则 (当且仅当时取“”)；(2)(，)：若，则(当且仅当即时取“”)；若，则(当且仅当即时取“”)；(3)(，)：若，则(当且仅当即时取“”)；若，则(当且仅当即时取“”)；(4)若，则(当且仅当时取“”)；(5)若，则(当且仅当时取“”)；(6)基本不等式链：若，则(当且仅当时取“”)。注：算术平均数：；几何平均数：；调和平均数：；平方平均数：。证明：(1)；(2)；(3)；综上，当且仅当时“”成立。例5-1设，证明不等式：。
8、【解析】、均为正数，。变式5-1已知、为两两不相等的实数，求证：。【解析】又，则，即。例5-2已知，求证：。【解析】，(当且仅当时等号成立)，即，原不等式成立。变式5-2已知且，求证：。【解析】，且，即，当且仅当时取等号。例5-3已知，则的取值范围为( )。A、 B、 C、 D、【答案】A【解析】若，若，的取值范围为，故选A。变式5-3已知，则的取值范围为( )。A、 B、 C、 D、【答案】D【解析】，；的取值范围为，故选D。例5-4已知()，则的取值范围为( )。A、 B、 C、 D、【答案】D【解析】，当时，当时，的取值范围为，故选D。变式5-4已知，则的取值范围为( )。A、 B、 C
9、、 D、【答案】D【解析】当时，当时，时，时，的取值范围为，故选D。例5-5已知，则的最小值为( )。A、 B、 C、 D、【答案】D【解析】令，则且，。，当且仅当，即时，等号成立，当时，取得最小值，故选D。变式5-5已知正数、满足，的最小值为，则的值为( )。A、 B、 C、 D、【答案】D【解析】。、均大于，即，又，或，故选D。例5-6围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，如图所示。已知旧墙的维修费用为元/，新墙的造价为元/。设利用的旧墙长度为(单位：)，修建此矩形场地围墙的总费用为(单位：元
10、)。(1)将表示为的函数；(2)试确定使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。分析：(1)首先，明确总费用旧墙维修费+建新墙费，(2)其次，列出与的函数关系式；(3)最后，利用基本不等式求最值，(4)确定取得最值的条件，作出问题结论。【解析】(1)如图，设矩形的另一边长为，则，由已知，得，()；(2)，当且仅当时，等号成立，即当时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是元。方法归纳：(1)利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解。(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解。