1、2016-2017学年山东省泰安市宁阳一中高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在下列每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1函数f（x）=ln（3x）（x+1）的定义域为（）A1，3B（1，3）C（，3）（1，+）D（，1）（3，+）2在ABC中，若a=7，b=3，c=8，则其面积等于（）A12BC28D3已知x，yR，且xy0，则（）A0Bsinxsiny0C（）x（）y0Dlnx+lny04已知各项均为正数的等比数列an，a1a9=16，则a2a5a8的值（）A16B32C48D645在ABC中，若AB=，BC=3，C=120，则AC=（）
2、A1B2C3D46若x，y满足，则xy的最小值为（）A0B1C3D27设锐角ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=2asinA，则A=（）ABCD不确定8若不等式x2ax+b0的解集为（1，2），则不等式的解集为（）A（，+）B（，0）（，+）C（，+）D（，0）（，+）9若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（）A4B9C10D1210如图，四边形ABCD的四个顶点在半径为2的圆O上，若BAD=，CD=2，则BC=（）A2B4CD二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.）11已知等差数列an前9项的和为27，a10=8，则a100=12不等
3、式x1的解集是13某研究所计划利用宇宙飞船进行新产品搭载试验，计划搭载若干件新产品A，B，该研究所要根据产品的研制成本、产品重量、搭载试验费用和预计收益来决定具体安排，通过调查得到的有关数据如表：每件A产品每件B产品研制成本、搭载试验费用之和（万元）2030产品重量（千克）105预计收益（万元）8060已知研制成本、搭载试验费用之和的最大资金为300万元，最大搭载重量为110千克，则如何安排这两种产品进行搭载，才能使总预计收益达到最大，求最大预计收益是多少14已知正数x，y满足x2+2xy3=0，则2x+y的最小值是15如图，某人在高出海面600米的山上P处，测得海面上的航标在A正东，俯角为3
4、0，航标B在南偏东60，俯角为45，则这两个航标间的距离为米三、解答题（本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足：a2+c2=b2+ac（ I）求B 的大小；（ II）求cosA+cosC 的最大值17为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0x10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设f（x）为隔热层建造费用与20年的
5、能源消耗费用之和（）求k的值及f（x）的表达式（）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值18已知数列an是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8（）求数列an的通项公式；（）设Sn为数列an的前n项和，bn=，求数列bn的前n项和Tn19在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=（）证明：a、c、b成等差数列；（）求cosC的最小值20已知数列an 的前n项和Sn=3n2+8n，bn是等差数列，且an=bn+bn+1（）求数列bn的通项公式；（）令cn=，求数列cn的前n项和Tn21设f（x）=ax2+（a2）x2（aR）（I）解关于x
6、的不等式f（x）0；（II）若a0，当1x1时，f（x）0时恒成立，求a的取值范围（III）若当1a1时，f（x）0时恒成立，求x的取值范围2016-2017学年山东省泰安市宁阳一中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在下列每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1函数f（x）=ln（3x）（x+1）的定义域为（）A1，3B（1，3）C（，3）（1，+）D（，1）（3，+）【考点】函数的定义域及其求法【分析】根据对数函数的性质求出f（x）的定义域即可【解答】解：由题意得：（3x）（x+1）0，即（x3）（x+1）0，解得：1x3
7、，故函数的定义域是（1，3），故选：B2在ABC中，若a=7，b=3，c=8，则其面积等于（）A12BC28D【考点】解三角形；正弦定理的应用；余弦定理【分析】已知三条边长利用余弦定理求得cosC=，再利用同角三角函数的基本关系求得 sinC=，代入ABC的面积公式进行运算【解答】解：在ABC中，若三边长分别为a=7，b=3，c=8，由余弦定理可得64=49+9273 cosC，cosC=，sinC=，SABC=，故选D3已知x，yR，且xy0，则（）A0Bsinxsiny0C（）x（）y0Dlnx+lny0【考点】不等关系与不等式【分析】x，yR，且xy0，可得： ，sinx与siny的大小
8、关系不确定，lnx+lny与0的大小关系不确定，即可判断出结论【解答】解：x，yR，且xy0，则，sinx与siny的大小关系不确定，即0，lnx+lny与0的大小关系不确定故选：C4已知各项均为正数的等比数列an，a1a9=16，则a2a5a8的值（）A16B32C48D64【考点】等比数列的性质【分析】由等比数列的性质可得a1a9=，结合an0可求a5，然后由a2a5a8=可求【解答】解：由等比数列的性质可得a1a9=16，an0a5=4a2a5a8=64故选D5在ABC中，若AB=，BC=3，C=120，则AC=（）A1B2C3D4【考点】余弦定理的应用【分析】直接利用余弦定理求解即可【
9、解答】解：在ABC中，若AB=，BC=3，C=120，AB2=BC2+AC22ACBCcosC，可得：13=9+AC2+3AC，解得AC=1或AC=4（舍去）故选：A6若x，y满足，则xy的最小值为（）A0B1C3D2【考点】简单线性规划【分析】画出平面区域，利用目标函数的几何意义求最小值【解答】解：x，y满足的区域如图：设z=xy，则y=xz，当此直线经过（0，3）时z最小，所以z 的最小值为03=3；故选C7设锐角ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=2asinA，则A=（）ABCD不确定【考点】正弦定理【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦
10、，利用两角和公式化简求得sinA的值进而求得A【解答】解：bcosC+ccosB=2asinA，sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=2sin2A，sinA0，sinA=，由于A为锐角，可得A=故选：A8若不等式x2ax+b0的解集为（1，2），则不等式的解集为（）A（，+）B（，0）（，+）C（，+）D（，0）（，+）【考点】一元二次不等式的解法【分析】由已知不等式的解集可求a，b的值，然后解不等式即可【解答】解：因为不等式x2ax+b0的解集为（1，2），所以1+2=a，12=b，即a=3，b=2，所以不等式为，整理得，解得x0或者x，所以不等式的解集为：（，0）
11、（，+）故选B9若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（）A4B9C10D12【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，然后结合x2+y2的几何意义，即可行域内的动点与原点距离的平方求得x2+y2的最大值【解答】解：由约束条件作出可行域如图，A（0，3），C（0，2），|OA|OC|，联立，解得B（3，1），x2+y2的最大值是10故选：C10如图，四边形ABCD的四个顶点在半径为2的圆O上，若BAD=，CD=2，则BC=（）A2B4CD【考点】圆周角定理【分析】利用正弦定理求出BD，再利用余弦定理求出BC【解答】解：由题意，BD=2，BAD=，BCD=，CD=2，12=BC2+42
12、BC，BC2+2BC8=0，BC=2故选：A二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.）11已知等差数列an前9项的和为27，a10=8，则a100=98【考点】等差数列的通项公式【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a100【解答】解：等差数列an前9项的和为27，a10=8，解得a1=1，d=1，a100=a1+99d=1+99=98故答案为：9812不等式x1的解集是（1，1）（3，+）【考点】其他不等式的解法【分析】首先移项通分，化简为整式不等式解之【解答】解：不等式变形为，所以0，等价于（x+1）（x3）（x1）0，所以不等式的
13、解集为（1，1）（3，+）；故答案为：（1，1）（3，+）13某研究所计划利用宇宙飞船进行新产品搭载试验，计划搭载若干件新产品A，B，该研究所要根据产品的研制成本、产品重量、搭载试验费用和预计收益来决定具体安排，通过调查得到的有关数据如表：每件A产品每件B产品研制成本、搭载试验费用之和（万元）2030产品重量（千克）105预计收益（万元）8060已知研制成本、搭载试验费用之和的最大资金为300万元，最大搭载重量为110千克，则如何安排这两种产品进行搭载，才能使总预计收益达到最大，求最大预计收益是多少【考点】简单线性规划的应用【分析】我们可以设搭载的产品中A有x件，产品B有y件，我们不难得到关于
14、x，y的不等式组，即约束条件和目标函数，然后根据线行规划的方法不难得到结论【解答】解：设搭载A产品x件，B产品y件，则预计收益z=80x+60y，由题意知，作出可行域如图所示作出直线l：80x+60y=0并平移，由图形知，当直线经过点M时，z取到最大值由解得，即M（9，4）所以zmax=809+604=960（万元），所以搭载9件A产品，4件B产品，才能使总预计收益达到最大，最大预计收益为960万元14已知正数x，y满足x2+2xy3=0，则2x+y的最小值是3【考点】基本不等式【分析】用x表示y，得到2x+y关于x的函数，利用基本不等式得出最小值【解答】解：x2+2xy3=0，y=，2x+y
15、=2x+=2=3当且仅当即x=1时取等号故答案为：315如图，某人在高出海面600米的山上P处，测得海面上的航标在A正东，俯角为30，航标B在南偏东60，俯角为45，则这两个航标间的距离为600米【考点】解三角形的实际应用【分析】求出BC，AC的值，由余弦定理再求AB，即可得结论【解答】解：航标A在正东，俯角为30，由题意得APC=60，PAC=30航标B在南偏东60，俯角为45，则有ACB=30，CPB=45故有BC=PC=600，AC=600所以，由余弦定理知AB2=BC2+AC22BCACCOSACB=360000+36000032=360000可求得AB=600故答案为：600三、解答
16、题（本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足：a2+c2=b2+ac（ I）求B 的大小；（ II）求cosA+cosC 的最大值【考点】余弦定理；三角函数的化简求值【分析】（ I）由已知利用余弦定理可求cosB的值，结合范围0B，即可得解（ II）利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简可得： =，利用范围，根据正弦函数的性质可求其最大值【解答】（本题满分为12分）解：（ I），又0B，所以，（ II）A+B+C=，=，因此，当，即A=时，sin（A+）最大值为1所以， cosA+cosC 的最大值为11
17、7为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0x10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和（）求k的值及f（x）的表达式（）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值【考点】函数模型的选择与应用；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（I）由建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=，若不建隔热层，
18、每年能源消耗费用为8万元我们可得C（0）=8，得k=40，进而得到建造费用为C1（x）=6x，则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x），我们不难得到f（x）的表达式（II）由（1）中所求的f（x）的表达式，我们利用导数法，求出函数f（x）的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f（x）的最小值【解答】解：（）设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为再由C（0）=8，得k=40，因此而建造费用为C1（x）=6x，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为（），令f（x）=0，即解得x=5，（舍去）当0x5时，f（x）0，当5x10时，f（x）0，故x=5是f（x）的
19、最小值点，对应的最小值为当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元18已知数列an是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8（）求数列an的通项公式；（）设Sn为数列an的前n项和，bn=，求数列bn的前n项和Tn【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【分析】（）运用等比数列的通项公式，可得方程组，求得首项和公差，即可得到所求通项公式；（）运用拆项法化简bn，再由数列的求和方法：裂项相消法，结合等比数列的求和公式即可得到【解答】解：（）由题设可知a1a4=a2a3=8，又a1+a4=9，解得：或（舍去）由得：公比q=2，故；（）由（）得，又因为，所以Tn=b1+b2+bn=所以，
20、（或）19在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=（）证明：a、c、b成等差数列；（）求cosC的最小值【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（） 由已知及三角函数恒等变换的应用化简可得2sin（A+B）=sinA+sinB，又结合三角形内角和定理，正弦定理得2c=a+b即可得解a，b，c成等差数列； （）由余弦定理及a+b=2c，可得，利用基本不等式可得，进而可解得cosC的最小值【解答】（本题满分为12分）解：（）2（tanA+tanB）=，=，即2sin（A+B）=sinA+sinB，又A+B=C，2sinC=sinA+sinB，由正弦定理得，2c=a+
21、b所以，a、c、b成等差数列； （）由余弦定理得，a+b=2c，又，即所以cosC的最小值为 20已知数列an 的前n项和Sn=3n2+8n，bn是等差数列，且an=bn+bn+1（）求数列bn的通项公式；（）令cn=，求数列cn的前n项和Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（）求出数列an的通项公式，再求数列bn的通项公式；（）求出数列cn的通项，利用错位相减法求数列cn的前n项和Tn【解答】解：（）数列an的前n项和，a1=11当n2时，又an=6n+5对n=1也成立所以an=6n+5，bn是等差数列，设公差为d，则an=bn+bn+1=2bn+d当n=1时，2b1=11d；当n=2
22、时，2b2=17d由，解得d=3，所以数列bn的通项公式为；（）由，于是，两边同乘以2，得两式相减，得=n2n+2所以，21设f（x）=ax2+（a2）x2（aR）（I）解关于x的不等式f（x）0；（II）若a0，当1x1时，f（x）0时恒成立，求a的取值范围（III）若当1a1时，f（x）0时恒成立，求x的取值范围【考点】函数恒成立问题【分析】（I）根据a=0和a0以及根的大小讨论求解（II）a0，当1x1时，利用二次方程根的分布，可求a的取值范围（III）当1a1时，设g（a）=a（x2+x）2（x+1），g（a）0恒成立看成关于a的一次函数求x的取值范围【解答】解：（ I）由不等式f（x
23、）0可得，（ax2）（x+1）0当a=0时，不等式可化为2（x+1）0，解得x1；当a0时，方程（ax2）（x+1）=0有两根若a2，由（ax2）（x+1）0，解得；若a=2，不等式可化为2（x+1）20，解得x=1；若2a0，由（ax2）（x+1）0，解得；若a0，由（ax2）（x+1）0，解得；综上所述，当a=0时，不等式的解集为x|x1；当a2时，不等式的解集为；当a=2时，不等式的解集为1；当2a0时，不等式的解集为；当a0时，不等式的解集为（II）因a0，f（x）0故函数f（x）开口向上，根据二次函数的特征，若要1x1时，f（x）0时恒成立，只需即可因此，由，解得0a2所以，a的取值范围为（0，2（ III）若当1a1时，设g（a）=a（x2+x）2（x+1）因此，当1a1时，f（x）0时恒成立等价于当1a1时，g（a）0恒成立当x=0时，g（a）=20，不符合题意；当x=1时，g（a）=0，不符合题意；当x0，x1时，只需成立即可即，解得2x1所以，x的取值范围为2，1）2016年11月18日