1、1.2.2组合第1课时组合与组合数公式知识点组合的定义从n个不同元素中取出m(mn)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合知识点组合与组合数公式组合的定义包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“合成一组”，表示与元素的顺序无关，排列与组合的相同点是从n个不同元素中任取m个元素，不同点是组合是“不管元素的顺序合成一组”，而排列是要求元素按照一定的顺序排成一列因此区分某一问题是组合还是排列，关键是看取出的元素有无顺序组合数的两个性质，性质1反映了组合数的对称性，在m时，通常不直接计算C而改为C，对于性质2，CCC要会正用、逆用、变形用1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1
2、)从a，b，c三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是C.()(2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C个积()(3)1,2,3与3,2,1是同一个组合()(4)C54360.()答案(1)(2)(3)(4)2做一做(1)从6名学生中选出3名学生参加数学竞赛的不同选法种数是_(2)C_.(3)CC_.答案(1)20(2)190(3)161700解析(1)由组合数公式知C20.(2)CC190.(3)CCC161700.探究组合的有关概念例1给出下列问题：(1)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？(2)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有
3、多少种不同的选法？(3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？(4)a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？(5)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？(6)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪连中，不同的结果有多少种？在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？解(1)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题(2)2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题(4)冠亚军是有顺序的，是排列问题(5)命中的4枪均为2枪连中，为相同的元素，没
4、有顺序，是组合问题(6)命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1枪，有顺序，是排列问题拓展提升判断是否为组合问题，关键是判断问题是否与顺序有关，可以结合条件理解，也可以选择一个结果，交换这个结果中两个元素先后顺序，看是否对结果产生影响，若无新变化，则是组合问题总之，与顺序有关是排列问题，若与顺序无关，则是组合问题判断下列问题是排列问题，还是组合问题(1)从集合A1,1,10,8,6,4中任取两个数相加，得到的和共有多少个？(2)从集合A1,1,10,8,6,4中任取两个数相除，得到的商共有多少个？(3)从a，b，c，d这四名同学中任取两名同学去参加某一活动，共有多少种不同的选法？(4)四个
5、人互发一个电子邮件，共写了多少个电子邮件？解(1)从集合A中取出两个数后，改变两个数的顺序，其和不变因此此问题，只与取出的元素有关，与元素的顺序无关，故是组合问题(2)从集合A中取出两个数相除，若改变其分子、分母的位置，其结果就不同，因此其商的值与元素的顺序有关，是排列问题(3)由于从4名同学中取出的两名同学参加的同一项活动，没有顺序，因此是组合问题(4)四人互发电子邮件，由于发信人与收信人是有区别的，与顺序有关，是排列问题探究组合数及组合数性质的运用例2(1)计算：CCA；(2)已知，求C；(3)求CC的值；(4)证明：mCnC.解(1)原式CA7652102100.(2)原方程可化为，即，
6、1，即m223m420，解得m2或21(不符合题意，舍去)CC28.(3)9.5n10.5，nN*，n10，CCCC466.(4)证明：mCmnnC.拓展提升(1)像排列数公式一样，公式C一般用于计算；而公式C及C一般用于证明、解方程(不等式)等(2)在解决与组合数有关的问题时，要注意隐含条件“mn且m，nN*”的运用如本例(3)(3)要注意公式A mnCA的逆向运用，如本例(1)中可利用“CAA”简化计算过程(4)本例(4)所推导的结论“mCnC”以及它的变形公式是非常重要的公式，应熟练掌握(1)求值：CC；求证：CC.(2)计算：CCC；CCCCCC；CC.解(1)解得4n5.又因为nN*
7、，所以n4或n5.当n4时，原式CC5，当n5时，原式CC16.证明：因为C，C，所以CC.(2)原式CC15649505006.原式2(CCC)2(CC)232.原式CC(n1)nn2n.探究简单的组合问题例3现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名(1)从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)从中选出2名男教师或2名女教师去外地学习，有多少种不同的选法？(3)从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？解(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即有C45种不同的选法(2)可把问题分两类：第1类，选出2名男教师，有C种
8、方法；第2类，选出2名女教师，有C种方法，即共有CC21种不同的选法(3)从6名男教师中选2名的选法有C种，从4名女教师中选2名的选法有C种，根据分步乘法计数原理，共有CC90种不同的选法拓展提升解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于：排列问题与取出的元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关其次要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；(3
9、)甲、乙、丙三人不能参加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加解(1)从中任取5人是组合问题，共有C792种不同的选法(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C36种不同的选法(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C126种不同的选法(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C3种选法；再从另外9人中选4人，有C种选法共有CC378种不同的选法1下列问题不是组合问题的是 ()A10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？B平面上有2015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？C
10、集合a1，a2，a3，an的含有三个元素的子集有多少个？D从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？答案D解析组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题，选D.2若CCC，则n等于()A12 B13 C14 D15答案C解析CCCC，n178，n14，故选C.3把三张游园票分给10个人中的3人，分法有 ()AA种 BC种CCA种 D30种答案B解析三张票没区别，从10人中选3人即可，即C，故选B.4若CC，则n的集合是_答案6,7,8,9解析CC，nN*，n6,7,8,9.n的集合为6,7,8,95在6名内科医生和4名外科医生中，现要组成5人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？(1)有3名内科医生和2名外科医生；(2)既有内科医生，又有外科医生解(1)先选内科医生有C种选法，再选外科医生有C种选法，故有CC120种选派方法(2)既有内科医生，又有外科医生，正面思考应包括四种情况，内科医生去1人，2人，3人，4人，有CCCCCCCC246种选派方法若从反面考虑，则有CC246种选派方法