1、第三节 平面向量的数量积授课提示：对应学生用书第319页A组基础保分练1已知两个单位向量e1，e2的夹角为60，向量m5e12e2，则|m|（）ABC2 D7解析：|m|答案：A2已知向量a，b的夹角为60，|a|2，|b|4，则（ab）b（）A16 B13C12 D10解析：（ab）babb2|a|b|cos 60|b|2244212答案：C3已知向量a，b，c满足abc0，且|a|b|c|12，则a，c的夹角为（）A30 B60C90 D120解析：法一：设向量a，c的夹角为abc0，acb，（ac）2（b）2，即|a|2|c|22|a|c|cos |b|2又|a|b|c|12，cos ，
2、120法二：在ABC中，依题意可设a，c，b，向量a，c的夹角为|a|b|c|12，C90，A60，120答案：D4（2021长春模拟）已知在边长为4的正方形ABCD中，则在方向上的投影为（）A4 BC2 D解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则由已知可得C（4，4），E（2，0），F（0，1），所以（2，4），（4，3），则在方向上的投影为4答案：A5已知x0，y0，a（x，1），b（1，y1），若ab，则的最小值为（）A4 B9C8 D10解析：依题意，得abxy10xy1法一：59，当且仅当x，y时取等号法二：设f（x）（0x1），则f（x），当x0，f（x）单调递增；当0x时，f（x）
3、0，f（x）单调递减，所以f（x）minf9答案：B6（2021衡水模拟）已知向量a（1，k），b（2，4），则“k”是“|ab|2a2b2”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：由|ab|2a2b2，得a22abb2a2b2，得ab0，得（1，k）（2，4）0，解得k，所以“k”是“|ab|2a2b2”的充要条件答案：C7（2021临川九校联考）已知平面向量a（2m1，2），b（2，3m2），且ab，则|2a3b|_解析：因为ab，所以ab2（2m1）2（3m2）0，解得m1，所以a（1，2），b（2，1），所以2a3b（2，4）（6，3）（8，1），所
4、以|2a3b|答案：8（2020高考天津卷）如图，在四边形ABCD中，B60，AB3，BC6，且，则实数的值为，若M，N是线段BC上的动点，且|1，则的最小值为_解析：，ADBC，BAD180B120，|cos 120639，解得，以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy，BC6，C（6，0），|AB|3，ABC60，A的坐标为A，又， 则D，设M（x，0），则N（x1，0）（其中0x5），x24x（x2）2，所以，当x2时，取得最小值答案：9已知向量a，b满足|a|3，|b|1，a与b的夹角为（1）求|a3b|；（2）若向量a2b与ta2b垂直，求实数t的值解
5、析：（1）向量a，b满足|a|3，|b|1，a与b的夹角为，|a3b|3（2）向量a2b与ta2b垂直，（a2b）（ta2b）0，ta2（2t2）ab4b20，9t（2t2）31cos40，解得t10（2021合肥模拟）已知向量a（1，2），b（2，2）（1）设c4ab，求（bc）a；（2）若ab与a垂直，求的值；（3）求向量a在b方向上的投影解析：（1）a（1，2），b（2，2），c4ab（4，8）（2，2）（6，6）bc26260，（bc）a0a0（2）ab（1，2）（2，2）（21，22），由于ab与a垂直，212（22）0，（3）设向量a与b的夹角为，向量a在b方向上的投影为|a|co
6、s |a|cos B组能力提升练1已知向量a，b的夹角为60，|a|2，|a2b|2，则|b|（）A4B2C D1解析：|a2b|2|a|24ab4|b|2442|b|cos 604|b|24，解得|b|1或|b|0（舍去）答案：D2如图所示，已知G是ABC的重心，H是BG的中点，且AB2，AC3，BAC60，则（）A B2C D解析：设D是ABC的边BC的中点，连接GD（图略），因为G是ABC的重心，所以A，G，D三点共线，（）（）又H是BG的中点，所以（）（4），则（）（4）（4|25|cosBAC|2）答案：A3已知|6，|2，AOB30，若tR，则|t|的最小值为（）A6 B2C3 D
7、62解析：依题意得|t|2|（1t）t|236（1t）212t236（1t）t12t236t361299，当且仅当t时取等号，因此|t|的最小值是3答案：C4（2020高考全国卷）已知向量a，b满足|a|5，|b|6，ab6，则cosa，ab（）A BC D解析：|ab|2（ab）2a22abb225123649，|ab|7，cosa，ab答案：D5如图所示，AB是半圆O的直径，P是上的点，M，N是直径AB上关于O对称的两点，且AB6，MN4，则_解析：连接AP，BP（图略），则，所以（）（）|2|2|21615答案：56已知向量a，ab，ab若OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则OAB
8、的面积为_解析：由题意得，|a|1，又OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，所以，|由，得（ab）（ab）|a|2|b|20，所以|a|b|1，由|，得|ab|ab|，所以ab0所以|ab|2|a|2|b|22，所以|，故SOAB1答案：17已知向量m（sin 2，cos ），n（sin ，cos ），其中R（1）若mn，求角；（2）若|mn|，求cos 2的值解析：（1）若mn，则mn0，即为sin （sin 2）cos2 0，即sin ，可得2k或2k，kZ（2）若|mn|，即有（mn）22，即（2sin 2）2（2cos ）22，即为4sin248sin 4cos2 2，即有88sin
9、 2，可得sin ，即有cos 212sin212C组创新应用练1已知将函数f（x）4cos的图像和直线g（x）x1的所有交点从左到右依次记为A1，A2，A5若P点坐标为（0，），则|（）A0 B2C6 D10解析：依题意，A1和A5，A2和A4都关于点A3对称，由P（0，），A3（1，0），得（1，），则55（1，）（5，5），所以|10答案：D2已知正方形ABCD的边长为2，以B为圆心的圆与直线AC相切若点P是圆B上的动点，则的最大值是（）A2 B4C4 D8解析：如图所示，建立平面直角坐标系，则B（0，0），A（0，2），D（2，2），圆B的方程为x2y22，P（cos ，sin ），（
10、2，2），（cos ，sin 2），2cos 2sin 444sin，当sin1时，的最大值是8答案：D3在平面直角坐标系xOy中，已知向量与关于y轴对称，向量a（1，0），则满足不等式2a0的点A（x，y）构成的集合用阴影表示为（）解析：A（x，y），向量与关于y轴对称，B（x，y），（2x，0）2a0，x2y22x（x1）2y210，故满足要求的点A（x，y）在以（1，0）为圆心，1为半径的圆上以及圆的内部答案：B4设为两个非零向量e1，e2的夹角，若对任意实数，|e1e2|min1，则下列说法正确的是（）A若确定，则|e1|唯一确定B若确定，则|e2|唯一确定C若|e1|确定，则唯一确定D若|e2|确定，则唯一确定解析：|e1e2|min1，即|e1（e2）|min1，如图所示，|e1（e2）|表示线段EF的长度，其中E为定点，F为动点，当e2时，|e1（e2）|最小，所以|e1|sin 1，故当确定时，|e1|是确定的，但当|e1|确定时，因为0，故可能会有两个不同的解|e2|总是不确定的答案：A