1、核心素养测评六函数的奇偶性、对称性与周期性(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列函数中,与函数y=-3|x|的奇偶性相同,且在(-,0)上单调性也相同的是()A.y=-B.y=log2|x|C.y=1-x2D.y=x3-1【解析】选C.函数y=-3|x|为偶函数,在(-,0)上是增加的,选项B的函数是偶函数,但其单调性不符合,只有选项C符合要求.【变式备选】下列函数中,既是偶函数,又在(0,+)上是增加的函数是()A.y=B.y=|x|+1C.y=-x2+1D.y=2-|x|【解析】选B.因为y=是奇函数,y=|x|+1,y=-x2+1,y=2-|x|均为偶函数,所以A错
2、误;又因为y=-x2+1,y=2-|x|=在(0,+)上均为减少的,只有y=|x|+1在(0,+)上为增加的,所以C,D错误.2.已知函数f(x)=的图像关于原点对称,g(x)=ln (ex+1)-bx是偶函数,则logab=()A.1B.-1C.-D.【解析】选B.由题意得f(0)=0,所以a=2.因为g(1)=g(-1),所以ln (e+1)-b=ln +b,所以b=,所以log2=-1.3.x为实数,x表示不超过x的最大整数,则函数f(x)=x-x在R上为 ()A.奇函数B.偶函数C.增函数D.周期函数【解析】选D.函数f(x)=x-x在R上的图像如图:所以f(x)在R上是周期为1的函数
3、.4.设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数【解析】选C.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,故f(x)g(x)为奇函数,|f(x)|g(x)为偶函数,f(x)|g(x)|为奇函数,|f(x)g(x)|为偶函数.5.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且在0,2)上单调递减,则下列结论正确的是()A.0f(1)f(3)B.f(3)0f(1)C.f(1)0f(3)D.f(3)f(1)f(0)f
4、(1),即f(1)00时,f(x)=x2-x,则当x0时,f(x)=x2-x,则当x0的解集为_.【解析】根据题意,因为f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-,0上是增加的,所以函数f(x)在0,+)上是减少的,由f(3)=0,则不等式f(1-2x)0f(1-2x)f(3)|1-2x|3,解得-1x2,即不等式的解集为(-1,2).答案:(-1,2)8.定义:函数f(x)在闭区间a,b上的最大值与最小值之差为函数f(x)的极差.若定义在区间-2b,3b-1上的函数f(x)=x3-ax2-(b+2)x是奇函数,则a+b=_,函数f(x)的极差为_.世纪金榜导学号【解析】由f(x)在-2b,3
5、b-1上为奇函数,所以区间关于原点对称,故-2b+3b-1=0,解得b=1,又由f(-x)+f(x)=0可求得a=0,所以a+b=1.又f(x)=x3-3x,f(x)=3x2-3,易知f(x)在(-2,-1),(1,2)上是增加的,f(x)在(-1,1)上是减少的,所以在-2,2上的最大值、最小值分别为f(-1)=f(2)=2,f(1)=f(-2)=-2,所以极差为4.答案:14三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=是奇函数.(1)求实数m的值.(2)若函数f(x)在区间-1,a-2上是增加的,求实数a的取值范围.【解析】(1)设x0,所以f(-x)=-(-x)2+2(-x
6、)=-x2-2x.又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x).于是x0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以m=2.(2)要使f(x)在-1,a-2上是增加的,结合f(x)的图像知所以1f(2a)f(0)B.f(a)f(0)f(2a)C.f(2a)f(a)f(0)D.f(2a)f(0)f(a)【解析】选C.因为函数f(x)=(aR)为偶函数,所以f(-1)=f(1),解得a=1.又因为函数在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增,所以f(2a)f(a)f(0).【变式备选】设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是()A.f(x)+|g(x)|是偶函
7、数B.f(x)-|g(x)|是奇函数C.|f(x)|+g(x)是偶函数D.|f(x)|-g(x)是奇函数【解析】选A.由g(x)是奇函数,可得g(-x)=-g(x),所以|g(x)|=|g(-x)|,即|g(x)|为偶函数,又f(x)为偶函数,所以f(x)+|g(x)|为偶函数.2.(5分)设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是()A.奇函数,且在(0,1)内是增加的B.奇函数,且在(0,1)内是减少的C.偶函数,且在(0,1)内是增加的D.偶函数,且在(0,1)内是减少的【解析】选A.易知f(x)的定义域为(-1,1),且f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f
8、(x),则y=f(x)为奇函数,又y=ln(1+x)与y=-ln(1-x)在(0,1)上是增加的,所以f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)在(0,1)上是增加的.3.(5分)(2020海口模拟)设函数f(x)=,则使得f(x)f(2x-1)成立的x的取值范围是_.【解析】因为f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数,且x0时,f(x)=1-,故f(x)单调递增,又f(0)=0,从而f(x)在R上是增加的,故f(x)f(2x-1)等价于x2x-1,解得x1.答案:(-,1)【变式备选】设定义在-2,2上的偶函数f(x)在区间0,2上是减少的,若f(1-m)f(m),则实数m的取值范围是_
9、.【解析】因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x)=f(|x|).所以f(1-m)f(m)等价于f(|1-m|)f(|m|).又当x0,2时,f(x)是减少的,所以解得-1m.答案:4.(10分)已知函数f(x)=2|x-2|+ax(xR)有最小值.世纪金榜导学号(1)求实数a的取值范围.(2)设g(x)为定义在R上的奇函数,且当x0,则-x0.所以g(x)=-g(-x)=(a-2)x-4,所以g(x)=5.(10分)设f(x)是(-,+)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0x1时,f(x)=x.世纪金榜导学号(1)求f()的值.(2)当-4x4时,求f(x)的图像与x轴所围成图形
10、的面积.【解析】(1)由f(x+2)=-f(x)得,f(x+4)=f(x+2)+2=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数,所以f()=f(-14+)=f(-4)=-f(4-)=-(4-)=-4.(2)由f(x)是奇函数且f(x+2)=-f(x),得f(x-1)+2=-f(x-1)=f-(x-1),即f(1+x)=f(1-x).故知函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称.又当0x1时,f(x)=x,且f(x)的图像关于原点成中心对称,则f(x)的图像如图所示.当-4x4时,f(x)的图像与x轴围成的图形面积为S,则S=4SOAB=4=4.1.(2020重庆模拟)已知f(
11、x)是定义在R上的奇函数,且满足f(1-x)=f(1+x),当x0,1时,f(x)=log2(x+1),则f(2 019)=世纪金榜导学号()A.1B.-1C.0D.log23【解析】选B.因为奇函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x),所以f(x+1)=f(1-x)=-f(x-1),即f(x+2)=-f(x),则f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即函数f(x)是周期为4的函数,因为当x0,1时,f(x)=log2(x+1),所以f(2 019)=f(5054-1)=f(-1)=-f(1)=-log22=-1.2.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的xR恒有f(x+1)=f(
12、x-1),已知当x0,1时,f(x)=2x,则有世纪金榜导学号2是函数f(x)的周期;函数f(x)在(1,2)上是减少的,在(2,3)上是增加的;函数f(x)的最大值是1,最小值是0.其中所有正确命题的序号是_.【解析】在f(x+1)=f(x-1)中,令x-1=t,则有f(t+2)=f(t),因此2是函数f(x)的周期,故正确;当x0,1时,f(x)=2x是增加的,根据函数的奇偶性知,f(x)在-1,0上是减少的,根据函数的周期性知,函数f(x)在(1,2)上是减少的,在(2,3)上是增加的,故正确;由知,f(x)在0,2上的最大值f(x)max=f(1)=2,f(x)的最小值f(x)min=f(0)=20=1且f(x)是周期为2的周期函数,所以f(x)的最大值是2,最小值是1,故错误.答案: