1、广东省广州市增城市2015届高三上学期期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）=（i是虚数单位）（）AiBiC2iD2i2（5分）已知集合A=x|2x4，B=x|3x782x，则AB=（）A3，4）B（3，4）C2，3D2，4）3（5分）下列等式中错误的是（）Asin（+）=sinBcos（）=cosCcos（2）=cosDsin（2+）=sin4（5分）化简=（）ABC2yD2y15（5分）若直线a不平行于平面，则下列结论成立的是（）A平面内所有的直线都与a异面B平面内不存在与a平行的直线C平面a内所有
2、的直线都与相交D直线与平面有公共点6（5分）如图是一个圆锥的三视图，则其侧面积是（）AB2C3D47（5分）若loga1（a0，a1），则实数a的取值范围是（）A（1，+）BCD8（5分）已知圆C：（x1）2+（y2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y7m4=0，mR，当直线l被圆C截得的弦长最短时的m的值是（）ABCD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共30分.其中1415题是选做题，只能做一题，两题全答的，只计算前一题得分.（一）必做题（913题）9（5分）向量=（n，1）与=（4，n）共线且方向相同，则n=10（5分）二项式（x）9的展开式中x3的系数是11（5分）如果
3、函数f（x）=+a是奇函数，则a的值是12（5分）如图，是一问题的程序框图，输出的结果是1716，则设定循环控制条件（整数）是13（5分）已知实数x，y满足，则4x+2y的取值范围是（二）选做题（14、15题）【几何证明选讲】14（5分）（选做题）圆内非直径的两条弦AB、CD相交于圆内一点P，已知PA=PB=4，PC=PD，则CD=【坐标系与参数方程】15曲线=2cos2sin（02）与极轴交点的极坐标是三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16（12分）一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球（1）求摸出的两个球中有1个白球
4、和一个红球的概率；（2）用表示摸出的两个球中的白球个数，求的分布列及数学期望17（12分）已知函数f（x）=2sinx（cosx+sinx）1（1）求f（x）的最小正周期和最大值；（2）若为三角形的内角且f（）=，求f（）的值18（14分）如图，在三棱锥VABC中，VO平面ABC， OCD，VA=VB=，AD=BD=3，BC=5（1）求证：VCAB；（2）当二面角VDC=60时，求三棱锥VABC的体积19（14分）设f（x）=bx，bR（1）当b=1时，求f（x）的单调区间；（2）当f（x）在R上有且仅有一个零点时，求b的取值范围20（14分）已知椭圆的中心在坐标原点，一个焦点坐标是F1（0，
5、1），离心率为（1）求椭圆的标准方程；（2）过点F1作直线交椭圆于A，B两点，F2是椭圆的另一个焦点，求的取值范围21（14分）在数列an中，已知a1=2，对任意正整数n都有nan+1=2（n+1）an（1）求数列an的通项公式；（2）求数列an的前n项的和Sn；（3）如果对于一切非零自然数n都有nan（Sn2）恒成立，求实数的最大值广东省广州市增城市2015届高三上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）=（i是虚数单位）（）AiBiC2iD2i考点：复数代数形式的乘除运算 专题：
6、数系的扩充和复数分析：直接利用复数代数形式的除法运算化简求值解答：解：=i故选：A点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础的计算题2（5分）已知集合A=x|2x4，B=x|3x782x，则AB=（）A3，4）B（3，4）C2，3D2，4）考点：交集及其运算 专题：集合分析：先求解集合B，再按照交集的定义求解计算解答：解：A=x|2x4，B=x|3x782x=x|x3，AB=3，4）故选A点评：本题考查集合的基本运算，属于基础题3（5分）下列等式中错误的是（）Asin（+）=sinBcos（）=cosCcos（2）=cosDsin（2+）=s
7、in考点：运用诱导公式化简求值 专题：三角函数的图像与性质分析：直接利用诱导公式判断选项即可解答：解：sin（+）=sin正确；cos（）=cos，所以B不正确；cos（2）=cos正确；sin（2+）=sin正确；故选：B点评：本题考查诱导公式的应用，基本知识的考查4（5分）化简=（）ABC2yD2y1考点：有理数指数幂的化简求值 专题：函数的性质及应用分析：利用指数幂的运算法则即可得出解答：解：原式=2x故选：A点评：本题考查了指数幂的运算法则，属于基础题5（5分）若直线a不平行于平面，则下列结论成立的是（）A平面内所有的直线都与a异面B平面内不存在与a平行的直线C平面a内所有的直线都与相
8、交D直线与平面有公共点考点：空间中直线与平面之间的位置关系 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：直线a不平行于平面，直线a与平面相交，或直线a平面，由此能求出结果解答：解：直线a不平行于平面，直线a与平面相交，或直线a平面直线与平面有公共点故选D点评：本题考查直线与平面的位置关系的判断和应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答6（5分）如图是一个圆锥的三视图，则其侧面积是（）AB2C3D4考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式即可解答：解：由题意，圆锥的母线长为=2，侧面积是=2，故选：B点评：本题考查由三视图求面积、体积，
9、考查学生的计算能力，比较基础7（5分）若loga1（a0，a1），则实数a的取值范围是（）A（1，+）BCD考点：指、对数不等式的解法 专题：不等式的解法及应用分析：把1变成底数的对数，讨论底数与1的关系，确定函数的单调性，根据函数的单调性整理出关于a的不等式，得到结果，把两种情况求并集得到结果解答：解：loga1=logaa，当a1时，函数是一个增函数，不等式成立，当0a1时，函数是一个减函数，根据函数的单调性有a，综上可知a的取值是（0，）（1，+），故选：D点评：本题主要考查对数函数单调性的应用、不等式的解法等基础知识，本题解题的关键是对于底数与1的关系，这里应用分类讨论思想来解题8（5
10、分）已知圆C：（x1）2+（y2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y7m4=0，mR，当直线l被圆C截得的弦长最短时的m的值是（）ABCD考点：直线与圆的位置关系 专题：直线与圆分析：由题意可得直线l经过定点A（3，1）要使直线l被圆C截得的弦长最短，需CA和直线l垂直，故有KCAKl=1，再利用斜率公式求得m的值解答：解：圆C：（x1）2+（y2）2=25的圆心C（1，2）、半径为5，直线l：（2m+1）x+（m+1）y7m4=0，即 m（2x+y7）+（x+y4）=0，由 ，求得，故直线l经过定点A（3，1）要使直线l被圆C截得的弦长最短，需CA和直线l垂直，故有KCAKl=1
11、，即（）=1，求得m=，故选：A点评：本题主要考查直线过定点问题，直线和圆的位置关系，直线的斜率公式，属于基础题二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共30分.其中1415题是选做题，只能做一题，两题全答的，只计算前一题得分.（一）必做题（913题）9（5分）向量=（n，1）与=（4，n）共线且方向相同，则n=2考点：平行向量与共线向量 专题：平面向量及应用分析：利用向量共线定理即可得出解答：解：向量=（n，1）与=（4，n）共线，n24=0，解得n=2当n=2时，=，与共线且方向相同当n=2时，与共线且方向相反，舍去故答案为2点评：熟练掌握向量共线定理是解题的关键10（5分）二项式（x）9
12、的展开式中x3的系数是84考点：二项式定理的应用 专题：计算题分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得展开式中x3的系数解答：解：由于二项式（x）9的通项公式为 Tr+1=x9r（1）rxr=x92r，令92r=3，解得 r=3，展开式中x3的系数是 =84，故答案为84点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题11（5分）如果函数f（x）=+a是奇函数，则a的值是1考点：函数奇偶性的判断 专题：函数的性质及应用分析：函数的定义域为R，利用奇函数f（0）=0，得到a解答：解：因为函数的定义域为R，并且函数是奇函数，
13、所以f（0）=0，即，解得a=1；故答案为：1点评：本题考查了奇函数的性质；如果奇函数在x=0处有意义，那么f（0）=012（5分）如图，是一问题的程序框图，输出的结果是1716，则设定循环控制条件（整数）是100考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：执行程序框图，写出每次循环得到的S，i的值，寻找规律可知该程序的作用是利用循环计算S=4+7+10值并输出，由等差数列的通项公式即可求解解答：解：执行程序框图，有i=4，S=0满足条件，有S=4，i=7满足条件，有S=11，i=10满足条件，有S=21，i=13满足条件，有S=34，i=16不满足条件，输出S的值为1716分析程序中各变量、各
14、语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S=4+7+10值并输出，因为4+7+=1716所以由等差数列的求和公式可知：1716=4n+，从而解得n=33，所以最后一个加数i=4+（n1）3=100，故设定循环控制条件（整数）是：i100故答案为：100点评：本题主要考察了程序框图和算法，考察了等差数列的通项公式的求法，属于中档题13（5分）已知实数x，y满足，则4x+2y的取值范围是2，10考点：不等关系与不等式；简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：方法一：根据实数x，y满足，可得02x4，即04x8，即22y2，进而得到24x+2y10；方法二：令4x+2
15、y=m（x+y）+n（xy），构造方程组可求出m，n值，进而根据不等式的基本性质可得23（x+y）+（xy）10解答：解：方法一：1x+y31xy1，由+，得到02x4 2 得到 04x8 由，得到22y2最后+得到24x+2y10故答案为：2，10方法二：令4x+2y=m（x+y）+n（xy）则解得即4x+2y=3（x+y）+（xy）1x+y333（x+y）9又1xy1，23（x+y）+（xy）10故答案为：2，10点评：本题考查的知识点是不等式的性质，其中方法二中，使用待定系数法，结合不等式的基本性质求解要求熟练掌握（二）选做题（14、15题）【几何证明选讲】14（5分）（选做题）圆内非直
16、径的两条弦AB、CD相交于圆内一点P，已知PA=PB=4，PC=PD，则CD=10考点：与圆有关的比例线段 专题：压轴题；选作题分析：先做出辅助线，连接AC、DB，根据同弧所对的圆周角相等，证出ACPDBP，然后根据相似三角形的性质得出对应边成比例，代入数据，做出结果解答：解：连接AC、BDA=D，C=B，ACPDBP，=，PD2=64PD=8CD=PD+PC=8+2=10，故答案为：10点评：本题考查相似三角形的性质及相交弦定理，本题解题的关键是根据圆周角定理求出相等的角，得到三角形相似，本题是一个基础题【坐标系与参数方程】15曲线=2cos2sin（02）与极轴交点的极坐标是（0，0）和（
17、2，0）考点：简单曲线的极坐标方程 专题：坐标系和参数方程分析：首先把曲线=2cos2sin（02）转化为：，进一步利用y=0，求出x，最后把交点的直角坐标转化为极坐标解答：解：曲线=2cos2sin（02）转化为：方程与x轴的交点令y=0解得x=0或2则极坐标为：（0，0）和（2，0）点评：本题考查的知识要点：极坐标方程和直角坐标方程的互化，及直角坐标和极坐标的互化三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16（12分）一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球（1）求摸出的两个球中有1个白球和一个红球的概率；（2）用表示摸出的两
18、个球中的白球个数，求的分布列及数学期望考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差 专题：概率与统计分析：（1）运用排列组合知识求解个数，再运用古典概率知识求解，（2）求出可能取的值=0，1，2，再分别求出概率，列出分布列，运用数学期望公式求解解答：解：一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球，有=10中情况，（1）设摸出的两个球中有1个白球和一个红球的事件为A=6中情况，P（A）=即摸出的两个球中有1个白球和一个红球的概率为，（2）用表示摸出的两个球中的白球个数，=0，1，2，P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=的分布列： 012 P即的 数学期
19、望为：0+2=点评：本题考察了古典概率的求解，以及分布列，数学期望的求解17（12分）已知函数f（x）=2sinx（cosx+sinx）1（1）求f（x）的最小正周期和最大值；（2）若为三角形的内角且f（）=，求f（）的值考点：三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法 专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析：（1）利用三角恒等变换把函数f（x）化为一个角的三角函数，求出最小正周期与最大值；（2）由f（）=，且为三角形的内角，求出的值，计算f（）即可解答：解：（1）函数f（x）=2sinx（cosx+sinx）1=2sinxcosx+2sin2x1=sin2xcos2x=sin（2x），
20、f（x）的最小正周期是，最大值是；（2）f（）=，sin2（）=sin=（cos）=cos=，cos=；又为三角形的内角，=；f（）=f（）=sin（2）cos（2）=sincos=（）=点评：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换的应用问题，考查了三角函数的求值问题，是综合题目18（14分）如图，在三棱锥VABC中，VO平面ABC，OCD，VA=VB=，AD=BD=3，BC=5（1）求证：VCAB；（2）当二面角VDC=60时，求三棱锥VABC的体积考点：直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：空间位置关系与距离分析：（1）结合线面垂直的判定定理，从而证明
21、线线垂直；（2）只需求出VO，CD的长，从而求出四面体的体积解答：（1）证明：连接VD，AD=BD=3，D是AB中点，VA=VB=，VDAB，VO平面ABC，ABVO，又VDVO=V，VCAB；（2）在RTVAD中，VA=3，AD=3，VD=3，在RTVDO中，VDC=60，VD=3，VO=，在RTBCD中，BD=3，BC=5，CD=4，VVABC=64=6点评：本题考查了线面垂直的判定定理，考查了椎体的体积，是一道基础题19（14分）设f（x）=bx，bR（1）当b=1时，求f（x）的单调区间；（2）当f（x）在R上有且仅有一个零点时，求b的取值范围考点：利用导数研究函数的单调性；函数的零点
22、 专题：计算题；导数的综合应用分析：（1）首先求出函数的导数，然后分别令f（x）0，f（x）0，求出函数的单调区间；（2）求出导数，对b讨论，由于函数f（x）在R上有且仅有一个零点，则函数的极大值小于0，或者是函数的极小值大于0，解出参数范围即可解答：解：（1）f（x）=x2+（b1）xb，由于b=1，则有f（x）=x21，令f（x）0，得x1或x1，令f（x）0，得1x1，f（x）的单调递增区间是（，1）和（1，+），单调递减区间是（1，1）（2）f（x）=x2+（b1）xb=（x+b）（x1），则b，1为方程f（x）=0的两根，若b=1，则f（x）0，f（x）递增，成立；若b1，则f（x）
23、在（，b），（1，+）递增，在（b，1）递减，则f（1）为函数f （x）极小值，且为，f（b）为极大值，且为由于函数f （x） 在R上有且仅有一个零点，则0或0，解得，1b；若b1时，则f（x）在（，b），（1，+）递减，在（b，1）递增则f（1）为函数f （x）极大值，且为，f（b）为极小值，且为由于函数f （x） 在R上有且仅有一个零点，则0或0，解得，3b1则b的取值范围为：3b点评：此题主要考查多项式函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力，难度不大20（14分）已知椭圆的中心在坐标原点，一个焦点坐标是F1（0，
24、1），离心率为（1）求椭圆的标准方程；（2）过点F1作直线交椭圆于A，B两点，F2是椭圆的另一个焦点，求的取值范围考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程 专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）由焦点求得c=1，再由离心率公式，求得a，再由a，b，c的关系，求得b，进而得到椭圆方程；（2）设直线AB的方程为：y=kx1，联立椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理，求出|x1x2|的范围，注意运用单调性求范围，再由面积公式，即可得到所求范围解答：解：（1）椭圆的中心在坐标原点，一个焦点坐标是F1（0，1），即有c=1，且离心率为，即有，解得，a=，则b=，则椭圆方
25、程为=1；（2）设直线AB的方程为：y=kx1，联立椭圆方程，消去y，得，（3+2k2）x24kx4=0，x1+x2=，x1x2=，则|x1x2|=4，令t=（t1），则|x1x2|=4=4，（2t+）=20在t1成立，即有2t3，则有|x1x2|的范围是（0，则=|x1x2|，即有的取值范围是（0，点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，消去未知数，运用韦达定理解题，考查导数的运用，判断单调性，再由单调性求范围，属于中档题21（14分）在数列an中，已知a1=2，对任意正整数n都有nan+1=2（n+1）an（1）求数列an的通项公式；（2）求数列an的前n项的和Sn；（
26、3）如果对于一切非零自然数n都有nan（Sn2）恒成立，求实数的最大值考点：数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：（1）通过递推关系式，判断是以2为首项，2为公比的等比数列，求出通项公式即可求数列an的通项公式；（2）直接利用错位相减法求数列an的前n项的和Sn；（3）通过nan（Sn2）恒成立，求出在一侧的不等式，通过基本不等式求出最值，即可求实数的最大值解答：解：（1）a1=2，nan+1=2（n+1）an，所以是以为首项，2为公比的等比数列，所以数列an的通项公式是；（2）n2n，可得n2n+1，用错位相减法，数列an的前n项的和；（3）对于一切非零自然数n都有nan（Sn2）恒成立，把，代入nan（Sn2）得到：n22（n1）对于一切非零自然数n成立当n=1时，为任意实数，当n2时，等价于对于一切非零自然数n成立等价于函数，而n2，当n=2时取等号，所以函数，综合得到，所以实数的取值范围为（，2所以实数的最大值为2点评：本题考查数列的通项公式的求法，数列求和的方法错位相减法的应用，数列与不等式的关系，基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力