1、第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 1.1.3 导数的几何意义 学 习 目 标核 心 素 养 1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.会求导函数(重点、难点)3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程(重点)4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程(易混点)1.通过导数几何意义的学习，培养学生数学抽象及直观想象的核心素养.2.借助切线方程的求解，提升学生的数学运算核心素养.自 主 预 习 探 新 知 1导数的几何意义(1)切线的定义如图所示，对于割线 PPn，当点Pn 趋近于点 P 时，割线 PPn 趋近于确 定 的 位 置，这 个 确 定 位 置 的
2、_称为点 P 处的切线直线PT(2)导数的几何意义导数的几何意义：函数 f(x)在 xx0 处的导数就是切线 PT 的_，即 kf(x0)(3)切线方程：曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为_斜率klimx0f x0 xf x0 xyf(x0)f(x0)(xx0)2导函数对于函数 yf(x)，当 xx0时，f(x0)是一个确定的数，当 x 变化时，f(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称为导数)，即 f(x)y.limx0f xxf xx思考：f(x0)与 f(x)有什么区别？提示 f(x0)是一个确定的数，而 f(x)是一个函数1若曲线 yf(x)在点 P(
3、x0，f(x0)处的切线方程为 2xy10，则()Af(x0)2 Bf(x0)2Cf(x0)1Df(x0)1A 因为直线 2xy10 的斜率为2，由 f(x0)的几何意义可知 f(x0)2.2已知函数 f(x)在 x0 处的导数为 f(x0)1，则函数 f(x)在 x0 处切线的倾斜角为_45 设切线的倾斜角为，则 tan f(x0)1，又 0，180)，45.3若函数 f(x)在点 A(1,2)处的导数是1，那么过点 A 的切线方程是_xy30 切线的斜率为 k1.点 A(1,2)处的切线方程为 y2(x1)，即 xy30.合 作 探 究 释 疑 难 导数几何意义的应用【例 1】(1)已知
4、yf(x)的图象如图所示，则 f(xA)与 f(xB)的大小关系是()Af(xA)f(xB)Bf(xA)f(xB)Cf(xA)f(xB)D不能确定(2)若曲线 yx2axb 在点(0，b)处的切线方程是 xy10，则()Aa1，b1 Ba1，b1Ca1，b1Da1，b1(1)B(2)A(1)由导数的几何意义，f(xA)，f(xB)分别是切线在点 A、B 处切线的斜率，由图象可知 f(xA)f(xB)(2)由题意，知 ky|x0 limx00 x2a0 xbbx1，a1.又(0，b)在切线上，b1，故选 A.1本例(2)中主要涉及了两点：f(0)1，f(0)b.2解答此类问题的关键是理解导数的几
5、何意义3与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题跟进训练1设曲线 yax2 在点(1，a)处的切线与直线 2xy60 平行，则 a 等于()A1 B12 C12 D1A 由题意可知，f(1)2.又limx0f 1xf 1xlimx0a1x2axlimx0(ax2a)2a.故由 2a2 得 a1.2如图，函数 yf(x)的图象在点 P(2，y)处的切线是 l，则 f(2)f(2)等于()A4 B3 C2 D1D 直线 l 的方程为x4y41，即 xy40.又由题意可知 f(2)2，f(2)1，f(2)f(2)211.求切点
6、坐标【例 2】过曲线 yx2 上某点 P 的切线满足下列条件，分别求出 P 点(1)平行于直线 y4x5；(2)垂直于直线 2x6y50；(3)与 x 轴成 135的倾斜角解 f(x)limx0f xxf xx limx0 xx2x2x2x，设P(x0，y0)是满足条件的点(1)切线与直线 y4x5 平行，2x04，x02，y04，即 P(2,4)是满足条件的点(2)切线与直线 2x6y50 垂直，2x0131，得 x032，y094，即 P32，94 是满足条件的点(3)切线与 x 轴成 135的倾斜角，其斜率为1.即 2x01，得 x012，y014，即 P12，14 是满足条件的点根据切
7、线斜率求切点坐标的步骤(1)设切点坐标(x0，y0)；(2)求导函数 f(x)；(3)求切线的斜率 f(x0)；(4)由斜率间的关系列出关于 x0 的方程，解方程求 x0；(5)将 x0 代入 f(x)求 y0 得切点坐标跟进训练3已知曲线 y2x27 在点 P 处的切线方程为 8xy150，求切点 P 的坐标解 设切点 P(m，n)，切线斜率为 k，由 ylimx0yxlimx02xx272x27x limx0(4x2x)4x，得 ky|xm4m.由题意可知 4m8，m2.代入 y2x27 得 n1.故所求切点 P 为(2,1).求曲线的切线方程探究问题1如何求曲线 f(x)在点(x0，f(
8、x0)处的切线方程？提示 yy0k(xx0)即根据导数的几何意义，求出函数 yf(x)在点(x0，f(x0)处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求出切线方程2曲线 f(x)在点(x0，f(x0)处的切线与曲线过点(x0，y0)的切线有什么不同？提示 曲线 f(x)在点(x0，f(x0)处的切线，点(x0，f(x0)一定是切点，只要求出 kf(x0)，利用点斜式写出切线方程即可；而曲线 f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点3曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？提示 不一定曲线 yf(x)在点 P(x0，y
9、0)处的切线 l 与曲线 yf(x)的交点个数不一定只有一个，如图所示【例 3】已知曲线 C：yx3.(1)求曲线 C 在横坐标为 x1 的点处的切线方程；(2)求曲线 C 过点(1,1)的切线方程思路探究：(1)求y|x1求切点点斜式方程求切线(2)设切点x0，y0求y|xx0 由y|xx0y01x01求x0，y0 写切线方程 解(1)将 x1 代入曲线 C 的方程得 y1，切点 P(1,1)y|x1limx0yxlimx01x31xlimx033xx23.ky|x13.曲线在点 P(1,1)处的切线方程为 y13(x1)，即 3xy20.(2)设切点为 Q(x0，y0)，由(1)可知 y|
10、xx03x20，由题意可知 kPQy|xx0，即y01x013x20，又 y0 x30，所以x301x013x20，即 2x20 x010，解得 x01 或 x012.当 x01 时，切点坐标为(1,1)，相应的切线方程为 3xy20.当 x012时，切点坐标为12，18，相应的切线方程为 y1834x12，即 3x4y10.1(变结论)第(1)小题中的切线与曲线 C 是否还有其他的公共点？解 由y3x2，yx3，解得x1，y1，或x2，y8，从而求得公共点为 P(1,1)或 M(2，8)，即切线与曲线 C 的公共点除了切点外，还有另一公共点(2，8)2(变条件)求曲线 yf(x)x21 过点
11、 P(1,0)的切线方程解 设切点为 Q(a，a21)，f axf axax21a21x2ax，当 x 趋于 0 时，(2ax)趋于 2a，所以所求切线的斜率为 2a.因此，a210a12a，解得 a1 2，所求的切线方程为 y(22 2)x(22 2)或 y(22 2)x(22 2)利用导数的几何意义求切线方程的方法(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数 yf(x)在点 x0 处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程 yy0f(x0)(xx0)(2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据
12、导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程课 堂 小 结 提 素 养 1曲线 f(x)在 x0 附近的变化情况可通过在 x0 处的切线刻画：f(x0)0 说明曲线在 x0 处的切线斜率为正值，在 x0 附近曲线是上升的；f(x0)0 说明曲线在 x0处的切线斜率为负值，在 x0附近曲线是下降的2曲线在某点处切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢3在求曲线上某点处的切线方程时，要注意区分切线、切线的斜率和该点处的导数这三者之间的关系，函数在某点处可导是曲线在该点处存在切线的充分不必要条件因此，在求曲线上某点处的切线方程时，如果导数不存
13、在，可由切线的定义来求切线方程1已知曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 2xy20，则 f(1)()A4 B4 C2 D2D 由导数的几何意义知 f(1)2，故选 D.2下面说法正确的是()A若 f(x0)不存在，则曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处没有切线B若曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处有切线，则 f(x0)必存在C若 f(x0)不存在，则曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线斜率不存在D若曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处没有切线，则 f(x0)有可能存在C 根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不
14、一定成立，故 A，B，D 错误3.已知二次函数 yf(x)的图象如图所示，则 yf(x)在 A，B 两点处的导数 f(a)与 f(b)的大小关系为：f(a)_f(b)(填“”或“”)f(a)与 f(b)分别表示函数图象在点 A，B 处的切线斜率，由图象可得 f(a)f(b)4已知曲线 yf(x)2x2 上一点 A(2,8)，则点 A 处的切线斜率为_8 f(2)limx0f 2xf 2x limx022x28xlimx0(82x)8，即 k8.5已知曲线 yf(x)2x24x 在点 P 处的切线斜率为 16.求 P点坐标解 设点 P(x0,2x204x0)，则 f(x0)limx0f x0 xf x0 x limx02x24x0 x4xx4x04，令 4x0416 得 x03，P(3,30)点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!