1、专题课堂(七)与圆有关角的计算和证明第三章 圆类型一圆心角、弧、弦的关系【例 1】如图，已知点 A，B，C 在O 上，且 AB BC AC 234.(1)求AOB，BOC，AOC 的大小；(2)猜测BOC 与BAC 有怎样数量关系，并给予证明解：(1)AB BC AC 234，AOBBOCAOC 234，AOBBOCAOC360，AOB80，BOC120，AOC160(2)BOC2BAC.证明如下：OAOBOC，OABOBA，OACOCA，AOB80，AOC160，OABOBA50，OACOCA10，BAC60，BOC2BAC1(咸宁中考)如图，已知O 的半径为 5，弦 AB，CD 所对的圆心
2、角分别是AOB，COD，若AOB 与COD 互补，弦 CD6，则弦 AB 的长为()A.6B8C5 2D5 3B2如图，在O 中，弦 AB 与 DC 相交于点 E，且 BEDE，求证：AD BC.证明：在AED 和CEB 中，AC，DB，DEBE，AEDCEB(AAS)，ADCB，AD BC类型二垂径定理及应用【例 2】(临安区中考)如图，O 的半径 OA6，以 A 为圆心，OA 为半径的弧交O 于 B，C 两点，则 BC()A.6 3B6 2C3 3D3 2A3(2022荆州)如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高 AB20 cm，底面直径 BC12 cm，球的最高点到瓶底面的距离为
3、32 cm，则球的半径为_cm(玻璃瓶厚度忽略不计).7.5类型三圆周角定理及推论【例 3】如图，线段 AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 H，P 是 CBD 上任意一点，AH2，CH4.(1)求O 的半径 r 的长度；(2)求 sin CPD.解：(1)连接 OC，ABCD，CHO90，在 RtCOH 中，OCr，OHr2，CH4，r242(r2)2，r5(2)连接 OD.ABCD，AB 是直径，AD AC 12 CD，AOC12 COD.CPD12 COD，CPDCOA，在 RtOCH 中，sin COACHCO 45，sin CPDsin COA454(2022贵港)如图，O 是AB
4、C 的外接圆，AC 是O 的直径，点 P 在O上，若ACB40，则BPC 的度数是()A.40B45C50D55C5(2022广东)如图，四边形 ABCD 内接于O，AC 为O 的直径，ADBCDB.(1)试判断ABC 的形状，并给出证明；(2)若 AB 2，AD1，求 CD 的长度解：(1)ABC 是等腰直角三角形，证明过程如下：AC 为O 的直径，ADCABC90，ADBCDB，AB BC，ABBC，又ABC90，ABC 是等腰直角三角形(2)在 RtABC 中，ABBC 2，AC2，在 RtADC 中，AD1，AC2，CD 3，即 CD 的长度为 3类型四圆的内接四边形【例 4】如图，四
5、边形 ABCD 内接于O，AC 平分BAD，延长 DC 交 AB 的延长线于点 E.(1)若ADC86，求CBE 的度数；解：四边形 ABCD 内接于O，ADCABC180，又ABCCBE180，CBEADC86(2)若 ACEC，求证：ADBE.证明：ACEC，ECAE，AC 平分BAD，DACCAB，DAC E，由(1)知 ADC CBE，在 ADC 和 EBC 中，ADCEBC，DACE，ACEC，ADCEBC(AAS)，ADBE6如图所示，四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形，AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E，且DE.(1)求证：DCBE；(2)求证：CBCE；(3)设 AD 不是圆 O 的直径，AD 的中点为点 M，且 MBMC，证明：ADE 为等边三角形证明：(1)四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形，DABC180，又CBEABC180，DCBE(2)DCBE，DE，CBEE，CBCE(3)设 BC 的中点为 N，连接 MN，BMMC，MNBC，点 O 在直线 MN上又AD 不是圆 O 的直径，M 为 AD 的中点，OMAD，MNAD，BCAD，ACBE.又DCBE，AD，又DE，ADE 为等边三角形