1、保密启用前【考试时间：2012年4月21日15:0017:00】绵阳市高中2012级第三次诊断性考试数学（理科）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷1至2页，第II卷3至4页.满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5亳米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置.2. 选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.3. 考试结束后，将答题卡收回.参考公式：如果事件A、B互斥，那么 球是
2、表面积公式 如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z满足z(1i)=2i(其中i为虚数单位)，则z的值为(A) 1i(B) -1+i(C) 1-i(D) 1+i2. 已知集合，则=(A)(B)(C)(D)3. 若函数/(X)=在R上连续，则实数a的值为(A) -1(B)O(C)(D) 14. l1,l2是空间中两条不同的直线，a,
3、是两个不同的平面，则下列命题正确的是(A)(B)(C)(D)5. 已知两非零向量a,b,则是“a与b共线”的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件6. 设f(X)是定义在R上周期为4的奇函数，当时，则f(5)的值为(A) 4 (B) -4 (C) 2 (D) -27. 已知正项等差数列an的前n项和为Sn，且S15=45,M为a5, a11的等比中项，则M的最大值为(A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 368. 已知点是圆内一点，直线l是以M为中点的弦所在的直线，直线m的方程为，那么(A)且m与圆C相切（B)且/W与圆C相切(C)且m与圆C相
4、离（D)且w与圆C相离9. 某运输公司有7辆载重量为8吨的J型卡车与4辆载重量为10吨的5型卡车，有9名驾驶员.在建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运360吨沥青的任务.己知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车5次，B型卡车6次.每辆卡车每天往返的成本费为A型车160元，B型车180元.该公司每天合理派出A型车与B型车，使得每天所花的最低成本费为(A) 1200 元(B) 1320 元(C) 1340 元（D) 1520 元10. 已知函数在一个周期内的图象如图所示.则的图象可由函数y=cosx的图象（纵坐标不变）(A) 先把各点的横坐标缩短到原来的倍,再向左平移个单位(B) 先把各点的横
5、坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位(C) 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位(D) 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位11. 已知双曲线C:(a09 b0)的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A,B两点,若，则C的离心率为(A) (B) (C) 2 (D)12. 形如34021这样的数称为“波浪数”，即十位上的数字、千位上的数字均比与它们各自相邻的数字大，现从由0, 1, 2, 3, 4, 5组成的数字不重复的五位数中任取一个，则该数是“波浪数”的概率为(A) (B) (C) (D)第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16
6、分.13. 抛物线的焦点坐标为._14. 若展开式中常数项为60,则实数a=_15. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的体积是，则A、B两点的球面距离为_16. 对于定义在区间D上的函数f(X),若存在闭区间和常数c，使得对任意x1,都有，且对任意x2D,当时，恒成立，则称函数f(x)为区间D上的“平顶型”函数.给出下列说法：“平顶型”函数在定义域内有最大值；函数为R上的“平顶型”函数；函数f(x)=sinx-|sinx|为R上的“平顶型”函数；当时，函数，是区间上的“平顶型”函数.其中正确的是_.(填上你认为正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明
7、、证明过程或演算步骤.17. (本题满分12分）已知向量.(I )当m/n时，求的值；(II)已知在锐角ABC中，a, b, c分别为角A,B,C的对边，函数，求 的取值范围.18. (本题满分12分）某电视台有A、B两种智力闯关游戏，甲、乙、丙、丁四人参加，其中甲乙两人各自独立进行游戏A，丙丁两人各自独立进行游戏B.已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均为，丙、丁两人各自闯关成功的概率均为.(I )求游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关成功的人数的概率；(II) 记游戏A、B被闯关成功的总人数为，求的分布列和期望.19.(本题满分12分）如图，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，
8、AB=2AD=2，点E为AB上一点(I)当点E为AB的中点时,求证；BD1/平面A1DE(II )求点A1到平面BDD1的距离；(III)当时，求二面角D1-EC-D的大小.20.(本题满分12分）已知函数的图象在点(1, f(1)处的切线方程为x-y-2=0(I )用a表示b, c；(II) 若函数g(x)=x-f(x)在上的最大值为2，求实数a的取值范围.21.(本题满分12分）在ABC中，顶点A,B, C所对三边分别是a,b,c已知B(-1, 0), C(1, 0),且b,a, c成等差数列.(I )求顶点A的轨迹方程；(II) 设顶点A的轨迹与直线y=kx+m相交于不同的两点M、N，如
9、果存在过点P(0,-)的直线l,使得点M、N关于l对称，求实数m的取值范围.22.(本题满分14分）已知数列an各项均为正数，Sn为其前n项和，对于，总有成等差数列.(I )求数列an的通项an；(II )设数列的前n项和为Tn,数列Tn的前n项和为Rn,求证：时，；(III)对任意，试比较与的大小绵阳市高2012级第三次诊断性考试数学(理)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分BCDBA CACAB AD二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13() 14215arccos 16三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
10、17解：（I）由m/n，可得3sinx=-cosx，于是tanx= 4分（II）在ABC中，A+B=-C，于是，由正弦定理知：，可解得 6分又ABC为锐角三角形，于是， =(m+n)n=(sinx+cosx，2)(sinx，-1)=sin2x+sinxcosx-2=， 10分 由得， 0sin2B1，得即12分18解：（I）设“i个人游戏A闯关成功”为事件Ai(i=0，1，2)，“j个人游戏B闯关成功”为事件Bj(j=0，1，2)，则“游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关的人数”为A1B0+A2B1+A2B0 P(A1B0+A2B1+A2B0)=P(A1B0)+P(A2B1)+P(A2B0)
11、=P(A1)P(B0)+P(A2)P(B1)+P(A2)P(B0)=即游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关的人数的概率为4分（II）由题设可知：=0，1，2，3，4， 的分布列为：01234P 10分 E= 12分19解法一：（I）证明：连结AD1交A1D于F，则F为中点，连结EF，如图 E为中点， EF/BD1又EF面A1DE，BD1面A1DE， BD1/面A1DE3分（II）在RtABD中，AB=2AD=2，可得BD=， ，设A1到面BDD1的距离为d，则由有，即，解得 ，即A1到面BDD1的距离为8分A1D1ADEBCFH（III）连结EC由，有，过D作DHEC于H，连结D1H，由已知
12、面AA1D1D面ABCD且DD1AD，DD1面ABCD由三垂线定理知：D1HEC， DHD1为D1-EC-D的平面角RtEBC中，由，BC=1，得又DHEC=DCBC，代入解得，在RtDHD1中，即二面角D1-EC-D的大小为12分A1D1ADEBCFyxz解法二：（I）同解法一3分（II）由面ABCD面ADD1A，且四边形AA1D1D为正方形，四边形ABCD为矩形，可得D1DAD，D1DDC，DCDA于是以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系由AB=2AD=2知：D(0，0，0)，D1(0，0，1)，A1(1，0，1)，B(1，2，0)， =(1，
13、2，0)，=(0，0，1)，=(0，2，-1)设面BDD1的一个法向量为n1，则 即 点A1到面BDD1的距离 8分（III）由（II）及题意知：E(1，0)，C(0，2，0)，设面D1EC的一个法向量为，则 即可得又易知面DEC的一个法向量是(0，0，1)，设D1-EC-D的大小为，则，得即D1-EC-D的大小为12分20解：（I），由题，得-a+b=1 b=a+1又切点(1，a+c)在直线x-y-2=0上，得1-(a+c)-2=0，解得c=-a-1 4分（II）g(x)， ， 令，得x=1，或x=a8分i)当a1时，由0x1知，0， g(x)在(0，1上递增 g(x)max=g(1)=2于
14、是a1符合条件 10分ii)当0a1时，当0xa时，；ax1时，(x)g(1)=2，与题意矛盾 0a0，整理得：4k2m2-3令M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 设MN的中点P(x0，y0)，则，7分i)当k=0时，由题知，8分ii)当k0时，直线l方程为，由P(x0，y0)在直线l上，得，得2m=3+4k2把式代入中可得2m-3m2-3，解得0m0，解得 验证：当(-2，0)在y=kx+m上时，得m=2k代入得4k2-4k+3=0，k无解即y=kx+m不会过椭圆左顶点.同理可验证y=kx+m不过右顶点 m的取值范围为()11分综上，当k=0时，m的取值范围为； 当k0时，m的取值范围为
15、()12分22解：（I）由题意，得（nN*）于是，两式相减，得，即an+1+an=(an+1+an)(an+1-an)，由题，an0，an+1+an0，得an+1-an=1，即an为公差为1的等差数列又由，得a1=1或a1=0（舍去） an=1+(n-1)1=n (nN*)5分（II）证法一：由（I）知，于是，于是当n2时， = = = = =n(Tn-1). 10分法二：当n=2时，R1=T1=1，2(T2-1)=2(=1， n=2时，等式成立假设n=k（k2）时，等式成立，即，当n=k+1时， = = = = = = 当n=k+1时，等式也成立综合知，原等式对n2，nN*均成立 10分（III）由（I）知，由分析法易知，当k2时， 即 14分