1、1.2余弦定理(一)学习目标1.掌握余弦定理，会利用向量的数量积证明余弦定理.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题知识链接1. 以下问题可以使用正弦定理求解的是 (1)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角 (2)已知两角和一边，求其他角和边(3)已知一个三角形的两条边及其夹角，求其他的边和角(4) 已知一个三角形的三条边，解三角形答案(1)(2)2如图所示，在直角坐标系中，若A(0,0)，B(c,0)，C(bcos A，bsin A)利用两点间距离公式表示出|BC|，化简后会得出怎样的结论？解a2|BC|2(bcos Ac)2(bsin A0)2b2(sin2
2、Acos2A)2bccos Ac2b2c22bccos A.得出a2b2c22bccos A.预习导引1余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a2b2c22bccos A，b2c2a22cacos B，c2a2b22abcos C.2余弦定理的推论cos A，cos B，cos C.要点一已知两边及一角解三角形例1(1)在ABC中，已知b3，c3，B30，求角A、角C和边a.(2)在ABC中，已知a，b，B45，解此三角形解(1)方法一由余弦定理b2a2c22accos B，得32a2(3)22a3cos 30，a29a180，得a3或6.当
3、a3时，由于b3，AB30，C120.当a6时，由正弦定理得sin A1.A90，C60.方法二由正弦定理得sin C，由bbc，C为最小角，由余弦定理cos C.C.3如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为()A. B. C. D.答案D解析设顶角为C，l5c，ab2c，由余弦定理得：cos C.4在ABC中，已知A60，最大边长和最小边长恰好是方程x27x110的两根，则第三边的长为 答案 4解析设最大边为x1，最小边为x2，则x1x27，x1x211，第三边长4.1.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形(2
4、) 若已知两边和一边的对角，既可以用正弦定理又可以用余弦定理解三角形2当所给的条件是边角混合关系时，判断三角形形状的基本思路是：用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系若统一为角之间的关系，再利用三角恒等变形化简找到角之间的关系；若统一为边之间的关系，再利用代数方法进行恒等变形、化简，找到边之间的关系一、基础达标1在ABC中，已知a2，则bcos Cccos B等于()A1 B. C2 D4答案C解析bcos Cccos Bbca2.2在ABC中，已知b2ac且c2a，则cos B等于()A. B. C. D.答案B解析b2ac，c2a，b22a2，cos B.3台风中心
5、从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的时间为()A0.5 h B1 h C1.5 h D2 h答案B解析设t小时后，B市处于危险区内，则由余弦定理得(20t)2402220t40cos 45302.化简得4t28t70，t1t22，t1t2.从而|t1t2|1.4在ABC中，若(a2c2b2)tan Bac，则角B的值为()A. B.C.或 D.或答案D 解析由(a2c2b2)tan Bac得，即cos B，sin B，又B为ABC的内角，B为或.5已知A船在灯塔C北偏东80处，且A船到灯塔的距离为2
6、 km，B船在灯塔C北偏西40处，A，B两船间的距离为3 km，则B船到灯塔的距离为 km.答案1解析由题意知，ACB8040120，AC2，AB3，设B船到灯塔的距离为x，即BCx.由余弦定理可知AB2AC2BC22ACBCcos 120，即94x222x()，整理得x22x50，解得x1(舍去)或x1.6已知某一三角形的三边长分别为a，b，(a0，b0)，则此三角形的最大角为 答案120解析易知：a，b，设最大角为，则cos ，又(0，180)，120.7在锐角ABC中，a，b，c是角A、B、C的对边，且a2csin A.(1)求角C的大小；(2)若c，且ABC的面积为，求ab的值解(1)
7、由正弦定理得：sin A2sin Csin A，A、C是锐角，sin C，C60.(2)由已知得，ABC的面积Sabsin C，ab6.由余弦定理得c2a2b22abcos C(ab)23ab，(ab)225，ab5.二、能力提升8在ABC中，sin2，则ABC的形状为()A正三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰三角形答案B解析sin2，cos A，a2b2c2，符合勾股定理9在ABC中，若B30，AB2，AC2，则满足条件的三角形有()A1个 B2个 C3个 D0个答案B解析设BCa，ACb，ABc，由余弦定理，得b2a2c22accos B，22a2(2)22a2cos 30，即a
8、26a80，解得a2或a4.当a2时，三边为2,2,2可组成三角形；当a4时，三边为4,2,2也可组成三角形满足条件的三角形有两个10在ABC中，AB2，AC，BC1，AD为边BC上的高，则AD的长是 答案解析cos C，sin C.ADACsin C.11在ABC中，BCa，ACb，且a，b是方程x22x20的两根，2cos(AB)1.(1)求角C的度数；(2)求AB的长解(1)cos Ccos(AB)cos(AB)，且C(0，)，C.(2)a，b是方程x22x20的两根，AB2b2a22abcos 120(ab)2ab10，AB.12在ABC中，已知ab4，ac2b，且最大角为120，求三
9、边的长解由，得.abc，A120，a2b2c22bccos 120，即(b4)2b2(b4)22b(b4)()，即b210b0，解得b0(舍去)或b10.当b10时，a14，c6.三、探究与创新13某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在北偏东为45的方向，距离为10海里的C处，并测得渔船正沿南偏东为75的方向，以10海里/时的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以10海里/时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间解如图所示，设所需时间为t小时，则AB10t，CB10t，在ABC中，根据余弦定理，则有AB2AC2BC22ACBCcos 120，可得(10t)2102(10t)221010tcos 120，整理得2t2t10，解得t1或t(舍去)即舰艇需1小时靠近渔船，此时AB10，BC10，在ABC中，由正弦定理得，所以sinCAB，所以CAB30，所以舰艇航行的方向为北偏东75.