1、专题训练(十一)与圆的切线有关的计算与证明类型一 与圆的切线的性质有关的计算与证明1(河南中考)如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O交AC边于点D，过点C作CFAB，与过点B的切线交于点F，连接BD.(1)求证：BDBF；(2)若AB10，CD4，求BC的长 解：(1)证明：ABAC，ACBABC.AB 是O 的直径，ADB90，即 BDAC.BF 切O 于点 B，ABBF.又CFAB，CFBF，FCBABCACB，BDBF(2)ACAB10，ADACCD1046，BDAB2AD2 10262 8，BCBD2CD2 8242 4 52(2022陕西)如图，AB是O的直径，AM是O的切线
2、，AC，CD是O的弦，且CDAB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P.(1)求证：CABAPB；(2)若O的半径为5，AC8，求线段PD的长 解：(1)证明：AM 是O 的切线，CDAB，BAM90CEA，AMCD，APBCDBCAB(2)连接 AD，AB 是O 的直径，CDAB，ADB90BAP，AC AD，BC BD，ADAC8，BADBACAPB，BDAB2AD210282 6，ADBPAB，ABPB BDAB，即10PB 610，PB503，DPPBBD503 63233.(2022营口)如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径作O 与 AC 交于点E，过点 A 作O 的切线
3、交 BC 的延长线于点 D.(1)求证：DEBC；(2)若 CD2BC，AE3，求O 的半径解：(1)证明：AD 与O 相切于点 A，AB 是O 的直径，DABAEB90，DABD90，BEC90，ACBEBC90.又ABAC，ACBABC，DEBC(2)CD 2BC，BD 3BC.DAB CEB 90，D EBC，BADCEB，ABCE BDBC 3，ACAB3CE，CE12 AE1.5，AB3CE4.5，O 的半径为 4.512 2.254(北京中考)如图，AB 为O 的直径，C 为 BA 延长线上的一点，CD 是O的切线，D 为切点，OFAD 于点 E，交 CD 于点 F.(1)求证：A
4、DCAOF；(2)若 sin C13，BD8，求 EF 的长解：(1)证明：连接 OD，OFAD，AOFDAO90.又CD 是O的切线，CDOADCADO90.又OAOD，DAOADO，AOFADC(2)AB 是O 的直径，ADB 90.又OFAD，OFBD，AOEABD，OEBD OAAB 12，OE 12 BD 12 8 4.在RtCDO 中，sin C ODOC 13，OC 3OD 3OB，BC 4OB.又OFBD，COFCBD，OFBD OCBC 3OB4OB 34，OF34 BD34 86，EFOFOE642类型二 与圆的切线的判定有关的计算与证明5(2022广安)如图，AB 为O
5、的直径，D，E 是O 上的两点，延长 AB 至点C，连接 CD，BDCBAD.(1)求证：CD 是O 的切线；(2)若 tan BED23，AC9，求O 的半径解：(1)证明：连接 OD，AB 为O 的直径，ADB90，AABD90.又OBOD，ABDODB.又BDCA，ODCBDCODB90，即 ODCD，CD 是O 的切线(2)DCBACD，BDCBAD，BDCDAC，CDAC BCCD BDDA tan Atan BED23，BC23 CD23 23 AC49 94，ABACBC945，O 的半径为526(2022兰州)如图，O 是ABC 的外接圆，AB 是直径，ODOC，连接 AD，A
6、DOBOC，AC 与 OD 相交于点 E.(1)求证：AD 是O 的切线；(2)若 tan OAC12，AD32，求O 的半径解：(1)证明：ODOC，BOCAOD90.又ADOBOC，ADOAOD90，OAD90，即 OAAD，AD 是O 的切线(2)OAOBOC，OACOCA，OCBB，tan OCAtan OAC，OEOC 12，OE12 OC.AB 是O 的直径，ACB90，B90BACDAE.又ADOBOC，DEAOCBBDAE，DEAD32，ODOEDE12 OC32.又AD2OA2OD2，即(32)2OC2(12 OC32)2，解得 OC2 或 0(舍去)，O 的半径为 27(2
7、022玉林)如图，AB是O的直径，C，D都是O上的点，AD平分CAB，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F.(1)求证：EF是O的切线；(2)若AB10，AC6，求tan DAB的值 解：(1)证明：连接 OD，AD 平分CAB，OAOD，OADEAD，OADODA，ODAEAD，ODAE.又AEEF，ODEF，EF 是O的切线(2)连接 BC 交 OD 于点 H，AB 是O 的直径，ACB90E，BCAB2AC2 10262 8，BCEF.又ODEF，ODBC，CHBH12 BC4，四边形 ECHD 是矩形，EDCH4.又OAOB，OH12 AC3，CEDHODOH5
8、32，AEACCE628.又DABDAE，tan DABtan DAEDEAE 48 128如图，在RtABC中，ACB90，延长CA到点D，以AD为直径作O，交BA的延长线于点E，延长BC到点F，使BFEF.(1)求证：EF是O的切线；(2)若OC9，AC4，AE8，求BF的长 解：(1)证明：连接 OE，在 RtABC 中，ACB90，BACB90.又OAOE，BFEF，OEAOAEBAC，BBEF，OEFOEABEFBACB90，OEEF，EF 是O 的切线(2)连接 DE，OAOCAC945，AD2OA10.又AD 是O 的直径，AED90，DEAD2AE2 10282 6，cos DAEAEAD 810 45.又BACDAE，在 RtABC 中，cos BACACAB 4AB 45，AB5，BCAB2AC2 5242 3，BEABAE5813.过点 F 作 FHBE 于点 H，BFEF，BH12 BE132，BF BHcos B BHBCAB13235656