1、微专题(十九)三角形的“心”的向量表示及应用1三角形各心的概念介绍重心：三角形的三条中线的交点；垂心：三角形的三条高线的交点；内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)；外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)根据概念，可知各心的特征条件比如：重心将中线长度分成21；垂线与对应边垂直；角平分线上的任意点到角两边的距离相等；外心到三角形各顶点的距离相等2三角形各心的向量表示(1)O是ABC的重心0；(2)O是ABC的垂心；(3)O是ABC的外心|(或OA222)；(4)O是ABC的内心0.注意向量(0)所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线)专题一
2、将平面向量与三角形外心结合考查例1若O为ABC内一点，|，则O是ABC的()A内心B外心 C垂心D重心解析：由向量模的定义知O到ABC的三顶点距离相等，故O是ABC的外心，故选B.答案：B专题二将平面向量与三角形垂心结合考查例2点P是ABC所在平面上一点，若，则点P是ABC的()A外心B内心 C重心D垂心解析：由，得0，即()0，即0，则PBCA.同理PABC，PCAB，所以P为ABC的垂心故选D.讲评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形的垂心的定义等相关知识将三角形的垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”等相关知识巧妙结合答案
3、：D专题三将平面向量与三角形内心结合考查例3O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的()A外心B内心 C重心D垂心解析：因为是向量方向上的单位向量，设与方向上的单位向量分别为e1和e2，又，则原式可化为(e1e2)，由菱形的基本性质可知AP平分BAC，那么在ABC中，AP平分BAC，故选B.答案：B专题四将平面向量与三角形重心结合考查例4点P是ABC所在平面内任一点G是ABC的重心()解析：，3()()点G是ABC的重心，0.0，即3.由此得()反之亦然(证略)专题五将平面向量与三角形四心结合考查例5已知向量，满足条件0，|1，求证：P1P2P3是正三角形证明：由已知条件可得，两边平方，得.同理.|.从而P1P2P3是正三角形- 3 -
