1、第五章核心考点精准研析考点一平面向量的基本概念1.下面说法正确的是()A.平面内的单位向量是唯一的B.所有单位向量的终点的集合为一个单位圆 C.所有的单位向量都是共线的D.所有单位向量的模相等【解析】选D.因为平面内的单位向量有无数个,所以选项A错误;当单位向量的起点不同时,其终点就不一定在同一个圆上,所以选项B错误;当两个单位向量的方向不相同也不相反时,这两个向量就不共线,所以选项C错误;因为单位向量的模都等于1,所以选项D正确.2.给出下列命题:零向量是唯一没有方向的向量;零向量的长度等于0;若a,b都为非零向量,则使 =0成立的条件是a与b反向共线.其中错误的命题的个数为()A.0B.1
2、C.2D.3【解析】选B.错误,零向量是有方向的,其方向是任意的;正确,由零向量的定义可知,零向量的长度为0;正确,因为都是单位向量,所以只有当与是相反向量,即a与b反向共线时才成立.1.解答向量概念型题目的要点(1)准确理解向量的有关知识,应重点把握两个要点:大小和方向.(2)向量线性运算的结果仍是向量,准确运用定义和运算律仍需从大小和方向角度去理解.2.(1)两个向量不能比较大小,只可以判断它们是否相等,但它们的模可以比较大小.(2)大小与方向是向量的两个要素,分别是向量的代数特征与几何特征.(3)向量可以自由平移,任意一组平行向量都可以移到同一直线上.考点二平面向量的线性运算【典例】1.
3、(2018全国卷I)在ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=()A.-B.-C.+D.+2.设D,E分别是ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=1+2(1、2为实数),则1+2的值为.世纪金榜导学号【解题导思】序号联想解题1由“则=”及选项,想到平面向量线性运算.2由“=1+2”,想到平面向量线性运算【解析】1.选A.如图所示=-=-=-(+)=-.【一题多解】选A.在ABC中,找到向量,对于选项A,作出向量,再作-,与向量比较,发现相等,所以选A.2.=+=+=+(+)=-+,所以1=-,2=,即1+2=.答案:1.平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况:
4、可直接运用相应运算法则求解.(2)含图形的情况:将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质,把未知向量用已知向量表示出来求解.2.三种运算法则的关注点(1)加法的三角形法则要求“首尾相接”,平行四边形法则要求“起点相同”.(2)减法的三角形法则要求“起点相同”且差向量指向“被减向量”.(3)数乘运算的结果仍是一个向量,运算过程可类比实数运算.1.(2020榆林模拟)已知点M是ABC的边BC的中点,点E在边AC上,且=2,则=()A.+B.+C.+D.+【解析】选C.如图,因为=2,所以=,所以=+=+=+(-)=+.2.在ABC中,点M,N满足=2,=.
5、若=x+y,则x=;y=.【解析】由已知,=+=+=+(-)=-=x+y,所以x=,y=-.答案:-考点三 共线向量定理及其应用命题精解读1.考什么:(1)判断向量共线,三点共线问题,含参数综合问题;(2)考查数学运算核心素养,以及数形结合的思想.2.怎么考:与解析几何,三角函数图像与性质,三角恒等变换结合考查求参数,最值等.3.新趋势:以考查共线向量定理的应用为主.学霸好方法1.证明向量共线的方法:应用向量共线定理.对于向量a,b(b0),若存在实数,使得a=b,则a与b共线.2.证明A,B,C三点共线的方法:若存在实数,使得=,则A,B,C三点共线.3.解决含参数的共线问题的方法:经常用到
6、平面几何的性质,构造含有参数的方程或方程组,解方程或方程组得到参数值.向量共线问题【典例】(2019西安模拟)设a与b是两个不共线向量,且向量a+b与-(b-2a)共线,则=.世纪金榜导学号【解析】因为a+b与2a-b共线,设a+b=k(2a-b),则(1-2k)a+(k+)b=0,所以解得k=,=-.答案:-三点共线问题【典例】(2020郑州模拟)设e1与e2是两个不共线向量,=3e1+2e2,=ke1+e2,=3e1-2ke2,若A,B,D三点共线,则k的值为.世纪金榜导学号【解析】因为A,B,D三点共线,所以必存在一个实数,使得=.又=3e1+2e2,=ke1+e2,=3e1-2ke2,
7、所以=-=3e1-2ke2-(ke1+e2)=(3-k)e1-(2k+1)e2,所以3e1+2e2=(3-k)e1-(2k+1)e2,又e1与e2不共线,所以解得k=-.答案:-解决三点共线问题应注意什么问题?提示:应注意向量共线与三点共线的区别与联系.当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线,即A,B,C三点共线,共线.含参数综合问题【典例】(2020唐山模拟)在直角梯形ABCD中,A=90,B=30,AB=2,BC=2,点E在线段CD上,若=+,则的取值范围是.世纪金榜导学号【解析】由已知AD=1,CD=,所以=2.因为点E在线段CD上,所以=(01).因为=+,又=+=+2=+,所以=
8、1,即=.因为01,所以0.答案:1.已知O是正方形ABCD的中心.若=+,其中,R,则=()A.-2B.-C.-D.【解析】选A.=+=+=-+=-,所以=1,=-,因此=-2.2.(2019大同模拟)ABC所在的平面内有一点P,满足+=,则PBC与ABC的面积之比是()A.B.C.D.【解析】选C.因为+=,所以+=-,所以=-2=2,即P是AC边的一个三等分点,且PC=AC,由三角形的面积公式知,=.3.P是ABC所在平面上的一点,满足+=2,若SABC=6,则PAB的面积为()A.2 B.3C.4 D.8【解析】选A.因为+=2=2(-),所以3=-=,所以,方向相同,所以=3,SPA
9、B=2.1.已知O,A,B三点不共线,P为该平面内一点,且=+,则()A.点P在线段AB上B.点P在线段AB的延长线上C.点P在线段AB的反向延长线上D.点P在射线AB上【解析】选D.由=+得-=,所以=,所以点P在射线AB上.2.庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一个非常优美的几何图形,且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中,以P,Q,R,S,T为顶点的多边形为正五边形,且=.下列关系中正确的是()A.-=B.+=C.-=D.+=【解析】选A.由已知,-=-=,所以A正确;+=+=,所以B错误;-=-=,所以C错误;+=+,=-,若+=,则=0,不合题意,所以D错误.3.已知点M是ABC所在平面内的一点,若点M满足|-|=0且SABC=3SABM,则实数=.【解析】如图,设D为BC的中点,则+=2,因为|-|=0,所以-=0,所以=+=2,于是A,M,D三点共线,且=,又SABC=3SABM,所以=,又因为SABD=SABC且=,所以=,解得=3.答案:3