1、高考资源网（） 您身边的高考专家2016年上海市黄浦区高考数学一模试卷（文科）一、填空题（本大题满分56分，共14题，每题4分）1不等式|x1|1的解集用区间表示为2函数y=cos2xsin2x的最小正周期T=3直线=3的一个方向向量可以是4两个半径为1的铁球，熔化后铸成一个大球，这个大球的半径为5若无穷等比数列中任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为6若函数y=a+sinx在区间，2上有且只有一个零点，则a=7若函数f（x）=+为偶函数且非奇函数，则实数a的取值范围为8若对任意不等于1的正数a，函数f（x）=ax+2的反函数的图象都经过点P，则点P的坐标是9在（a+b）n的二项展开式中，
2、若二项式系数的和为256，则二项式系数的最大值为（结果用数字作答）10在ABC中，若cos（A+2CB）+sin（B+CA）=2，且AB=2，则BC=11为强化安全意识，某学校拟在未来的连续5天中随机抽取2天进行紧急疏散演练，那么选择的2天恰好为连续2天的概率是（结果用最简分数表示）12已知kN*，若曲线x2+y2=k2与曲线xy=k无交点，则k=13已知点M（m，0），m0和抛物线C：y2=4x过C的焦点F的直线与C交于A，B两点，若=2，且|=|，则m=14若非零向量，满足+2+3=，且=，则与的夹角为二、选择题（本大题满分20分，共有4题，每题5分）15已知复数z，“z+=0”是“z为纯
3、虚数”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分也不必要条件16已知xR，下列不等式中正确的是（）ABCD17已知P为直线y=kx+b上一动点，若点P与原点均在直线xy+2=0的同侧，则k，b满足的条件分别为（）Ak=1，b2Bk=1，b2Ck1，b2Dk1，b218已知a1，a2，a3，a4是各项均为正数的等差数列，其公差d大于零，若线段l1，l2，l3，l4的长分别为a1，a2，a3，a4，则（）A对任意的d，均存在以l1，l2，l3为三边的三角形B对任意的d，均不存在以为l1，l2，l3三边的三角形C对任意的d，均存在以l2，l3，l4为三边的三角形D对任意的d，均不存在
4、以l2，l3，l4为三边的三角形三、解答题（本大题共74分，共有5题）19已知三棱柱ABCABC的底面为直角三角形，两条直角边AC和BC的长分别为4和3，侧棱AA的长为10（1）若侧棱AA垂直于底面，求该三棱柱的表面积；（2）若侧棱AA与底面所成的角为60，求该三棱柱的体积20如图，已知点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边，OA为终边的角设为，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB（1）用表示A，B两点的坐标；（2）M为x轴上异于O的点，若MAMB，求点M横坐标的取值范围21如图，某地要在矩形区域OABC内建造三角形池塘OEF，E，F分别在AB，BC边上，OA=5米，OC=4米，
5、EOF=，设CF=x，AE=y（1）试用解析式将y表示成x的函数；（2）求三角形池塘OEF面积S的最小值及此时x的值22已知a1，a2，an是由m（nN*）个整数1，2，n按任意次序排列而成的数列，数列bn满足bn=n+1ak（k=1，2，n）（1）当n=3时，写出数列an和bn，使得a2=3b2；（2）证明：当n为正偶数时，不存在满足ak=bk（k=1，2，n）的数列an；（3）若c1，c2，cn是1，2，n按从大到小的顺序排列而成的数列，写出ck（k=1，2，n），并用含n的式子表示c1+2c2+ncn（参考：12+22+n2=n（n+1）（2n+1）23已知椭圆： +=1（ab0），过原
6、点的两条直线l1和l2分别与C交于点A、B和C、D，得到平行四边形ACBD（1）若a=4，b=3，且ACBD为正方形时，求该正方形的面积S；（2）若直线l1的方程为bxay=0，l1和l2关于y轴对称，上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2，证明：d12+d22=；（3）当ACBD为菱形，且圆x2+y2=1内切于菱形ACBD时，求a，b满足的关系式2016年上海市黄浦区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分，共14题，每题4分）1不等式|x1|1的解集用区间表示为（0，2）【考点】绝对值三角不等式【专题】计算题；转化思想；不等式的解法及应用【分析】直接将
7、不等式|x1|1等价为：1x11，解出后再用区间表示即可【解答】解：不等式|x1|1等价为：1x11，解得，0x2，即原不等式的解集为x|0x2，用区间表示为：（0，2），故答案为：（0，2）【点评】本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及解集的表示方法，属于基础题2函数y=cos2xsin2x的最小正周期T=【考点】二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法【专题】计算题；三角函数的求值【分析】先利用二倍角的余弦化简，再求出函数y=cos2xsin2x的最小正周期【解答】解：y=cos2xsin2x=cos2x，函数y=cos2xsin2x的最小正周期T=故答案为：【点评】本题考查二倍角的余弦公式
8、，考查学生的计算能力，属于基础题3直线=3的一个方向向量可以是（2，1）【考点】二阶矩阵【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；矩阵和变换【分析】平面中，直线方程Ax+By+C=0它的一个方向向量是（B，A），由此利用二阶行列式展开式能求出直线的一个方向向量【解答】解：直线=3，x2y3=0直线=3的一个方向向量可以是（2，1）故答案为：（2，1）【点评】本题考查直线的方向向量的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养4两个半径为1的铁球，熔化后铸成一个大球，这个大球的半径为【考点】球的体积和表面积【专题】计算题【分析】利用熔化前后球的体积的不变性，建立等式关系进行求解即可
9、【解答】解：设大球的半径为r，则根据体积相同，可知，即故答案为：【点评】本题主要考查球的体积公式的计算和应用，利用体积相等是解决本题的关键，比较基础5若无穷等比数列中任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为【考点】等比数列的通项公式【专题】计算题；极限思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】设数列中的任意一项为a，利用无穷等比数列中的每一项都等于它后面所有各项的和列方程，即可求得公比【解答】解：设数列中的任意一项为a，由无穷等比数列中的每一项都等于它后面所有各项的和，得a=，即1q=qq=故答案为：【点评】本题考查数列的极限，解题的关键是利用无穷等比数列的求和公式，是基础的计算题6若函数
10、y=a+sinx在区间，2上有且只有一个零点，则a=1【考点】函数零点的判定定理【专题】计算题；作图题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用【分析】作函数y=sinx在区间，2上的图象，从而结合图象解得【解答】解：作函数y=sinx在区间，2上的图象如下，结合图象可知，若函数y=a+sinx在区间，2上有且只有一个零点，则a1=0，故a=1；故答案为：1【点评】本题考查了学生对三角函数的掌握情况及数形结合的思想应用7若函数f（x）=+为偶函数且非奇函数，则实数a的取值范围为a1【考点】函数奇偶性的性质【专题】综合题；方程思想；综合法；函数的性质及应用【分析】利用函数f（x）=+为偶函数且非奇
11、函数，结合函数的定义域，即可求出实数a的取值范围【解答】解：函数f（x）=+为偶函数且非奇函数，f（x）=f（x），且f（x）f（x），又，a1a=1，函数f（x）=+为偶函数且奇函数，故答案为：a1【点评】本题考查函数的奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题8若对任意不等于1的正数a，函数f（x）=ax+2的反函数的图象都经过点P，则点P的坐标是（1，2）【考点】指数函数的单调性与特殊点【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用【分析】由指数函数可知图象经过点（2，1），再由反函数可得【解答】解：当x+2=0，即x=2时，总有a0=1，函数f（x）=ax+2的图象都经过点（2，1
12、），其反函数的图象必经过点P（1，2）故答案为：（1，2）【点评】本题考查指数函数的单调性和特殊点，涉及反函数，属基础题9在（a+b）n的二项展开式中，若二项式系数的和为256，则二项式系数的最大值为70（结果用数字作答）【考点】二项式定理的应用【专题】计算题；方程思想；综合法；二项式定理【分析】利用二项展开式的二项式系数的性质：二项式系数和为2n，展开式中中间项的二项式系数最大【解答】解：据二项展开式的二项式系数和的性质：展开式的二项式系数和为2n，2n=256，解得n=8，展开式共n+1=8+1=9项，据中间项的二项式系数最大，故展开式中系数最大的项是第5项，最大值为=70故答案为：70【
13、点评】本题考查二项展开式的二项式系数的性质：二项式系数和是2n；展开式中中间项的二项式系数最大10在ABC中，若cos（A+2CB）+sin（B+CA）=2，且AB=2，则BC=2【考点】两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数【专题】计算题；转化思想；数形结合法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质【分析】由cos（A+2CB）+sin（B+CA）=2，可得cos（A+2CB）=1，sin（B+CA）=1，由范围A，B，C（0，），结合三角形内角和定理，三角函数的图象和性质可得：，或，可解得A，B，C，利用正弦定理可得BC的值【解答】解：cos（A+2CB）+sin（B+CA）=2，cos
14、（A+2CB）1，sin（B+CA）1，cos（A+2CB）=1，sin（B+CA）=1，A，B，C（0，），A+2CB（，3），B+CA（，2），由正弦函数，余弦函数的图象和性质可得：A+2CB=0或2，B+CA=，结合三角形内角和定理可得：，或，由可得：A=，B=，C=，由可得：A=，B=，C=，（舍去），由AB=2，利用正弦定理可得：，解得：BC=2故答案为：2【点评】本题主要考查了正弦定理，正弦函数，余弦函数的图象和性质，三角形内角和定理的综合应用，考查了转化思想和计算能力，利用三角函数的图象和性质求三角形的三个内角是解题的关键，属于中档题11为强化安全意识，某学校拟在未来的连续5天中
15、随机抽取2天进行紧急疏散演练，那么选择的2天恰好为连续2天的概率是（结果用最简分数表示）【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计【分析】某学校拟在未来的连续5天中随机抽取2天进行紧急疏散演练，先求出基本事件总数，再求出选择的2天恰好为连续2天包含的基本事件个数，由此能求出选择的2天恰好为连续2天的概率【解答】解：某学校拟在未来的连续5天中随机抽取2天进行紧急疏散演练，基本事件总数为n=10，选择的2天恰好为连续2天包含的基本事件个数m=4，选择的2天恰好为连续2天的概率p=故答案为：【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可
16、能事件概率计算公式的合理运用12已知kN*，若曲线x2+y2=k2与曲线xy=k无交点，则k=1【考点】曲线与方程【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】曲线x2+y2=k2与曲线xy=k联立，可得x4k2x2+k2=0，利用=0，求出k，结合kN*，若曲线x2+y2=k2与曲线xy=k无交点，即可求出k【解答】解：曲线x2+y2=k2与曲线xy=k联立，可得x4k2x2+k2=0=k44k2=0，k=2，kN*，若曲线x2+y2=k2与曲线xy=k无交点，k=1故答案为：1【点评】本题考查曲线与方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题13已知点M（m，0），m
17、0和抛物线C：y2=4x过C的焦点F的直线与C交于A，B两点，若=2，且|=|，则m=【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】画出图形，利用已知条件求出A，B的坐标，通过向量关系求出m值即可【解答】解：由题意可知：F（1，0），由抛物线定义可知A（x1，y1），可知B（x2，y2），=2，可得：2（x21，y2）=（1x1，y1），可得y2=，x2=，解得x1=2，y1=2|=|，可得|m1|=，解得m=故答案为：【点评】本题考查直线与抛物线方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力14若非零向量，满足+2+3=，且=，则与
18、的夹角为【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用【分析】由+2+3=，把用含有的式子表示，结合=，可得，然后代入数量积求夹角公式求解【解答】解：由+2+3=，得，代入=，得，即再代入=，得，即cos=与的夹角为故答案为：【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法，是中档题二、选择题（本大题满分20分，共有4题，每题5分）15已知复数z，“z+=0”是“z为纯虚数”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分也不必要条件【考点】复数的基本概念；必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】阅读型；对应思想；分析法；数系的扩充和复数【
19、分析】由充分必要条件的判断方法，结合两复数和为纯虚数的条件判断【解答】解：对于复数z，若z+=0，z不一定为纯虚数，可以为0，反之，若z为纯虚数，则z+=0“z+=0”是“z为纯虚数”的必要非充分条件故选：B【点评】本题考查复数的基本概念，考查了充分必要条件的判断方法，是基础题16已知xR，下列不等式中正确的是（）ABCD【考点】不等式比较大小【专题】函数思想；综合法；不等式的解法及应用【分析】举反例可排除A、B、D，再证明C正确即可【解答】解：取x=0可得=1=，故A错误；取x=0可得=1=，故B错误；取x=1可得=，故D错误；选项C，x2+2x2+10，故正确故选：C【点评】本题考查不等式
20、比较大小，举反例是解决问题的关键，属基础题17已知P为直线y=kx+b上一动点，若点P与原点均在直线xy+2=0的同侧，则k，b满足的条件分别为（）Ak=1，b2Bk=1，b2Ck1，b2Dk1，b2【考点】二元一次不等式（组）与平面区域【专题】转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】设出P的坐标，根据点与直线的位置关系转化为二元一次不等式的关系，结合不等式恒成立进行求解即可【解答】解：P为直线y=kx+b上一动点，设P（x，kx+b），点P与原点均在直线xy+2=0的同侧，（xkxb+2）（00+2）0，即2（1k）x+2b0恒成立，即（1k）x+2b0恒成立，则1k=0，此时
21、2b0，得k=1且b2，故选：A【点评】本题主要考查二元一次不等式表示平面区域，利用条件转化为不等式关系是解决本题的关键18已知a1，a2，a3，a4是各项均为正数的等差数列，其公差d大于零，若线段l1，l2，l3，l4的长分别为a1，a2，a3，a4，则（）A对任意的d，均存在以l1，l2，l3为三边的三角形B对任意的d，均不存在以为l1，l2，l3三边的三角形C对任意的d，均存在以l2，l3，l4为三边的三角形D对任意的d，均不存在以l2，l3，l4为三边的三角形【考点】等差数列的通项公式；三角形中的几何计算【专题】转化思想；等差数列与等比数列；解三角形；不等式的解法及应用【分析】利用等差
22、数列的通项公式及其性质、三角形两边之和大于第三边，即可判断出结论【解答】解：A：对任意的d，假设均存在以l1，l2，l3为三边的三角形，a1，a2，a3，a4是各项均为正数的等差数列，其公差d大于零，a2+a3a1，a3+a1=2a2a2，而a1+a2a3=a1d不一定大于0，因此不一定存在以为l1，l2，l3三边的三角形，故不正确；B：由A可知：当a1d0时，存在以为l1，l2，l3三边的三角形，因此不正确；C：对任意的d，由于a3+a4，a2，a2+a4=2a1+4d=a1+2d+a30，a2+a3a4=a10，因此均存在以l2，l3，l4为三边的三角形，正确；D由C可知不正确故选：C【点
23、评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、三角形两边之和大于第三边，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（本大题共74分，共有5题）19已知三棱柱ABCABC的底面为直角三角形，两条直角边AC和BC的长分别为4和3，侧棱AA的长为10（1）若侧棱AA垂直于底面，求该三棱柱的表面积；（2）若侧棱AA与底面所成的角为60，求该三棱柱的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】整体思想；定义法；空间位置关系与距离【分析】（1）根据直三棱柱的表面积公式进行求解即可（2）作出棱柱的高，结合三棱柱的体积公式进行求解即可【解答】解：（1）因为侧棱AA底面ABC，所以三棱柱的高h等于侧棱AA的长，而
24、底面三角形ABC的面积S=ACBC=6，周长c=4+3+5=12，于是三棱柱的表面积S全=ch+2SABC=132（2）如图，过A作平面ABC的垂线，垂足为H，AH为三棱柱的高 因为侧棱AA与底面ABC所长的角为60，所以AAH=60，又底面三角形ABC的面积S=6，故三棱柱的体积V=SAH=6=30【点评】本题主要考查三棱柱的表面积和体积的计算，根据直三棱柱和斜三棱柱的特点和性质，结合棱柱的表面积和体积公式进行计算是解决本题的关键20如图，已知点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边，OA为终边的角设为，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB（1）用表示A，B两点的坐标；（2）M为
25、x轴上异于O的点，若MAMB，求点M横坐标的取值范围【考点】平面向量数量积的运算；任意角的三角函数的定义【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；三角函数的求值【分析】（1）利用三角函数的定义直接表示A，B坐标；（2）设出M，利用向量的数量积为0，得到关系式，然后求解点M横坐标的取值范围【解答】解：（1）点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边，OA为终边的角设为，可得A（cos，sin），将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB可得B（cos（），sin（），即B（sin，cos）（2）设M（x，0），x0，=（cosx，sin），=（sinx，cos）MAMB，可得（cosx）（
26、sinx）+sincos=0xsinxcos+x2=0，可得x=sincos=sin（），综上x，0）（0，点M横坐标的取值范围：，0）（0，【点评】本题考查平面向量的数量积，三角函数定义的应用，考查转化思想以及计算能力21如图，某地要在矩形区域OABC内建造三角形池塘OEF，E，F分别在AB，BC边上，OA=5米，OC=4米，EOF=，设CF=x，AE=y（1）试用解析式将y表示成x的函数；（2）求三角形池塘OEF面积S的最小值及此时x的值【考点】根据实际问题选择函数类型【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】（1）由EOF=，可得COF+AOE=，则tan
27、（COF+AOE）=1，化简可得函数的解析式，由0y4求得x的范围；（2）三角形池塘OEF面积S=S矩形OABCSAOESCOFSBEF，运用三角形的面积公式，设t=x+4，求得S的表达式，运用基本不等式可得最小值和x的值【解答】解：（1）由EOF=，可得COF+AOE=，即有tanCOF=，tanAOE=，则tan（COF+AOE）=1，即有y=，由y4，解得x，则函数的解析式为y=，（x4）；（2）三角形池塘OEF面积S=S矩形OABCSAOESCOFSBEF=455y4x（4y）（5x）=202x（5x）=20+（x4），令t=x+4（t8），即有S=20+（5t+80）20+（280）
28、=2020当且仅当5t=即t=4，此时x=44，OEF的面积取得最小值，且为2020【点评】本题考查函数的解析式的求法，注意运用两角和的正切公式，考查三角形的面积的最小值，注意运用间接法求面积，再由换元法和基本不等式，属于中档题22已知a1，a2，an是由m（nN*）个整数1，2，n按任意次序排列而成的数列，数列bn满足bn=n+1ak（k=1，2，n）（1）当n=3时，写出数列an和bn，使得a2=3b2；（2）证明：当n为正偶数时，不存在满足ak=bk（k=1，2，n）的数列an；（3）若c1，c2，cn是1，2，n按从大到小的顺序排列而成的数列，写出ck（k=1，2，n），并用含n的式子
29、表示c1+2c2+ncn（参考：12+22+n2=n（n+1）（2n+1）【考点】数列递推式；数列的应用【专题】综合题；函数思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法【分析】（1）取n=3，可得数列an，结合bk=n+1ak求得数列bn，验证a2=3b2得答案；（2）若ak=bk，则有ak=n+1ak（k=1，2，n），得到，由n为正偶数，得n+1为大于1的正奇数，故不为正整数，结合a1，a2，an是均为正整数，说明不存在满足ak=bk（k=1，2，n）的数列an；（3）由题意可得，ck=n（k1）=（n+1）k，然后利用数列的分组求和得答案【解答】（1）解：当n=3时，数列an为：1，2，3；
30、 1，3，2； 2，1，3； 2，3，1； 3，1，2； 3，2，1当an为：1，2，3时，此时对应的bn为：3，2，1，不满足题意；依次可得满足题意的数列an和bn分别为：an：1，3，2，bn：3，1，2；或an：2，3，1，bn：2，1，3（2）证明：若ak=bk（k=1，2，n），则有ak=n+1ak（k=1，2，n），于是，当n为正偶数时，n+1为大于1的正奇数，故不为正整数，a1，a2，an是均为正整数，不存在满足ak=bk（k=1，2，n）的数列an；（3）解：由题意可得，ck=n（k1）=（n+1）k，Sn=c1+2c2+ncn=（n+1）1+2（n+1）2+n（n+1）n=（
31、1+2+n）（n+1）（12+22+n2）=【点评】本题考查数列递推式，考查了数列的应用，考查数列的函数特性，属难题23已知椭圆： +=1（ab0），过原点的两条直线l1和l2分别与C交于点A、B和C、D，得到平行四边形ACBD（1）若a=4，b=3，且ACBD为正方形时，求该正方形的面积S；（2）若直线l1的方程为bxay=0，l1和l2关于y轴对称，上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2，证明：d12+d22=；（3）当ACBD为菱形，且圆x2+y2=1内切于菱形ACBD时，求a，b满足的关系式【考点】椭圆的简单性质【专题】综合题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）
32、由题意，直线l1和l2的方程为y=x和y=x，利用，可得x12=x22=，根据对称性，求出正方形的面积；（2）利用距离公式，结合d12+d22为定值，即可证明结论；（3）设出切线AC的方程与椭圆方程联立，分类讨论，即可求a，b满足的关系式【解答】解：（1）由题意，直线l1和l2的方程为y=x和y=x，设A（x1，y1），B（x2，y2）为方程组的解，可得x12=x22=，根据对称性，正方形的面积S=4x12=；（2）设l1的方程为y=kx（k0），l2的方程为y=kx，设P（x0，y0），d12+d22=+=为定值，k=，d12+d22=；（3）设AC与圆x2+y2=1相切的切点坐标为（x0，y0），于是切线AC的方程为x0x+y0y=1A（x1，y1），C（x2，y2）为x0x+y0y=1与椭圆联立的方程（b2y02+a2x02）x22x0a2x+a2（1b2y02）=0的解，x0=0或y0=0时，ACBD为正方形，椭圆过点（1，1），+=1；x00且y00时，x1x2=，同理y1y2=，ACBD为菱形，AOCO，x1x2+y1y2=0，+=0，x02+y02=1，a2+b2=a2b2， +=1综上所述， +=1【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题高考资源网版权所有，侵权必究！